Безкрайна лента на Мьобиус. Майсторски клас "изненади от лентата на Мьобиус"

Общинска образователна институция "Средно училище Будаговская" Тема: Изпълнител: Шалигин Иван Ученик от 5 клас Ръководител: Калаш Г.В. Учител по математика Будагово 2012 1 ЕПИГРАФ: Ти и аз живеем в триизмерно пространство, Разхождаме се, играем и ходим на училище. Така че няма да е зле да научите повече за това. Първо проучете всичко за космоса. Всичко около нас ни е познато и приятно. Прислужницата ни отвори пътя към науката. Лентата беше зашита с грешка, но придоби значение за потомството. Така Мобиус намери работен лист за наука, придоби собствен раздел по математика. Клонът, който изучава повърхностите на телата. Оттогава всички го наричат ​​топология. Как една муха на лента да не се отклони от пътя си? Уви, тя е изправена пред безкраен път. 2 Съдържание I. Лента на Мьобиус 1. Съдържание…………………………………………………………………………………………………………… ..3 2. Въведение…………………………………………………………………………………………………………………… .4 3.Исторически контекст……………………………………………………………………………………..5 4.Топология – „Геометрия на позицията“… .....…… ……………………………………………………………………….5 II. Изследователски експерименти с хартия: 1. Боядисване на повърхността на лентата на Мьобиус………………………………………7 2. Изрязване на лентата на Мьобиус: ……………………………………… ……………………………… ………….8 а) по протежение на листа на две равни части……………………………………..……….9 б) по време на операцията по усукване на лентата…………………………………………10 в) няколко ленти, залепени под прав ъгъл…………………………11 г) няколко разреза по протежение на листа в 3; 4; 5; части.…………………….12 3. Въз основа на резултатите от експериментите попълнете таблиците….………………..12 4. Направете изводи въз основа на резултатите от изследванията…… ……………………… ………………………………………………………12 5. Трикове с лента на Мьобиус…………………………………… …………………… ……..13 6. Експерименти с въже и жилетка. …………………………………………14 III. Практическо приложение на лентата на Мьобиус……………………………………………………….15 IV Заключение…………………………………………………… …………………………………………………………….16 V. Списък с литература…………………………………………………… ..17 VI. Приложение……………………………………………………………………………………………………………….18 Практически урок на клуб по математика по изучаването на лентата на Мьобиус в 5 клас (снимки и видеозаписи Иван Шалигин)………………………………………………………………………………… …………………………………………………… 17 3 Въведение Обща характеристика на проекта: 1. Проектът „Геометрия в пространството” е дългосрочен (предназначен за второто и третото тримесечие). ) 2. Проектът е образователен, изследователски. (Изследване и експеримент, систематизиране и практическо приложение). 3. Групов проект (Работа на клубни срещи с ученици от 5. клас) 4. Разширен проект. (Провежда се в рамките на училището с последваща защита на раздел от проекта под формата на резюме и презентация на регионална конференция „Зад страниците на учебника по математика“) 5. Въз основа на резултатите от раздела на проекта по темата: „Тайните на лентата на Мьобиус“ беше изготвен резюме и говори ръководителят на IV група Иван Шалигин. Цел на работата: 1. Да се ​​запознаят с нов клон на математиката - "Топология", с неговите основни понятия и задачи, да извършват изследвания за практически цели и да правят открития за себе си. 2. Създайте си първа представа за лентата на Мьобиус. Запознайте се с основните техники на математическия подход към света около вас. 3. Научете се да провеждате изследвания, да описвате резултатите, да попълвате таблици и да изпълнявате получените чертежи и чертежи на модели, получени по време на експеримента. 4. Научете се да правите аргументирани заключения, да генерирате идеи за разрешаване на ситуации и да прилагате знанията за решаване на нови задачи и проблеми. 5. Провеждайте практически експерименти. 6. Установете връзката на разглеждания материал с живота. 4 Исторически контекст Август Фердинанд Мьобиус (1790-1868) Навън валеше. Пуших лула и изпих чаша любимо кафе с мляко. Гледката от прозореца беше потискаща. На един стол седеше мъж. Имаше различни мисли, но някак си нищо особено не ми дойде наум. Във въздуха витаеше само усещането, че именно този ден ще донесе слава и ще увековечи името на Август Фердинанд Мобиус. Любимата му съпруга се появи на прага на стаята. Вярно, не беше в добро настроение. По-правилно би било да се каже, че тя се ядоса, че за мирния дом на Мобиус това беше почти толкова невероятно, колкото да видиш парад на планетите три пъти в годината, и категорично поиска незабавното уволнение на прислужницата, която е толкова посредствена, че тя дори не може да зашие панделка правилно. Мрачно гледайки злополучната лента, професорът възкликна: "О, да, Марта! Момичето не е толкова глупаво. В крайна сметка това е едностранна пръстеновидна повърхност. Лентата няма гръб!" Отворената повърхност получи математическа обосновка и име в чест на математика и астронома, които я описаха. Топология - "Позиционна геометрия" От момента, в който немският математик Август Фердинанд Мьобиус откри съществуването на удивителен едностранен лист хартия, a започна да се развива цял нов клон на математиката, наречен топология. изучава главно повърхностите на телата и тя намира математическа връзка между обекти, които изглеждат по никакъв начин не свързани един с друг. Например, от топологична гледна точка, макаронена гайка и чаша са свързани по това, че всеки от тези обекти има дупка, въпреки че във всички останали аспекти те са различни.5 Лентата на Мьобиус полага основите на нова наука - топология.Тази дума е измислена от Йохан Бенедикт Листинг, професор в университета в Гьотинген, който почти едновременно с колегата си от Лайпциг предложи като първи пример за едностранна повърхност вече познатата, някога усукана лента. Тази наука е млада и затова пакостлива. Няма как да се каже по друг начин за правилата на играта, които са приети в него. Топологът има право да огъва, усуква, свива и разтяга всяка фигура - да прави каквото си иска с нея, само да не я къса или слепва. И в същото време той ще вярва, че нищо не се е случило, всичките му свойства са останали непроменени. За него нямат значение нито разстоянията, нито ъглите, нито площите. Какво го интересува? Най-общите свойства на фигурите, които не се променят при никакви трансформации, освен ако не настъпи катастрофа - „експлозията" на фигурата. Ето защо понякога топологията се нарича „геометрия на непрекъснатостта". Известна е и под името „гумена геометрия“, защото на тополога не струва нищо да постави всичките си фигури върху повърхността на детска надуваема топка и безкрайно да променя формата й, като се грижи само топката да не се спука. че в същото време правите линии, например, страните на триъгълника ще се превърнат в криви, е дълбоко безразлично за тополога. Какви необичайни свойства на фигурите изучава топологията? Досега говорихме само за едно свойство - едностранчивост , Ако се движите по повърхността на лентата на Мьобиус в една посока, без да пресичате нейните граници, тогава, за разлика от двустранните повърхности (например сфера и цилиндър), се озовавате на място, което е обърнато по отношение на оригиналната.Ако преместите кръг по тази лента, като същевременно я обикаляте по посока на часовниковата стрелка, тогава в началната позиция посоката на обикаляне ще стане обратна на часовниковата стрелка.Други свойства, които изучава топологията, са непрекъснатост, свързаност, ориентация.