Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.
События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:
1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.
2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления
которое выражено в дизъюнктивной форме, например:
где x i – условие работоспособности i- го элемента Fл; X i = 1 – работоспособное состояние, X i = 0 – неработоспособное состояние.
3. Приведение логической функции работоспособности F Л к ортогональной бесповторной форме F ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.
Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D i состоит из букв х i , с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х 1 , х 2 , x 4 и х 3 , x 2 равно нулю, так как одна из них содержит x 2 , а другая – x 2 , следовательно, они ортогональны; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2 , где x 2 и x 2 имеют один и тот же номер, поэтому член D 1 не является бесповторным.
– ортогональная бесповторная форма;
– ортогональная, но не бесповторная форма.
Функцию F л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:
1) x 1 ×x 2 = x 2 ×x 1 ;
4. Арифметизация F ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F ЛО определяется арифметическая функция F a (2.3).
где A i – арифметическая форма членов D i функции F ло.
Арифметизация членов D i , в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:
5. Определение вероятности безотказной работы системы.
Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).
Задание
Вычислить вероятность безотказной работы P c системы со структурой и параметрами, заданными в п.6.4, логико-вероятностным методом. Сравнить полученный результат с граничными оценками, полученными в п.6.
Элементы теории
Пусть x=(x 1 ,..., x n) - n-мериый вектор, характеризующий состояние системы, где х i - булева переменная: х i = 1 , если i -я подсистема работоспособна, и,x i =0 в противном случае.
Введя соответствующий критерий отказадля системы, можно задать булеву функцию, описывающую состояние работоспособности илиотказа системы:
R(x)=1,если система работоспособна. R(x)=0если система отказывает.
Если система находится в состоянии отказа. если система работоспособна.
Здесь R(х) - функция работоспособности, - функция отказа в состоянии х.
Перейдем к вероятностным функциям:
Здесь Р - вероятность безотказной работы системы и Q - вероятность отказа системы, определенные для случая, когда х i соответствует работоспособному состоянию i -го элемента (подсистемы). Р и Q здесь определены для того же момента времени, что и р (х i) и q (х i) - вероятности безотказной работы и отказа элементов.
Структура системы называется монотонной, если для функции R(х ) выполняются следующие условия:
а) R(1)= 1 , где 1 =(1 ,...,1);
б) R(0) = 0,где0 = (0,...,0);
в) R (х) ≥R(у) , если х ≥у,
где условие (в) понимается как совокупность п условий х i ≥у i .
Для оценки надежности таких систем применяются метод минимальных путей и минимальных сечений, логико-всроятностнчй метод и другие.
К монотонным структурам относятся последовательно-параллельные и параллельно-последовательные структуры, а также несводимые к ним, такие, например, как "мостиковые".
Пример решения
Применение логико-вероятностного метода, позволяющего получить точное значение вероятности безотказной работы, рассмотрим на примере мостиковой структуры, представленной на рис. 6.1.
Функцию R (х) представим в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) множеством минимальных путей (см. п.6.2)
R(х) = x 1 х 4 V х 1 x 3 x 5 V х 2 х 5 V х 2 x 3 х 4 ,
где х i - булева переменная, определяющая состояние работоспособностьi-го элемента. Матричная форма булевой функции R(х) представленана рис 7.1.
Для вычисления Р с необходимоR(х) представить в ортогональной форме R орт , т.е. в виде множества непересекающихся интервалов.
И соответствии с матрицей рис. 7.1 имеем:
Для вычисления достаточно в (7.1) х i заменить на р i , на 1 -p i , конъюнкцию - на произведение и дизъюнкцию - на сумму. Проделав это, получим:
Пусть p i =p =0,8 тогда,
Сравнение с результатом, полученным в п. 6.3. дает:
0,9069<0,9611<0,9692
Библиографический список
1. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. – М.:Сов.радио, 1975. – 472 с.
2. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. – М.:Высш.шк., 1989. – 216 с.
3. Надежность технических систем: Справочник / Ю.К. Беляев, В.А. Богатырев, и др.; Под ред. И.А. Ушакова. – М.: Радио и связи, 1985. – 608 с.
4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем. – 4-е изд. – М.: Энергоатом-издат, 1986. – 480 с.
