شريط موبيوس اللانهائي. درجة الماجستير "مفاجآت شريط موبيوس"

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة بوداغوفسكايا الثانوية" الموضوع: أكمله: شاليجين إيفان طالب الصف الخامس القائد: كالاش ج.ف. مدرس الرياضيات بوداجوفو 2012 1: نعيش أنا وأنت في فضاء ثلاثي الأبعاد، نسير ونلعب ونذهب إلى المدرسة. لذلك لن يضر معرفة المزيد عنه. اكتشف كل شيء عن الفضاء أولاً. كل شيء من حولنا مألوف ولطيف بالنسبة لنا. لقد فتحت لنا الخادمة الطريق إلى العلم. تمت خياطة الشريط عن طريق الخطأ، لكنه اكتسب معنى للأجيال القادمة. لذلك وجد موبيوس ورقة عمل للعلوم، وحصل على قسم خاص به في الرياضيات. الفرع الذي يدرس أسطح الأجسام، ومنذ ذلك الحين أطلق عليه الجميع اسم الطوبولوجيا. فكيف لا تنحرف الذبابة على الشريط عن مسارها؟ للأسف، إنها تواجه طريقًا لا نهاية له. 2 المحتويات I. شريط موبيوس 1. المحتويات …………………………………………………………………………………… ..3 2. مقدمة ……………………………………………………………………………………………………………………………… .4 3. الخلفية التاريخية …………………………………………………..5 4. الطوبولوجيا – “هندسة الموضع”… ..................................................................................................................................................... 5 ثانياً. تجارب بحثية بالورق: 1. طلاء سطح شريط موبيوس …………………………………… 7 2. قطع شريط موبيوس: ……………………………… …………………………………………………………….8 أ) على طول الورقة إلى جزأين متساويين …………………………………………………………………..……….9 ب) أثناء عملية لف الشريط …………………………………………10 ج) عدة أشرطة ملتصقة بزوايا قائمة …………………………11 د) عدة قطع على طول الورقة إلى 3؛ 4؛ 5؛ أجزاء.…………………….12 3. بناء على نتائج التجارب، املأ الجداول …………………..12 4. استخلاص النتائج بناء على نتائج الدراسات …… ……………………… ………………………………………………………… 12 5. الحيل مع شريط موبيوس ………………………………… …………………… ……..13 6. تجارب بالحبل والسترة. ………………………………………… 14 ثالثاً. التطبيق العملي لشريط موبيوس …………………………………….15 IV الخاتمة …………………………………………… ………………………………………………………………….16 خامساً قائمة المراجع ……………………………………………………… ..17 السادس. ملحق ………………………………………………………………………………………………………………………………………….18 درس عملي لنادي الرياضيات دراسة شريط موبيوس في الصف الخامس (صور ولقطات فيديو التقطها إيفان شاليجين) ........................................................... ………………………………………………………………………… 17 3 مقدمة الخصائص العامة للمشروع: 1. مشروع “الهندسة في الفضاء” طويل المدى (مصمم للربعين الثاني والثالث) ) 2. المشروع تعليمي بحثي. (البحث والتجربة والتنظيم والتطبيق العملي). 3. مشروع جماعي (العمل في اجتماعات النادي مع طلاب الصف الخامس) 4. مشروع موسع. (تم إجراؤها داخل المدرسة مع الدفاع اللاحق عن قسم من المشروع في شكل ملخص وعرض تقديمي في المؤتمر الإقليمي "وراء صفحات كتاب الرياضيات المدرسي") 5. بناءً على نتائج قسم المشروع حول موضوع: "أسرار شريط موبيوس"، تم إعداد ملخص وتحدث رئيس المجموعة الرابعة إيفان شاليجين. الغرض من العمل: 1. التعرف على فرع جديد من الرياضيات - "الطوبولوجيا" بمفاهيمها ومهامها الأساسية، وإجراء البحوث لأغراض عملية وتحقيق الاكتشافات الذاتية. 2. قم بتكوين فكرة أولى عن شريط موبيوس. تعرف على التقنيات الأساسية للنهج الرياضي للعالم من حولك. 3. تعلم كيفية إجراء البحث ووصف النتائج وملء الجداول وتنفيذ الرسومات الناتجة ورسومات النماذج التي تم الحصول عليها أثناء التجربة. 4. تعلم كيفية استخلاص استنتاجات منطقية وتوليد الأفكار لحل المواقف وتطبيق المعرفة لحل المهام والمشكلات الجديدة. 5. إجراء التجارب العملية. 6. إثبات ارتباط المادة المدروسة بالحياة. 