За например, непрекъснатостта е друго топологично свойство. Ако сравните диаграмата на самолетните маршрути и географската карта, тогава 6 ще се убедите, че мащабът на Аерофлот далеч не е последователен - например Свердловск може да е на половината път от Москва до Владивосток. И все пак има нещо общо между географската карта. Москва наистина е свързана със Свердловск, а Свердловск с Владивосток. И следователно топологът може да деформира картата по какъвто начин пожелае, стига точките, които преди това са били съседи, да останат една до друга и по-нататък. Това означава, че от топологична гледна точка кръгът е неразличим от квадрат или триъгълник, тъй като те лесно се трансформират един в друг, без да се нарушава непрекъснатостта. На лентата на Мьобиус всяка точка може да бъде свързана с всяка друга точка и в същото време мравката в гравюрата на Ешер никога няма да трябва да пълзи през ръба на „лентата". Няма прекъсвания - пълна непрекъснатост. Експерименти с хартия . За да направите лента на Мьобиус, трябва да вземете доста удължена хартиена лента и да свържете краищата на лентата, като първо обърнете един от тях. Ако бяхте на повърхността на лента на Мьобиус, бихте могли да ходите по нея завинаги. Сега ще разгледаме няколко експеримента с повърхности и дупки, направени от хартиени ленти. Най-удобно е да използвате ленти с дължина приблизително 30–40 cm и ширина 3 cm. Първо, нека залепим два пръстена - един прост и един усукан. 7 Пръстените, разбира се, са много сходни; но какво се случва, ако нарисувате непрекъсната линия по едната страна на пръстена? Когато Мьобиус направи това върху усукания пръстен, той установи, че линията минава надолу от двете страни, въпреки че моливът му не напуска хартията. Това означава ли, че нашият пръстен има само една страна? Сега опитайте вашите пръстени. 1. Напълно боядисайте само едната страна на всеки от тях. Колко повърхности имат? Опитайте се да нарисувате едната страна на лентата на Мобиус, парче по парче, без да преминавате през ръба на лентата. И какво? Ще рисуваш цялата лента на Мьобиус! Какво е толкова интересно в този лист? И фактът, че лентата на Мьобиус има само една страна. Свикнали сме, че всяка повърхност, с която работим (лист хартия, тръба за велосипед или волейболна топка) има две страни. 8 2. Поставете точка от едната страна на всеки пръстен и начертайте непрекъсната линия по нея, докато стигнете отново до маркираната точка. Колко ръба има лентата на Мьобиус? Изненада номер две: лентата на Мьобиус има само една граница и не се състои от две части, като обикновен пръстен. Нека тестваме ринговете, като ги разрежем на две части по дължина. Сега ще имате два отделни пръстена. Но какво е това? Вместо два пръстена получавате един! Освен това той е по-голям и по-тънък от оригиналния пръстен. Запишете резултатите от по-нататъшното усукване и рязане в таблица. Няколко обрати. 9 Какво се случва, ако направите пълен завой? Колко ръба има полученият пръстен? Колко повърхности? Какво се случва, ако го разрежете наполовина по дължина? Нека направим малко проучване, като го завъртим на половин оборот. Пълен оборот, оборот и половина. Нека опишем свойствата и да направим скици на резултатите. Лентата на Мьобиус има интересни свойства. Ако се опитате да разрежете лентата наполовина по линия на еднакво разстояние от краищата, вместо две ленти на Мьобиус, ще получите една дълга двустранна (два пъти по-усукана от лентата на Мьобиус) лента, която магьосниците наричат ​​„афганистанска лента“. Ако сега срежете тази лента по средата, ще получите две навити една върху друга. Други интересни комбинации от ленти могат да бъдат получени от ленти на Мьобиус с два или повече полуоборота в тях. Например, ако отрежете лента с три полуоборота, ще получите лента, навита на трилистник. Нарязването на лента на Мьобиус с допълнителни завои произвежда неочаквани фигури, наречени парадромни пръстени. Нека запишем резултатите от усукването и рязането в таблицата за изследване. Таблица за изследване № 1 С една лента № Брой полуобороти 1 0 Резултат от едно разрязване наполовина по дължина Два пръстена Свойства 2 1 Един пръстен Пръстен два пъти по-дълъг 3 2 Два пръстена Пръстени с еднаква дължина, свързани един с друг 4 3 Един пръстен Пръстен два пъти по-дълъг, свързан възел Пръстени два пъти по-тесни от същата дължина 10 Заключения от скица: Какво се случва, ако го завъртите два пъти, преди да залепите лентата (т.е. 4 полуоборота на 360 градуса)? Такава повърхност вече ще бъде двустранна. И за да боядисате целия пръстен, определено ще трябва да обърнете лентата от другата страна. Свойствата на тази повърхност са не по-малко удивителни. В крайна сметка, ако го разрежете по дължина по средата, ще получите две еднакви халки, но отново захванати. Разрязвайки всеки от тях отново по средата, ще намерите четири пръстена, свързани един с друг. Сега можете да разкъсате пръстените един по един - и всеки път, когато останалите ще бъдат свързани заедно. Ако вземете не хартиена лента, а лента от всякакъв плат, завъртете един от краищата на лентата три пълни оборота, т.е. 540 градуса, зашийте двата края. След това вземете ножица и внимателно изрежете лентата по средата, след това изрежете отново, получавате три еднакви пръстена, захванати един за друг. Няколко панделки Ще се изненадаме какво се случва, когато срежем двоен пръстен. Подгответе два пръстена: един обикновен и един Мьобиус. Залепете ги под прав ъгъл и след това разрежете и двете по дължина. Таблица за изследване No 2 No Брой пръстени 1 Два пръстена, разположени перпендикулярно един на друг. Резултат от рязане по дължината на всяка лента Три пръстена Свойства Два пръстена с еднаква дължина, третият е два пъти по-дълъг. Два пръстена с по-малка дължина са преплетени по двойки с трети пръстен 11 Скица Допълнителен въпрос Няколко разреза Ако отрежете лентата на разстояние 1/3 от ширината й от ръба, ще получите два пръстена. Но! Една голяма и една малка, свързана с нея. Таблица за изследване № 3 № Брой срезове 1 Три части Резултат от срязване по дължината на всяка лента Два пръстена Свойства Един пръстен с еднаква дължина, вторият два пъти по-дълъг са свързани един с друг 12 Скица 2 Четири части Два пръстена И двата пръстена са два пъти толкова дълго, колкото изрязания, преплетени един с друг приятел. Единият от пръстените преплита другия 3 Пет части Три пръстена Два пръстена, два пъти по-дълги, са преплетени един с друг и са свързани заедно в двойка чрез трети къс пръстен с оригиналната дължина. Заключения: Ако също изрежете малък пръстен по протежение на средата, тогава ще имате много "сложно" преплитане на два пръстена - еднакви по размер, но различни по ширина Трикове с лентата на Мобиус Физиците твърдят, че всички оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мобиус, по-специално отражението в огледалото е вид прехвърляне във времето, краткотрайно, траещо стотни от секундата, все пак виждаме пред себе си... точно така, огледален двойник на себе си!Поради необичайните си свойства, лентата на Мьобиус се използва широко през последните 75 години от магьосници. Ако се опитате да изрежете лентата по линия, еднакво отдалечена от краищата, вместо две ленти на Мьобиус ще получите една дълга двустранна (два пъти по-усукана от лента на Мьобиус) лента, която магьосниците наричат ​​„афганистанска лента“. Въз основа на нашите изследвания с усукани пръстени от ленти можем да изпълним серия от трикове. Ето един от тях: Представяме на зрителя три големи хартиени пръстена, всеки от които е направен чрез залепване на краищата на хартиена лента. (Таблица на проучванията 1). Зрителят разрязва с ножица пръстените по дължината на лентата в средата, докато се върне в началната точка. В резултат на това първият ще се превърне в два отделни пръстена. От втория има един пръстен, но двойно по-дълъг, а от третия има два пръстена, захванати един за друг. 13 Ако прекарате три пъти усукана панделка през пръстена, залепите краищата и след това го разрежете по дължина по средата, ще получите един голям пръстен с възел, завързан около пръстена. По същия начин за магически трикове можете да използвате изследователски таблици 2 и 3. Експериментирайте с въже и жилетка. Триковете с лента на Мьобиус са част от топологичните трикове, които изискват гъвкави материали, които не се променят при непрекъснати трансформации: разтягане и компресия. За да извършите експериментите, имате нужда от шал, жилетка и въжета. Първо, поставяме проблемна ситуация. С помощта на експерименти търсим изход от тази ситуация. Експеримент 1. Проблемът с връзването на възли. Как да завържем възел на шал, без да пускаме краищата му? Може да се направи така. Поставете шала на масата. Скръстете ръце на гърдите си. Продължавайки да ги държите в това положение, наведете се над масата и вземете единия край на шала с всяка ръка на свой ред. След като ръцете се раздалечат, автоматично ще се образува възел в средата на шала. Използвайки топологична терминология, можем да кажем, че ръцете на зрителя, тялото и шалът образуват затворена крива под формата на възел „три листа". При разпръскване на ръцете възелът се движи само от ръцете към шала. Експеримент 2 , Обръщане на жилетката навън, без да я сваляте от човека. За жилетката на собственика трябва да стиснете пръстите си зад гърба си. Онези около вас трябва да обърнат жилетката навън, без да отделяте ръцете на собственика. За да демонстрирате този експеримент, вие трябва да разкопчаете жилетката и да я дръпнете на ръка зад гърба на собственика.