5. Каган Б.М., Мкртумян И.Б. Основы эксплуатации ЭВМ. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 432 с.
Лекция 9
Тема: Оценка надежности методом путей и сечений. Логико-вероятностные методы анализа сложных систем
План
1. Метод минимальных путей и сечений для расчета показателей надежности систем с разветвленной структурой.
2. Основные определения и понятия логико-вероятностных методов анализа и оценка надежности ИС.
3. Сущность метода кратчайшего пути успешного функционирования и минимального сечения отказов.
4. Расчет функции работоспособности и функции отказа для мостиковой структуры.
5. Области применения этих методов. Статистическое моделирование для оценки надежности ИС.
Ключевые слова
Показатели надежности, разветвленная структура ИС, минимальных путь, сечение, логико-вероятностный метод, мостиковая схема, функция работоспособности, кратчайший путь успешного функционирования, минимальное сечение отказов, вероятность безотказной работы, функция алгебры логики, структурная схема расчета надежности.
Встречаются структуры и способы организации ИС, когда резервирование имеет место, но его нельзя представить по схеме последовательного и параллельного включения элементов или подсистем. Для анализа надежности таких структур используют метод минимальных путей и сечений, который относится к приближенным методам и позволяет определить граничные оценки надежности сверху и снизу .
Путем в сложной структуре называется последовательность элементов, обеспечивающих функционирование (работоспособность) системы.
Сечением называется совокупность элементов, отказы которых приводят к отказу системы.
Вероятность безотказной работы последовательно включенных параллельных цепей дает верхнюю оценку для ВБР системы данной структуры. Вероятность безотказной работы параллельно включенных последовательных цепей из элементов путей дает нижнию оценку для ВБР системы данной структуры. Фактическое значение показателя надежности находится между верхней и нижней границами.
Рассмотрим мостиковую схему соединения элементов системы, состоящей из пяти элементов (рис. 1).
Рис. 1. Мостиковая схема соединения элементов (подсист.)
Здесь набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в переделах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Набор минимальных путей для мостиковой схемы представлен на рис. 2. Пути образуют элемента 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.
Рис. 2. Набор минимальных путей.
Для всех элементов схемы известны ВБР Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» Q 1 ÷ Q 5 , необходимо определить вероятность наличие цепи между точками а и в . Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху.
Р в = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-Р 1 Р 3)(1-Р 2 Р 4)(1-Р 1 Р 5 Р 4)(1-Р 2 Р 5 Р 3)
При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы.
При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы.
Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В переделах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.
Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3. Так как один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу.
P н = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )
Рис. 3. Набор минимальных сечений
Вероятность безотказной работы системы Р с оценивается тогда по двойному неравенству
Р н ≤Р с ≤Р в
Таким образом, данный метод позволяет представить систему с произвольной структурой в виде параллельных и последовательных цепей. (При составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов). Метод прост, но требует точного определения всех путей и сечений. Он получил широкое применение при расчете надежности подсистем АСУТП, особенно применительно к системам защиты и логического управления. Его используют в системах регулирования мощности реактора, предусматривающая возможность перехода от одной неисправной цепи регулирования к другой, находящийся в резервном состоянии.
Логико-вероятностные методы анализа надежности систем
Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .
Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).
Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y ) = 1.
Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:
1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:
где
i
– принадлежит множеству номеров
, соответствующих данному
l
-му пути.
Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.
2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:
где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.
Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.
Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).
Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.
1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.
;
2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО
;
Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.
Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:
;
функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:
При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):
Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.
Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.
Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.
Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .
Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале
Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/ N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы
где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.
Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.
Контрольные вопросы и задания
1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .
2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?
3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?
4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?
5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.
6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.
7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?
8. Что называется функцией работоспособности?
9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.
10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ
Любой метод анализа надежности требует описания условий работоспособности системы. Такие условия могут быть сформулированы на основании:
Структурной схемы функционирования системы (схемы расчета надежности);
Словесного описания функционирования системы;
Граф-схемы;
Функции алгебры логики.
Логико-вероятностный метод анализа надежности позволяет формализовать определение и смысл благоприятных гипотез. Сущность этого метода состоит в следующем.
· Состояние каждого элемента кодируется нулем и единицей:
В функциях алгебры логики состояния элементов представляются в следующем виде:
Х i - исправное состояние элемента, соответствующее коду 1;
Отказовое состояние элемента, соответствующее коду 0.
Записывается с помощью функций алгебры логики условие работоспособности системы через работоспособность (состояние) ее элементов. Полученная функция работоспособности системы является двоичной функцией двоичных, аргументов.
Полученная ФАЛ преобразуется таким образом, чтобы в ней содержались члены, соответствующие благоприятным гипотезам исправной работы системы.
В ФАЛ вместо двоичных переменных х i и подставляются вероятности соответственно безотказной работы р i и вероятности отказа q i . Знаки конъюнкции и дизъюнкции заменяются алгебраическими умножением и сложением.
Полученное выражение и есть вероятность безотказной работы системы P c (t).
Рассмотрим логико-вероятностный метод на примерах.
ПРИМЕР 5.10. Структурная схема системы представляет собой основное (последовательное) соединение элементов (рис. 5.14).
На структурной схеме х i , i = 1, 2,..., п - состояние i -го элемента системы, кодируемое 0, если элемент находится в отказовом состоянии, и 1, если он исправный. В данном случае система исправна, если исправны все ее элементы. Тогда ФАЛ является конъюнкцией логических переменных, т.е. у=x 1 ,x 2 ,…..,х п, представляющей собой совершенную дизъюнктивно нормальную форму системы.
Подставляя вместо логических переменных вероятности исправных состояний элементов и, заменяя конъюнкцию на алгебраическое умножение, получим:
ПРИМЕР 5.11. Структурная схема системы представляет собой дублированную систему с неравнонадежными, постоянно включенными подсистемами (рис. 5.15).
На рис. 5.15 х 1 и х 2 - состояния элементов системы. Составим таблицу истинности двух двоичных переменных (табл. 5.2).
В таблице 0 - отказовое состояние элемента, 1 - исправное состояние элемента. В данном случае система исправна, если исправны оба элемента (1,1) или один из них ((0,1) или (1,0)). Тогда работоспособное состояние системы описывается следующей функцией алгебры логики:
Этафункция является совершенной дизъюнктивной нормальной формой. Заменяя операции дизъюнкции и конъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения, а логические переменные - на соответствующие вероятности состояния элементов, получим вероятность безотказной работы системы:
ПРИМЕР 5.12. Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.16.
Составим таблицу истинности (табл. 53).
В данном примере система исправна, если исправны все ее элементы или исправным является элемент x i и один из элементов дублированной пары (х 2 , х 3 ). На основании таблицы истинности СДНФ будет иметь вид:
Подставляя вместо двоичных переменных соответствующие вероятности, а вместо конъюнкций и дизъюнкций - алгебраические умножение и сложение, получим вероятность безотказной работы системы:
Функцию алгебры логики можно представить в минимальной форме, если воспользоваться следующими преобразованиями:
Операции поглощения и склеивания в алгебре не применимы. В связи с этим нельзя полученную ФАЛ минимизировать, а затем вместо логических переменных подставлять значения вероятностей. Вероятности состояний элементов следует подставлять в СДНФ, а упрощать по правилам алгебры.
Недостатком описанного метода является необходимость составления таблицы истинности, что требует перебора всех работоспособных состояний системы.
5.3.2. Метод кратчайших путей и минимальных сечений
Этот метод был рассмотрен ранее в разд. 5.2.3. Изложим его с позиции алгебры логики.
Функцию работоспособности можно описать с помощью кратчайших путей пешного функционирования системы и минимальных сечений ее отказа.
Кратчайшим путем называется минимальная конъюнкция работоспособных:стояний элементов, образующих работоспособную систему.
Минимальным сечением называется минимальная конъюнкция неработоспособных состояний элементов, образующих неработоспособное состояние системы.
ПРИМЕР 5.13. Необходимо образовать функцию работоспособности системы структурная схема которой приведена на рис. 5.17, используя метод кратчайших путей и минимальных сечений.
Решение. В данном случае кратчайшими путями, образующими работоспособную систему, будут: х 1 х 2 , х 3 х 4 , х 1 х 5 х 4 , х 3 х 5 х 2 . Тогда функция работоспособности запишется в виде следующей функции алгебры логики:
В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы рис. 5.17 может быть представлена структурной схемой рис. 5.18.