Жилетката ще виси във въздуха, но, разбира се, няма да бъде свалена, защото ръцете са закопчани.Сега трябва да вземете левия подгъв на жилетката и , опитвайки се да не намачкате жилетката, я пъхнете доколкото е възможно в дясната извивка.След това вземете дясната извивка и я избутайте в същата извивка и в същата посока.Остава само да изправите жилетката и да я издърпате на собственик Жилетката ще бъде обърната наопаки.Същият експеримент може да се проведе без да разкопчавате жилетката.Единственото неудобство ще бъде, че жилетката е твърде тясна, за да бъде свалена през главата. Следователно, жилетката може да бъде заменена с пуловер. Манипулациите с пуловера се повтарят точно. Този експеримент може да бъде демонстриран върху себе си, за което трябва да свържете ръцете си с 14 кабел, оставяйки 40 сантиметра между тях, за да осигурите свобода на движение, и да стиснете ръцете си отпред. Експеримент 3. Разплитане на въжени пръстени. Двама участници са вързани за ръцете с въжета. Така ръцете и въжетата образуват два преплитащи се пръстена. Необходимо е да се разплита, без да се развързват въжетата. Отговорът на този експеримент се крие във факта, че всеки от участниците има още две примки на ръцете си. Необходимо е да издърпате едно въже през една от примките на ръцете на другото въже и да извадите примката през ръката. III. Практическо приложение на лентата на Мьобиус. Най-удивителното ѝ свойство е, че е едностранна, не може да се боядисва с два цвята и пълзящите по нея насекоми ще обикалят и двете страни, без да пресичат ръба. Това свойство е намерило практическо приложение: много устройства са патентовани, например колан за заточване, мастилена лента за печатащи устройства, ремъчно задвижване и други технически решения. Едностранното свойство на лентата на Мьобиус се използва в технологията: ако ремъкът на ремъчното задвижване е направен под формата на лента на Мьобиус, тогава повърхността му се износва два пъти по-бавно от тази на обикновен пръстен. Това осигурява значителни спестявания.Свойствата, които притежава лентата на Мьобиус, могат да се използват в шивашката индустрия за оригинално изрязване на тъкани.Пружинният механизъм на детските играчки за навиване най-често се поврежда, защото децата често се опитват да навият пружината, когато е вече усукана до краен предел. Една пръстеновидна пружина може да се превърне във „вечна машина за движение“ за детски играчки. Друг пример за възможното използване на нов механизъм е процепът на затвора на фото или филмова камера (не цифрова). При традиционните конструкции, след освобождаване на затвора, е необходимо да затворите слота на завесата на затвора и след това само да го върнете в първоначалното му положение, като същевременно зареждате пружината. В противен случай рамката ще светне при преминаване на прореза на затвора в обратна посока. Устройството на затвора е доста сложно. Използването на лента на Мьобиус опрости дизайна, увеличи неговата надеждност, издръжливост и производителност. В много матрични принтери мастилената лента има и формата на лента на Мьобиус, за да увеличи ресурса си. Благодарение на лентата на Мобиус се появиха много различни изобретения. Например, бяха създадени специални касети за магнетофони, които направиха възможно слушането на касети от „двете страни“, без да се променят местата им. Колко хора бяха възхитени от разходките „Roller Coaster“. Тази играчка беше много популярна не само сред математиците. Вероятно не е за нищо, че сега на входа на Музея на историята и технологиите във Вашингтон има паметник на лентата на Мобиус - стоманена лента, усукана на половин оборот, бавно се върти на пиедестал. Цяла поредица от скулптури под формата на лента на Мобиус е създадена от скулптора Макс Бил. Доста различни рисунки остави Мауриц Ешер. IV. Заключение Въпреки факта, че Мобиус е направил своето удивително откритие преди много време, то все още е много популярно днес. Проста лента хартия, усукана само веднъж и след това залепена в пръстен, веднага се превръща в мистериозна лента на Мобиус и придобива невероятни свойства. Такива свойства на повърхности и пространства се изучават от специален клон на математиката - топология. Тази наука е толкова сложна, че не се преподава в училище. Само в институти. Но кой знае, може би с времето ще станем известни тополози и ще направим прекрасни открития. И може би някоя сложна повърхност ще бъде кръстена на нас. Работейки с момчетата от моята група по проекта „Тайните на лентата на Мобиус“, научих много нови и интересни неща: научих се да намирам литература по тема, предложена от учителя в библиотеката, да чета и избирам необходимия материал ; използвайте статии в интернет, изберете необходимите илюстрации за резюмето, съставете таблици и ги попълнете; извършете изследване на „лентата на Мьобиус“ (направете необходимия брой завъртания, залепете и изрежете); снимайте получените пръстени и ги въведете в таблицата; правят презентация и филмови експерименти; говорете на конференция и изпълнявайте магически трикове. Всичко това е доста сложно и отнема много време, но много интересно. 16 „Топологията, най-младият и най-мощен клон на геометрията, ясно демонстрира плодотворното влияние на противоречията между интуицията и логиката” Р. Курант. 17 Литература 1. Гарднър М “Математически чудеса и мистерии”, Москва, “Наука” 1986 г. 2. Громов А.С. „Извънкласни задачи по математика 8-9 клас” Москва, Образование 3. Н. Лангдън, Ч. Снейп „По пътя с математиката” Москва, Педагогика, 1987 г. 4. Научно-популярно списание „Квант” 1975 г. № 7, 1977 г. No. 7. 5. Савин А.П. “Енциклопедичен речник на младия математик”, М, Просвещение, 1985 6. Якушева Г. М. “Голяма енциклопедия на ученик. Математика”, Москва, “WORD”, Eksmo, 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Приложение Лабораторна работа „Лента на Мьобиус” в математически кръг 19 Опитайте се да нарисувате едната страна на лентата на Мьобиус - парче по парче, без да преминавате през ръба на лентата. И какво? Ще рисуваш цялата лента на Мьобиус! 20 Поставете точка от едната страна на всеки пръстен и начертайте непрекъсната линия по протежение на нея, докато се върнете към маркираната точка. 21 Нека тестваме пръстените, като ги разрежем на две по дължина. 22 Сега ще имате два отделни пръстена. Но какво е това? Вместо два пръстена получавате един! Освен това той е по-голям и по-тънък от оригиналния пръстен. 23 Нека запишем резултатите от усукването и изрязването в таблицата за изследване. 24 И двата пръстена са два пъти по-дълги от изрязания, захванати един за друг. Един от пръстените преплита другия 25 Един пръстен с еднаква дължина, вторият два пъти по-дълъг са свързани един с друг 26 Нарязването на лентата на Мьобиус с допълнителни завъртания дава неочаквани фигури, наречени парадромични пръстени. 27