Минимальными сечениями, образующими неработоспособную систему, будут: х 1 х 3 , х 2 х 4 , х 1 х 5 х 4 , х 3 х 5 х 2 . Тогда функция неработоспособности запишется в виде следующей функции алгебры логики:
В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы будет представлена в виде, показанном на рис. 5.19.
Следует иметь в виду, что структурные схемы рис. 5.18 и рис. 5.19 не являются схемами расчета надежности, а выражения для ФАЛ работоспособного и неработоспособного состояний не являются выражениями для определения вероятности безотказной работы и вероятности отказа:
Основные достоинства ФАЛ в том, что они позволяют получить формально, не составляя таблицы истинности, СДНФ и СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма), которые дают возможность получить вероятность безотказной работы (вероятность отказа) системы путем подстановки в ФАЛ вместо логических переменных соответствующих значений вероятностей безотказной работы, заменив операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения.
Для получения СДНФ необходимо каждый дизъюнктивный член ФАЛ умножить на, где х i - недостающий аргумент, и раскрыть скобки. Ответом будет СДНФ. Рассмотрим этот способ на примере.
ПРИМЕР 5.14. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Вероятности безотказной работы элементов равны р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 .
Решение. Воспользуемся методом кратчайших путей. Функция алгебры логики, полученная методом кратчайших путей, имеет вид:
Получим СДНФ системы. Для этого умножим дизъюнктивные члены на недостающие:
Раскрывая скобки и выполняя преобразования по правилам алгебры логики, получим СДНФ:
Подставляя в СДНФ вместо х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 вероятности безотказной работы р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 и используя соотношения q i = 1–р i , получим следующее выражение для вероятности безотказной работы системы.
Из приведенного примера видно, что метод кратчайших путей освободил нас от определения благоприятных гипотез. Тот же результат можно получить, если воспользоваться методом минимальных сечений.
5.3.3. Алгоритм разрезания
Алгоритм разрезания позволяет получить ФАЛ, подставляя в которую вместо логических переменных вероятности безотказной работы (вероятности отказа) элементов можно найти вероятность безотказной работы системы. Получения для этой цели СДНФ не требуется.
Алгоритм разрезания основан на следующей теореме алгебры логики: функция алгебры логики у(х ь х 2 ,...,х п) может быть представлена в следующей форме:
Покажем применимость этой теоремы на трех примерах:
Применяя второй распределительный закон алгебры логики, получим:
ПРИМЕР 5.15. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 5.16, воспользовавшись алгоритмом разрезания.
Решение. Используя метод кратчайших путей, получим следующую ФАЛ:
Применим алгоритм разрезания:
Подставляя теперь вместо логических переменных вероятности и заменяя операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические умножение и сложение, получим:
ПРИМЕР 5.16. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Воспользоваться алгоритмом разрезания.
Решение. Функция алгебры логики, полученная методом минимальных сечений, имеет вид:
Реализуем алгоритм разрезаний относительно х 5:
Упростим полученное выражение, пользуясь правилами алгебры логики. Вы-ражение в первых скобках упростим, используя правило выноса за скобки:
Тогда ФАЛ будет иметь вид:
Этому выражению соответствует структурная схема рис. 5.20.
Полученная схема является также схемой расчета надежности, если логические переменные заменить вероятностями безотказной работы р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 , а переменную - вероятностью отказа q 5 . Из рис. 5.20 видно, что структурная схема системы сведена к последовательно-параллельной схеме. Вероятность безотказной работы вычисляется по следующей формуле:
Формула в объяснении не нуждается, она записана непосредственно по структурной схеме.
5.3.4. Алгоритм ортогонализации
Алгоритм ортогонализации, как и алгоритм разрезания, позволяет формальными процедурами образовать функцию алгебры логики, подставляя в которую вместо логических переменных вероятности, а вместо дизъюнкций и конъюнкции - алгебраические сложение и умножение, получить вероятность безотказной работы системы. Алгоритм основан на преобразовании функций алгебры логики в ортогональную дизъюнктивную нормальную форму (ОДНФ), которая существенно короче СДНФ. Прежде чем излагать методику, сформулируем ряд определений и приведем примеры.