Има научни познания и феномени, които внасят мистерия и мистерия в ежедневието на нашия живот. Лентата на Мьобиус се отнася за тях в пълна степен.

Съвременната математика чудесно описва всички свои свойства и характеристики с помощта на формули. Но обикновените хора, които имат малко разбиране от топонимия и други геометрични мъдрости, почти всеки ден срещат предмети, направени по негов образ и подобие, без дори да го знаят.

Какво е? Кой го отвори и кога?

Лентата на Мьобиус, наричана още контур, повърхност или лист, е обект на изследване в математическата дисциплина топология, която изучава общите свойства на фигурите, които се запазват при такива непрекъснати трансформации като усукване, разтягане, компресия, огъване и други не свързани с нарушаване на целостта . Удивителна и уникална характеристика на такава лента е, че тя има само една страна и ръб и по никакъв начин не е свързана с местоположението й в пространството. Лентата на Мьобиус е топологична, т.е. непрекъснат обект с най-простата едностранна повърхност с граница в обикновеното евклидово пространство (3-измерно), където е възможно от една точка на такава повърхност да стигнете до всяка друга, без да пресичате ръбовете.

Такъв сложен обект като лентата на Мьобиус беше открит по доста необичаен начин. На първо място, отбелязваме, че двама математици, напълно несвързани помежду си в своите изследвания, го откриват по едно и също време - през 1858 г. Друг интересен факт е, че и двамата учени по различно време са били ученици на един и същи велик математик - Йохан Карл Фридрих Гаус. И така, до 1858 г. се смяташе, че всяка повърхност трябва да има две страни. Въпреки това Йохан Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мьобиус откриват геометричен обект, който има само една страна и описват неговите свойства. Лентата е кръстена на Мьобиус, но тополозите смятат Листинг и неговата работа „Предварителни изследвания в топологията“ за основател на „гумената геометрия“.

Имоти

Лентата на Мьобиус има следните свойства, които не се променят, когато се компресира, нарязва по дължина или смачква:

1. Наличието на една страна. А. Мобиус в работата си „За обема на полиедрите“ описва геометрична повърхност, по-късно наречена в негова чест, само с една страна. Много е лесно да проверите това: вземете лента или лента на Мобиус и се опитайте да нарисувате вътрешността с един цвят, а външната страна с друг. Няма значение в кое място и посока е започнало оцветяването, цялата фигура ще бъде боядисана с един и същи цвят.

2. Непрекъснатостта се изразява в това, че всяка точка от тази геометрична фигура може да бъде свързана с всяка друга точка, без да се пресичат границите на повърхността на Мьобиус.

3. Свързаността или двуизмерността се състои в това, че при нарязване на лентата по дължина от нея няма да се получат няколко различни форми и тя остава твърда.

4. Липсва му такова важно свойство като ориентация. Това означава, че човек, който следва тази фигура, ще се върне в началото на своя път, но само в огледален образ на себе си. Така една безкрайна лента на Мьобиус може да доведе до вечно пътуване.

5. Специално хроматично число, показващо максималния възможен брой области на повърхността на Мьобиус, които могат да бъдат създадени, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Лентата на Мьобиус има хроматично число 6, но хартиеният пръстен има хроматично число 5.

Научна употреба

Днес лентата на Мьобиус и нейните свойства се използват широко в науката, като служат като основа за изграждане на нови хипотези и теории, провеждане на изследвания и експерименти и създаване на нови механизми и устройства.

По този начин съществува хипотеза, според която Вселената е огромна примка на Мобиус. Това косвено се доказва от теорията на относителността на Айнщайн, според която дори кораб, летящ направо, може да се върне в същата времева и пространствена точка, от която е тръгнал.

Друга теория разглежда ДНК като част от повърхността на Мобиус, което обяснява трудността при разчитането и дешифрирането на генетичния код. Освен всичко друго, такава структура дава логично обяснение за биологичната смърт - спирала, затворена върху себе си, води до самоунищожение на обекта.

Според физиците много оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Така например огледалното отражение е специално прехвърляне във времето и човек вижда огледалото си двойно пред себе си.

Прилагане на практика

Лентата на Mobius се използва в различни индустрии от дълго време. Великият изобретател Никола Тесла в началото на века изобретява резистора на Мобиус, състоящ се от две проводими повърхности, усукани на 1800, които могат да устоят на потока на електрически ток, без да създават електромагнитни смущения.

Въз основа на изследванията на повърхността на лентата на Мьобиус и нейните свойства са създадени много устройства и инструменти. Формата му се повтаря при създаването на лентови конвейерни ленти и мастилени ленти в печатащи устройства, абразивни ленти за заточване на инструменти и автоматични трансфери. Това ви позволява значително да увеличите експлоатационния им живот, тъй като износването става по-равномерно.

Неотдавна удивителните характеристики на лентата на Мобиус направиха възможно създаването на пружина, която, за разлика от конвенционалните пружини, които се задействат в обратна посока, не променя посоката на действие. Използва се в стабилизатора на задвижването на волана, осигурявайки връщането на волана в първоначалното му положение.

Освен това знакът с лентата на Мьобиус се използва в различни марки и лога. Най-известният от тях е международният символ на рециклирането. Поставя се върху опаковките на стоки, които могат да се рециклират или са направени от рециклирани ресурси.

Източник на творческо вдъхновение

Лентата на Мьобиус и нейните свойства формират основата за работата на много художници, писатели, скулптори и режисьори. Най-известният художник, който използва лентата и нейните характеристики в произведения като „Лентата на Мобиус II (Червени мравки)“, „Ездачи“ и „Възли“, е Мауриц Корнелис Ешер.

Лентите на Мьобиус или повърхностите с минимална енергия, както още ги наричат, са се превърнали в източник на вдъхновение за математически художници и скулптори като Брент Колинс и Макс Бил. Най-известният паметник на лентата на Мобиус е инсталиран на входа на Музея за история и технологии във Вашингтон.

Руските художници също не останаха настрана от тази тема и създадоха свои собствени произведения. Скулптурите на Лентата на Мобиус са поставени в Москва и Екатеринбург.

Литература и топология

Необичайните свойства на повърхностите на Мьобиус са вдъхновили много писатели да създават фантастични и сюрреалистични творби. Примката на Мобиус играе важна роля в романа на Р. Зелазни „Врати в пясъка“ и служи като средство за движение през пространството и времето за главния герой на романа „Некроскоп“ на Б. Лъмли

Тя също се появява в разказите „Стената на мрака“ от Артър С. Кларк, „На лентата на Мобиус“ от М. Клифтън и „Ивицата на Мобиус“ от А. Дж. Дейч. Въз основа на последния режисьорът Густаво Москера направи фантастичния филм „Мобиус“.

Ние го правим сами, със собствените си ръце!

Ако се интересувате от лентата на Mobius, как да направите модел от нея, малка инструкция ще ви каже:

1. За да направите неговия модел ще ви трябва:

Лист обикновена хартия;

ножици;

Владетел.

2. Изрежете лента от лист хартия, така че ширината й да е 5-6 пъти по-малка от дължината.

3. Поставете получената хартиена лента върху равна повърхност. Държим единия край с ръка, а другия завъртаме на 1800, така че лентата да се усуче и грешната страна да стане предната.

4. Залепете краищата на усуканата лента заедно, както е показано на фигурата.

Лентата на Мобиус е готова.

5. Вземете химикал или маркер и започнете да рисувате път в средата на лентата. Ако сте направили всичко правилно, ще се върнете на същата точка, от която сте започнали да рисувате линията.

За да получите визуално потвърждение, че лентата на Мьобиус е едностранен обект, опитайте се да нарисувате една от страните й с молив или химикал. След известно време ще видите, че сте го боядисали напълно.публикуван

Бударина Светлана

Арнт Анастасия

Статията обсъжда историята на откриването на лентата на Мьобиус и експериментите, които могат да бъдат извършени с лентата на Мьобиус.

Изтегли:

Преглед:

Общинско бюджетно учебно заведение

"Весенненска гимназия"

Коледни четения

Номинация: "Точни науки"

Тайните на лентата на Мьобиус

Арнт Анастасия

Ученик от 5 клас

Ръководител:

Арнт Ирина

Василевна,

Учител по математика

с. Пролет

2014 година

Въведение. ………………………………………………………..…..…..… С. 3

Глава I. Историческа справка. .....………………………………....... С. 3-4

Глава II. Лента на Мьобиус. ………………………………………….....…….С. 4-9

§1. Изработване на лента на Мьобиус. ……………………………………………..С. 4

§2. Експерименти с лентата на Мьобиус. ……..………………………......С. 4-6

§3. Приложение на лентата на Мьобиус в живота. …………………………….. стр.7-9

Заключение. ………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………… 9

Литература. ……………………………………………………………..….С. 10

Въведение.