Две конъюнкции называются ортогональными, если их произведение тождественно ноль. Дизъюнктивная нормальная форма называется ортогональной, если все ее члены попарно ортогональны. СДНФ является ортогональной, но самой длинной из всех ортогональных функций.
Ортогональную ДНФ можно получить с помощью следующих формул:
Эти формулы легко доказать, если воспользоваться вторым распределительным законом алгебры логики и теоремой де-Моргана. Алгоритмом получение ортогональной дизъюнктивной нормальной формы является следующая процедура преобразования функции у(х 1 ,х 2 ,..., х п) в ОДНФ:
Функция у(х 1 ,х 2 ,..., х п) преобразуется в ДНФ с помощью метода кратчайших путей или минимальных сечений;
Находится ортогональная дизъюнктивно-нормальная форма с помощью формул (5.10) и (5.11);
Минимизируется функция путем приравнивания к нулю ортогональных членов ОДНФ;
Логические переменные заменяются вероятностями безотказной работы (вероятностями отказов) элементов системы;
Окончательное решение получается после упрощения выражения, полученного на предыдущем шаге.
Рассмотрим методику на примере.
ПРИМЕР 5.17. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Применить метод ортогонализации.
Решение. В данном случае функционирование системы описывается следующей функцией алгебры логики (метод минимальных сечений):
Обозначим К 1 = х 1 х 2 , К 2 = х 3 х 4 , К 3 = х 1 х 5 х 4 , К 4 = х 3 х 5 х 2 . Тогда ОДНФ запишется в следующем виде:
Значения , i = 1,2,3, на основании формулы (5.10) будут иметь вид:
Подставляя эти выражения в (5.12), получим:
Заменяя в этом выражении логические переменные соответствующими вероятностями и выполняя алгебраические операции сложения и умножения, получим вероятность безотказной работы системы:
Ответ совпадает с полученным в примере 5.14.
Из примера видно, что алгоритм ортогонализации более производительный, чем способы, рассмотренные ранее. Более подробно логико-вероятностные методы анализа надежности изложены в . Логико-вероятностный метод, как и любой другой, имеет свои достоинства и недостатки. О его достоинствах было сказано ранее. Укажем его недостатки.
Исходными данными в логико-вероятностном методе являются вероятности безотказной работы элементов структурной схемы системы. Однако во многих случаях эти данные не могут быть получены. И не потому, что надежность элементов неизвестна, а потому, что время функционирования элемента является случайной величиной. Это имеет место в случае резервирования замещением, наличия последействия отказов, неодновременноcти работы элементов, наличия восстановления с различной дисциплиной обслуживания и во многих других случаях.
Приведем примеры, иллюстрирующие эти недостатки. Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.21, где приняты следующие обозначения: x i - логические переменные, имеющие значения 0 и 1, соответствующие отказу и исправной работе элемента, x i = 1, 2, 3.
В данном случае логическая переменная дс 3 является 0 до момента времени τ отказа основного элемента и 1 в течение времени (t-τ), где t - врем, в течение которого определяется вероятность безотказной работы системы. Время τ является величиной случайной, поэтому значение р(τ) неизвестно. В данном случае составить ФАЛ и тем более СДНФ невозможно. Ни один израссмотренных нами логико-вероятностных методов не позволяет найти вероятность безотказной работы системы.
Вот еще один типичный пример. Энергетическая система состоит из регулятора напряжения R н и двух параллельно работающих генераторов Г 1 и Г 2 . Структурная схема системы показана на рис. 5.22.
При отказе одного из генераторов оставшийся исправным работает один общую нагрузку. Его интенсивность отказов увеличивается. Если до момента τ отказа одного из генераторов интенсивность его отказа была равна λ , то после отказа λ 1 > λ 2 . Так как время τ является величиной случайной, то Р(τ) неизвестно. Здесь, как и в случае резервирования замещением, логико-вероятностные методы бессильны. Таким образом, указанные недостатки логико-вероятностных методов снижают их практическое применение при расчете надежности сложных систем.