Всеки от нас има интуитивна представа за това какво е "повърхност". Повърхността на лист хартия, повърхността на стените на класната стая, повърхността на земното кълбо са известни на всички. Може ли да има нещо неочаквано и дори мистериозно в толкова обикновена концепция? Примерният лист на Мьобиус показва, че може. Много хора знаят какво представлява лентата на Мьобиус (лента). За тези, които все още не са запознати с удивителния работен лист, който принадлежи към „математическите изненади“, ви каним да изследвате с нас и да се потопите в яркото усещане на знанието.

Много се заинтересувах от тази тема. Реших да задълбоча знанията си в тази област.

Целта на моята работа: да изследвам лентата на Мьобиус като един от обектите на топологията.

Цели: - събиране на цялата възможна информация за лентата на Мьобиус;

Експериментално изследване на свойствата на лентата на Мьобиус;

Покажете използването на лентата на Мьобиус в живота.

Глава I. Историческа справка.

Мистериозен и известенЛентата на Мьобиус е открита независимо от немските математици Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг през 1858 г.

Август Фердинанд Мобиус(1790-1868), роден в град Шулпфорте, немски геометър, ученик на „краля на математиците” известния К.Ф. Гаус. Мобиус първоначално е астроном. Професор в Лайпцигския университет от 1816 г. Той започва да провежда независими астрономически наблюдения в обсерваторията в Плейзенбург през 1818 г. става негов директор. Работейки в тиха самота, Мьобиус прави много интересни открития, той става един от най-големите геометри на 19 век. На 68-годишна възраст той успява да направи откритие с удивителна красота. Това е откриването на едностранни повърхности, една от които е лентата на Мьобиус.Това е най-значимото събитие в живота му!

Казват, че Мобиус е помогнал да отвори своя „лист“ от прислужница, която е зашила неправилно краищата на лентата.

Често в историята има случаи, когато една идея хрумва на няколко изобретатели едновременно. Това се случи с лентата на Мьобиус.

През същата 1858 г. идеята за лентата дойде на друг учен, ученик на K.F. Гаус -Йохан Бенедикт Листинг(1808-1882), немски математик и физик, професор в университета в Гьотинген. Той даде името на науката, която изучава непрекъснатостта -топология

Топологията изучава свойствата на геометричните форми, които не се променят, ако са огънати, разтегнати или компресирани. Първенството в откриването на топологичен обект - лента - отиде при Август Мобиус.

Какво порази тези двама немски професори? И фактът, че лентата на Мьобиус има само една страна.

Глава II. Лента на Мьобиус.

§1. Изработване на лента на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус се прави много лесно, държи се в ръцете, изрязва се, експериментира се по друг начин. Изучаването на лентата на Мьобиус е добро въведение в елементите на топологията.

Лентата на Мьобиус е една от онези математически изненади. За да направите лента на Мьобиус, вземете правоъгълна лента ABB 1 A 1 , завъртете го на 180 градуса и залепете противоположните страни AB и A 1 в 1 , т.е. така че точките А и В да съвпадат 1 и точки А 1 и Б.

Получаваме усукан пръстен.И се питаме: колко страни има този лист хартия? Две, като някой друг? Не. Има ЕДНА страна. не ми вярваш

§ 2. Опити с лентата на Мьобиус.

За да проуча свойствата му, проведох няколко експеримента, които разделих на две групи:

I група.

Опит No1 . Започнах да рисувам лентата на Мьобиус, без да я обръщам.

Резултат. Лентата на Мьобиус беше изцяло боядисана.

„Ако някой реши да нарисува само едната страна на повърхността на лента на Мьобиус, нека незабавно да я потопи цялата в кофа с боя“, пишат Ричард Курант и Хърбърт Робинс в отличната книга „Какво е математика?“

Опит No2.

Представете си, че шейпшифтър пътува по лента на Мьобиус и след като измине целия път, той ще се върне в началната точка. Едновременно ще обикаля и двете повърхности – външна и вътрешна, без да пресича ръбовете.Това доказва товалентата на Мьобиус е едностранна повърхност Той се върна в началната точка. Но под каква форма! Обърнат!

И за да се върне на старта в нормална позиция, той трябва да направи още едно „кръглолистно“ пътуване. Лентата на Мьобиус има само една страна!

II група експерименти, свързани с изрязване на лентата на Мьобиус.

Проведох серия от експерименти, резултатите от които бяха въведени в таблица.

Това са неочакваните неща, които се случват с обикновена лента хартия, ако я залепите заедно в лента на Мьобиус.

§3. Приложение на лентата на Мьобиус в живота.

Докато вършех тази работа, стигнах до извода, че въпреки че лентата на Мьобиус е открита още през 19 век, тя е уместна както през 20, така и през 20 век.

Удивителните свойства на лентата на Мьобиус са били и се използват в технологиите, физиката и оптиката. Той е вдъхновил творчеството на много писатели и художници.

Любопитно е, че лентата на Мобиус продължава да вълнува умовете на изобретателите дори и сега. В много страни по света са патентовани невероятни механизми, базирани на него.

Лентата на Мьобиус в техниката и физиката

На магнитните ленти, завъртяни от Мобиус, обемът на записаната информация се удвоява ииграе два пъти по-дълго.Създадени са специални касети, които позволяват да ги слушате от „двете страни“, без да променяте местата.

Тази лента работи чудесно за връзване и пренасяне на товари в пристанища. Конвейерните ленти за преместване на горещи материали, ако се обърнат според Мьобиус, ще се редуват да „почиват“ от горещите материали. В резултат на това охлаждането на колана се подобрява и коланът се износва равномерно, което означава, че ще издържи по-дълго.Това осигурява значителни спестявания.

Лентата на Мьобиус в природата и в живота.

Има хипотеза, че самата спирала на ДНК също е фрагмент от лента на Мьобиус и това е единствената причина генетичният код да е толкова труден за дешифриране и възприемане. Освен това такава структура съвсем логично обяснява причината за настъпването на биологичната смърт - спиралата се затваря в себе си и настъпва самоунищожение.

Лентата на Мьобиус в изкуството.

Мистериозната лента на Мьобиус винаги е вълнувала умовете на писатели, художници и скулптори. Лентата на Мьобиус служи като вдъхновение за скулптури и графично изкуство. Ешер беше един от художниците, които го обичаха особено и посвети няколко от своите литографии на този математически обект. Един известен показва мравки, пълзящи по повърхността на лента на Мьобиус.

Широко известни са и неговите рисунки, изобразяващи лента на Мьобиус.

Много интересни са паметниците, посветени на лентата на Мьобиус.