5.4. Топологические методы анализа надежности
Топологическими будем называть методы, которые позволяют определить показатели надежности либо по графу состояний, либо по структурной схеме системы, не составляя и не решая уравнений. Топологическим методам посвящен ряд работ , в которых описаны различные способы их практической реализации. В настоящем разделе излагаются методы, позволяющие определить показатели надежности по графу состояний.
Топологические методы дают возможность вычислять следующие показатели надежности:
- Р(t) - вероятность безотказной работы в течение, времени t ;
- T 1 , - среднее время безотказной работы;
- К г (t) - функцию готовности (вероятность того, что система исправна в любой произвольный момент времени t );
- К г = - коэффициент готовности;
T - наработку на отказ восстанавливаемой системы.
Топологические методы имеют следующие особенности:
Простота вычислительных алгоритмов;
Высокая наглядность процедур определения количественных характеристик надежности;
Возможность приближенных оценок;
Отсутствие ограничений на вид структурной схемы (системы, восстанавливаемые и невосстанавливаемые, нерезервированные и резервированные с любым видом резервирования и любой кратностью).
В настоящей главе будут рассматриваться ограничения топологических методов:
Интенсивности отказов и восстановления элементов сложной системы являются величинами постоянным»;
Временные показатели надежности, такие как вероятность безотказной работы и функция готовности, определяются в преобразованиях Лапласа;
Трудности, в ряде случаев непреодолимые, при анализе надежности сложных систем, описываемых многосвязным графом состояний.
Идея топологических методов состоит в следующем.
Граф состояний является одним из способов описания функционирования системы. Он определяет вид дифференциальных уравнений и их количество. Интенсивности переходов, характеризующие надежность элементов и их восстанавливаемость, определяют коэффициенты дифференциальных уравнений. Начальные условия выбираются кодированием узлов графа.
В графе состояний содержится вся информация о надежности системы. А это является основанием считать, что показатели надежности могут быть вычислены непосредственно по графу состояний.
5.4.1. Определение вероятностей состояний системы
Вероятность застать восстанавливаемую систему в состоянии i в фиксированный момент времени t в преобразовании Лапласа может быть записана в следующем виде:
где Δ(s) - главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразованиях Лапласа; Δ i (s) - частный определитель системы.
Из выражения (5.13) видно, что P i (s) будет определена, если из графа состояний будут найдены степени тип полиномов числителя и знаменателя, а также коэффициенты B ij (j = 0,1,2,..., m ) и А i (i = 0,1, 2,..., n -1).
Первоначально рассмотрим методику определения P i (s) графа состояний только таких систем, в графе состояний которых отсутствуют переходы через состояния. К ним относятся все неизбыточные системы, резервированные системы при общем резервировании с целой и дробной кратностью, резервированные системы любой структуры с обслуживанием отказавших устройств в последовательности, обратной их поступлению в ремонт. К указанному классу систем относятся также некоторые резервированные системы с равнонадежными устройствами при различной дисциплине их обслуживания.
Функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями, число которых равно числу узлов графа. Это значит, что главный определитель системы Δ(s) в общем случае будет полиномом n -й степени, где n - число узлов графа состоянии. Легко показать, что полином знаменателя не содержит свободного члена. Действительно, т.к. то знаменатель функции P i (s) должен содержать s в качестве сомножителя, в противном случае финальная вероятность P i (∞) будет равна нулю. Исключением являются случаи, когда число ремонтов ограничено.
Степень полинома числителя Δ i находится из выражения:
m i = n - 1 – l i ,
где n - число узлов графа состояний; l i - число переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями ее функционирования, в состояние i по кратчайшему пути.
Если начальным состоянием системы является состояние, когда все устройства исправны, то l i - номер уровня состояния i , т.е. l i равно минимальному числу отказавших устройств системы в состоянии i . Таким образом, степень полинома числителя вероятности Р i (s) пребывания системы в i -м состоянии зависит от номера состояния i и от начальных условий. Так как число переходов l i может быть 0,1,2,..., n -1, то степень полинома Δ i (s) на основании (5.14) также может принимать значения m i = 0,1,2,..., n -1.
Классические методы расчета надежности систем
К классическим методам относятся модели надежности с последовательным, параллельным, параллельно-последовательным соединениями элементов, их различные модификации.