Улиците на много градове са украсени със скулптури, базирани на темата за лентата на Мобиус.

Бижутерите посветиха своите творби на лентата на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус е изобразена на различни емблеми и е изобразена на значката на Механико-математическия факултет на Московския университет.

Международният символ за рециклиране също е лентата на Мьобиус.

Освен това кратер от обратната страна на Луната е кръстен на Мьобиус.

Архитектите използват лентата на Мьобиус по новаторски начини. Ето как изглежда например невероятният проект за нова библиотека в Астана (Казахстан).

Заключение.

Лентата на Мьобиус има много интересни свойства.

1. Лентата на Мьобиус има един ръб.
2. Лентата на Мьобиус има една страна.
3. Лентата на Мьобиус е топологичен обект. Като всяка топологична фигура, лентата на Мьобиус не променя свойствата си, докато не бъде нарязана, разкъсана или отделните й части не бъдат залепени заедно.
4. Единият ръб и едната страна на лентата на Мьобиус не са свързани с нейното положение в пространството и не са свързани с понятията за разстояние.

Лентата на Мьобиус е първата открита едностранна повърхност. По-късно математиците откриха цяла поредица от едностранни повърхности. В тази работа се опитах да опиша свойствата на красива повърхност - лентата на Мобиус, да покажа нейното значение на практика и да докажа, че лентата на Мобиус е топологична фигура.

Въпреки факта, че Мьобиус е направил своето удивително откритие преди много време, то е много популярно и днес:

• Математиците са подложени на допълнителни изследвания;
• за учениците е много интересно да експериментират с лентата на Мьобиус;
• в технологиите – откриват се нови начини за използване на лентата на Мьобиус.

Не съм изчерпал експериментите с лентата на Мьобиус. Те са безкрайни, интересни и зависят от собственото ви търпение. В бъдеще смятам да продължа да изследвам това непредвидимо листо.

Литература.

1. Волошинов А.В., „Математика и изкуство” М.: „Просвещение”, 1996.
2. Вестник "Математика" приложение на издателство "Първи септември", бр.14 1999г., бр.24 2006г.
3. Гарднър М. “Математически чудеса и мистерии”, “Наука” 1978 г.
4. Гусев В.А., Комбаров А.П. „Математическа загрявка” М.: „Просвещение”, 1986 г.
5. Ресурси на интернет сайта:http://ru.wikipedia.
6. Kordemsky B. A. Направи си сам топологични експерименти. Квант, 1974, № 3.

Един от най-простите и в същото време най-сложните и странни обекти е лентата на Мьобиус. Въпреки цялата оригиналност на тази фигура, можете лесно да я направите сами и да извършите всички експерименти, описани в тази статия.

Лентата на Мьобиус е най-простата неориентируема повърхност, която е едностранна в триизмерното пространство. Често се нарича повърхност на Мьобиус и се класифицира като непрекъснат (топологичен) обект.

Според легендата немският астроном, математик и механик Август Фердинанд Мьобиус открил този обект, след като прислужница, работеща в къщата му, зашила платнена лента в пръстен, като небрежно обърнала единия й край. Виждайки резултата, вместо да се скара на нещастното момиче, Мобиус каза: „О, да, Марта! Момичето не е толкова глупаво. В крайна сметка това е едностранна пръстеновидна повърхност. Лентата няма гръб!“

Август Фердинанд Мобиус.

След като проучи свойствата на лентата, Мобиус написа статия за нея и я изпрати на Парижката академия на науките, но никога не я видя публикувана. Неговите материали бяха публикувани след смъртта на математика и необичайна топологична повърхност беше наречена в негова чест.

Създаването на лента на Мьобиус е много просто: вземете лента ABCD и след това я сгънете така, че точки A и D да се свържат с B и C.

Изработване на лента на Мьобиус. Резултатът е една на пръв поглед обикновена фигура, която има много интересни свойства.

Необичайни свойства на лентата на Мьобиус

Едностранност
Всички сме свикнали с факта, че повърхностите на всички обекти, които срещаме в реалния свят (например лист хартия), имат две страни. Но повърхността на лентата на Мьобиус е едностранна. Това може лесно да се провери чрез рисуване върху лентата. Ако вземете молив и започнете да оцветявате лентата от всяко място, без да я обръщате, тогава в крайна сметка лентата ще бъде напълно боядисана.

Ако някой се опита да нарисува само едната страна на повърхността на лентата на Мьобиус, тогава е по-добре веднага да я потопи в кофа с боя, повърхността на лентата на Мьобиус е непрекъсната

Това може лесно да се провери по следния начин: ако поставите точка където и да е на лентата, тя може да бъде свързана с всяка друга точка на повърхността на лентата, без да пресича ръба. Така се оказва, че повърхността на този обект е непрекъсната.

Лентата на Мьобиус няма ориентация
Ако успеете да преминете през цялата лента на Мьобиус, тогава в момента, в който се върнете в началната точка на пътуването, ще се превърнете в огледален образ на себе си.

Ако лентата е нарязана по дължина в средата, тогава в този случай получавате само една лента, въпреки че логиката казва, че трябва да има две от тях и ако я отрежете, отстъпвайки от ръба с една трета от ширината на лента, ще получите два пръстена, свързани заедно - малък и голям. След като направим надлъжен разрез на малкия пръстен в средата, в крайна сметка ще получим два преплетени пръстена със същия размер, но различни по ширина.

Практическо използване на лентата на Мьобиус
Вече има доста изобретения, базирани на свойствата на този необичаен топологичен обект. Например, мастилената лента в матричните принтери, усукана в лента на Мобиус, издържа много по-дълго, тъй като износването в този случай се извършва равномерно по цялата й повърхност. А лопатките на кухненски миксер или бетонобъркачка, усукани във формата на този геометричен обект, намаляват разходите за енергия с 20%, като в същото време качеството на получената смес се подобрява.

Съществува хипотеза, че ДНК полимерът, който е двойна спирала, е фрагмент от лента на Мьобиус и поради тази причина ДНК кодът е толкова труден за дешифриране и разбиране.

Някои физици казват, че оптичните ефекти се основават на същите свойства, които притежава този парадоксален обект, така че нашето отражение в огледалото е частен случай на едно от свойствата на лентата на Мобиус.

Друга хипотеза, свързана с този математически обект е, че самата ни Вселена може да е затворена в такава лента и да има свое собствено огледално копие. Защото, ако винаги се движим в една посока по лентата на Мьобиус, то в крайна сметка ще се окажем в началната точка на нашето пътуване, но в собствения си огледален образ.

Мистериозната бутилка Klein
Въз основа на лентата на Мьобиус има още една удивителна фигура - бутилката Клайн. Това е бутилка с дупка на дъното. Гърлото на бутилката е удължено и извито, преминавайки в една от стените на самата бутилка.

Клайн бутилка

Такава фигура не може да бъде възпроизведена в обикновено триизмерно пространство, тъй като гърлото не трябва да докосва стената на бутилката и трябва да бъде свързано с дупка в дъното ѝ. Това води до повърхност, която има само една страна. Бутилката Клайн и лентата на Мьобиус все още привличат вниманието на учени и писатели.

А. Дейч в един от своите разкази пише за това как един ден релсите се пресичат в метрото на Ню Йорк и цялото метро започва да прилича на лента на Мьобиус, а електрическите влакове, движещи се по релсите, започват да изчезват, появявайки се само след няколко месеца по късно.

В книгата на Александър Мич The Giveaway Game героите се озовават в пространство, което прилича на бутилка Klein.

Светът все още остава огромна мистерия за нас и кой знае какви други странности на космическите учени ще открият в близко бъдеще.

Нека си представим повърхност и мравка, седнала на нея. Ще успее ли мравката да пропълзи до другата страна на повърхността – образно казано, до долната й страна, без да се катери по ръба? Разбира се, че не!

Първият пример за едностранна повърхност, до всяко място, на което мравка може да пропълзи, без да се катери през ръба, е даден от Мобиус през 1858 г.

М. Ешер "Лента на Мьобиус II" "Преход" през лентата на Мьобиус в друго измерение

Август Фердинанд Мьобиус (1790-1868) - ученик на "краля" на математиците Гаус. Мьобиус първоначално е астроном, подобно на Гаус и много други, на които математиката дължи своето развитие. В онези дни математиката не се поддържаше, а астрономията осигуряваше достатъчно пари, за да не мислиш за тях, и оставяше време за собствените си мисли. И Мьобиус става един от най-големите геометри на 19 век.

На 68-годишна възраст Мьобиус прави откритие с удивителна красота. Това е откриването на едностранни повърхности, една от които е лентата (или лентата) на Мьобиус. Мьобиус дойде с идеята за панделката, когато забеляза прислужница, която носеше шала си неправилно около врата си.

М. Ешер "Лентата на Мьобиус"

Нека направим лента на Мобиус: вземете хартиена лента - дълъг тесен правоъгълник ABCD (удобни размери: дължина 30 см, ширина 3 см). След като завъртите единия край на лентата на 180º, залепете пръстен от него (точки A и C, B и D) Моделът е готов.

Модел на лентата на Мьобиусможе лесно да се създаде от лента хартия, като завъртите единия край на лентата на половин оборот и я свържете с другия край в затворена форма. Ако започнете да рисувате линия с молив върху повърхността на лентата, линията ще навлезе дълбоко във фигурата и ще премине под началната точка на линията, сякаш отива от „другата страна“ на лентата. Ако продължите линията, тя ще се върне в началната точка. В този случай дължината на начертаната линия ще бъде два пъти по-голяма от дължината на лентата хартия. Този пример показва, че лентата на Мьобиус има само една страна и една граница.

В евклидовото пространство всъщност има два вида наполовина обърната лента на Мьобиус: едната - по посока на часовниковата стрелка, другата - обратно на часовниковата стрелка.

Лентата на Мобиус ще ви изненада, ако се опитате да я отрежете.Изрежете листа по централната линия. Какво получи? Вместо да се разпадне на две части, лентата се разгръща в дълга, свързана, затворена лента. Отрежете лентата, получена след първия разрез, отново по централната линия. Преди последното стискане на ножицата, опитайте се да познаете какво ще се случи?

За да получим лента на Мьобиус, завъртяхме лентата хартия на 180º, половин оборот. Сега завъртете лентата на 360º, пълен оборот. Залепете го заедно, след което го изрежете по централната линия. Трудно е да се предвиди какъв ще бъде резултатът.

Сега нека се опитаме да направим такъв модел: изрежете прорез в лентата ABCD и прокарайте единия край през него. Завъртете го на половин оборот и го залепете заедно, както е показано на снимката.

Сега продължете разреза по цялата лента. Какво получи?

Мистериозната и известна лента на Мьобиус, която се появява през 1858 г., тревожи художници и скулптори. Много рисунки, изобразяващи лентата на Мьобиус, са оставени от известния холандски художник Морис Ешер (виж статията).

В скулптурата може да се намери цяла поредица от варианти на лентата на Мьобиус.

Романтика с камък. Прашка на Мобиус. С. Карпиков Паметник на лентата на Мьобиус в Москва. А. Налич

Парадокс и съвършенство. А. Еткало Геометрични скулптури от Мерит Расмусен

Минск. Площад в близост до Централната научна библиотека на името на Якуб Колас.

Архитектурни решения по идеята за лентата на Мьобиус:

Невероятен нов библиотечен проект в Астана, Казахстан

Състав на масата:

Има дори мебели под формата на лента на Мьобиус

Бижута под формата на лента на Мьобиус:

Има хипотеза, че самата спирала на човешката ДНК също е фрагмент от лента на Мьобиус.

Международният символ за рециклиране е лентата на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус също е повтаряща се тема в научната фантастика., например в разказа на Артър С. Кларк „Стената на мрака“. Понякога научнофантастичните истории (следвайки теоретичните физици) предполагат, че нашата Вселена може да е някакъв вид обобщена лента на Мьобиус. Също така пръстенът на Мобиус постоянно се споменава в произведенията на уралския писател Владислав Крапивин, цикълът „В дълбините на Великия кристал“ (например „Аванпост на котвеното поле. Приказка“). В разказа „The Mobius Strip“ от A. J. Deitch бостънското метро изгражда нова линия, чийто маршрут става толкова объркващ, че се превръща в лента на Mobius, което кара влаковете да изчезнат по линията. Въз основа на историята е заснет научнофантастичният филм „Мобиус“, режисиран от Густаво Москера. Също така идеята за лентата на Мобиус се използва в историята на М. Клифтън „На лентата на Мобиус“. Ходът на романа на съвременния руски писател Алексей А. Шепелев „Ехо” (СПб.: Амфора, 2003) се сравнява с лентата на Мьобиус. От анотацията към книгата: „„Ехо“ е литературна аналогия на пръстена на Мобиус: две сюжетни линии – „момчета“ и „момичета“ – са преплетени, преливат една в друга, но не се пресичат.“