Модель с последовательным соединением элементов. При расчетах надежности последовательным называется такое соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всего соединения в целом. Последовательное соединение в указанном выше смысле не всегда совпадает с физическим последовательным соединением элементов. Отказы элементов предполагаются независимыми, то есть отказ любой группы элементов никак не влияет на вероятностные характеристики остальных элементов. Элемент понимается как один из самостоятельных участков последовательного соединения.
Последовательное соединение элементов
В данном случае вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле:
где Р с – вероятность безотказной работы системы; Р i (t) – вероятность безотказной работы i- го элемента системы
Модель с параллельным соединением элементов (рис. 2.2). При расчетах надежности параллельным (резервным) называется такое соединение элементов, при котором отказ всего соединения происходит при отказе всех элементов системы (элементы дублируют друг друга).
Параллельное соединение элементов
В этом случае показатель надежности системы P c определяется через вероятности отказа элементов q 1 , q 2 , …, q n , которые связаны с вероятностью безотказной работы соотношениями вида q i (t) = 1 – P i (t)
Вероятность отказа всей системы равна:
Тогда вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов q 1 , q 2 , …, q n имеет вид
Модель с параллельно-последовательным соединением элементов . При расчетах надежности параллельно-последовательным называется такое соединение элементов, при котором можно составить структурные схемы участков как с последовательным, так и с паралелльным соединением элементов
Параллельно-последовательное соединение элементов
Для системы вначале рассчитывается вероятность безотказной работы участка 23:
P 23 = 1 - (1 - P 2 (t))×(1 – P 3 (t)),
затем – участка 123: P 123 (t) = P 1 (t)×P 23 (t) = P 1 (t)×(1 – (1 – P 2 (t))×(1 – P 3 (t))).
Итоговая расчетная формула имеет вид P с (t) = 1 – (1 – P 123 (t))×(1 – P 4 (t)).
Модели несводимые к параллельно-последовательным соединениям . К данному классу относятся системы с мостовыми и еще более сложными соединениями элементов (рис. 2.4).
Пример мостового соединения элементов
Система является работоспособной, если работоспособны элементы:
Надежность систем данного класса целесообразно оценивать по логико-вероятностному методу, используя аппарат алгебры логики.
Модель с использованием марковских процессов. Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое (рис. 2.5).
При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.
Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния:
1. Работают оба элемента системы.
2. Отказ одного из элементов.
3. Отказ двух элементов.
Вероятностный граф состояний системы
Если заданы вероятности перехода системы из состояния iв состояние j b ij , то можно определить вероятности нахождения системы в i- м состоянии P i (t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колмогорова – Смирнова.
Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим – "+".
Таким образом, для данного примера системы имеем:
Решив систему уравнений мы определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P i (t).
Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-м состоянии: P c (t) = P 1 (t).
Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.
События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:
1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.
2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления
которое выражено в дизъюнктивной форме, например:
где x i – условие работоспособности i- го элемента Fл; X i = 1 – работоспособное состояние, X i = 0 – неработоспособное состояние.
3. Приведение логической функции работоспособности F Л к ортогональной бесповторной форме F ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.
Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D i состоит из букв х i , с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х 1 , х 2 , x 4 и х 3 , x 2 равно нулю, так как одна из них содержит x 2 , а другая – x 2 , следовательно, они ортогональны; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2 , где x 2 и x 2 имеют один и тот же номер, поэтому член D 1 не является бесповторным.
– ортогональная бесповторная форма;
– ортогональная, но не бесповторная форма.
Функцию F л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:
4. Арифметизация F ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F ЛО определяется арифметическая функция F a (2.3).
где A i – арифметическая форма членов D i функции F ло.
Арифметизация членов D i , в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:
5. Определение вероятности безотказной работы системы.
Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).
6. Вычисление требуемых показателей надежности системы управления по найденному показателю P c (t):
Вероятность безотказной работы P c (t);
Вероятность отказа Q c (t) = 1 – P c (t);
Интенсивность отказов
Средняя наработка до отказа
7. Анализ соответствия полученных показателей надежности заданным техническим требованиям системы.
Допущения, принимаемые при логико-вероятностном методе: для элементов системы возможны только два состояния; метод применим для невосстанавливаемых систем; отказы элементов системы должны быть независимы.