4 خلفية تاريخية أغسطس فرديناند موبيوس (1790-1868) كانت السماء تمطر في الخارج. دخنت الغليون وشربت كوبًا من قهوتي المفضلة مع الحليب. المنظر من النافذة كان محبطاً. كان هناك رجل يجلس على كرسي. كانت هناك أفكار مختلفة، ولكن بطريقة ما لم يتبادر إلى ذهني أي شيء مميز. لم يكن هناك سوى شعور في الهواء بأن هذا اليوم بالذات سيجلب المجد ويخلد اسم أغسطس فرديناند موبيوس. ظهرت زوجته الحبيبة على عتبة الغرفة. صحيح أنها لم تكن في مزاج جيد. وبشكل أكثر دقة، كانت غاضبة لأنه بالنسبة لمنزل موبيوس المسالم، كان الأمر لا يصدق تقريبًا مثل رؤية موكب الكواكب ثلاث مرات في السنة، وطالبت بشكل قاطع بالفصل الفوري للخادمة، التي هي متواضعة جدًا لدرجة أنها غير قادرة حتى على ذلك. خياطة الشريط بشكل صحيح. نظر الأستاذ بكآبة إلى الشريط المشؤوم، وصرخ: "أوه، نعم، مارثا! الفتاة ليست غبية جدًا. بعد كل شيء، هذا سطح حلقي أحادي الجانب. الشريط ليس له ظهر!" حصل السطح المفتوح على مبرر رياضي واسم تكريما لعالم الرياضيات والفلكي الذي وصفه. الطوبولوجيا - "هندسة الموضع" منذ اللحظة التي اكتشف فيها عالم الرياضيات الألماني أوغست فرديناند موبيوس وجود ورقة مذهلة أحادية الجانب، وهي بدأ فرع جديد تمامًا من الرياضيات في التطور، يسمى الطوبولوجيا، يدرس بشكل أساسي أسطح الأجسام، ووجدت علاقة رياضية بين الأشياء التي يبدو أنها لا ترتبط ببعضها البعض بأي شكل من الأشكال. على سبيل المثال، من وجهة نظر طوبولوجية، "ترتبط المعكرونة بالكوب من حيث أن كلاً من هذه الأشياء به ثقب، على الرغم من أنهما مختلفان في جميع النواحي الأخرى.5 وضع شريط موبيوس الأساس لعلم جديد - الطوبولوجيا. هذه الكلمة صاغها يوهان بنديكت ليستينج، وهو أ. أستاذ في جامعة غوتنغن، الذي اقترح، في نفس الوقت تقريبًا مع زميله في لايبزيغ، كمثال أول لسطح أحادي الجانب الشريط المألوف بالفعل، والذي كان ملتويًا في السابق. هذا العلم شاب وبالتالي مؤذ. لا توجد طريقة أخرى للحديث عن قواعد اللعبة المقبولة فيها. يحق للطوبولوجي ثني أي شكل ولفه وضغطه وتمديده - ليفعل به ما يريده، فقط لا يمزقه أو يلصقه معًا. وفي الوقت نفسه، سوف يعتقد أنه لم يحدث شيء، ظلت جميع خصائصه دون تغيير. بالنسبة له، لا المسافات، ولا الزوايا، ولا المناطق مهمة. ما هو مهتم به؟ الخصائص الأكثر عمومية للأشكال التي لا تتغير تحت أي تحولات ما لم تحدث كارثة هي "انفجار" الشكل، لذلك تسمى الطوبولوجيا في بعض الأحيان "هندسة الاستمرارية". وهي معروفة أيضًا باسم "الهندسة المطاطية"، لأنها لا تكلف عالم الطوبولوجيا شيئًا لوضع كل أشكاله على سطح كرة قابلة للنفخ للأطفال وتغيير شكلها إلى ما لا نهاية، والتأكد فقط من أن الكرة لا تنفجر. "أن الخطوط المستقيمة ، على سبيل المثال ، سوف تتحول جوانب المثلث إلى منحنيات ، فهي غير مبالية تمامًا بالطوبولوجي. ما هي الخصائص غير العادية للأشكال التي تدرسها الطوبولوجيا؟ حتى الآن ، كنا نتحدث عن خاصية واحدة فقط - أحادية الجانب: إذا تحركت على طول سطح شريط موبيوس في اتجاه واحد، دون عبور حدوده، فخلافًا للأسطح ذات الوجهين (على سبيل المثال، الكرة والأسطوانة)، ينتهي بك الأمر في مكان مقلوب بالنسبة للشريط الأصلي، إذا قمت بتحريك دائرة على طول هذا الشريط، بينما تدور حوله في نفس الوقت في اتجاه عقارب الساعة، فإن اتجاه الاجتياز في الموضع الأولي سيصبح عكس اتجاه عقارب الساعة.الخصائص الأخرى التي تدرسها الطوبولوجيا هي الاستمرارية والاتصال والتوجيه. على سبيل المثال، الاستمرارية هي خاصية طوبولوجية أخرى. إذا قارنت مخطط مسارات الطائرة والخريطة الجغرافية، فستكون مقتنعا بأن حجم إيروفلوت بعيد عن أن يكون متسقا - على سبيل المثال، يمكن أن يكون سفيردلوفسك في منتصف الطريق من موسكو إلى فلاديفوستوك. ومع ذلك، هناك شيء مشترك بين الخريطة الجغرافية. ترتبط موسكو بالفعل بسفيردلوفسك، وسفيردلوفسك بفلاديفوستوك. وبالتالي، يمكن للطوبولوجي أن يشوه الخريطة بأي طريقة يريدها، طالما أن النقاط التي كانت في السابق متجاورة تظل واحدة بجانب الأخرى وأبعد. وهذا يعني أنه من وجهة نظر طوبولوجية، لا يمكن تمييز الدائرة عن المربع أو المثلث، لأنه من السهل تحويل أحدهما إلى الآخر دون كسر الاستمرارية. على شريط موبيوس، يمكن ربط أي نقطة بأي نقطة أخرى، وفي الوقت نفسه لن تضطر النملة الموجودة في نقش إيشر أبدًا إلى الزحف فوق حافة "الشريط". لا توجد فواصل - استمرارية كاملة. تجارب على الورق . لصنع شريط Möbius، عليك أن تأخذ شريطًا ورقيًا ممدودًا إلى حد ما وتوصيل طرفي الشريط، أولًا بقلب أحدهما. إذا كنت على سطح شريط موبيوس، فيمكنك المشي عليه إلى الأبد. سننظر الآن في عدة تجارب على الأسطح والثقوب المصنوعة من شرائط الورق. من الأكثر ملاءمة استخدام الشرائط التي يبلغ طولها حوالي 30-40 سم وعرضها 3 سم. بادئ ذي بدء، دعونا نلصق حلقتين - واحدة بسيطة والأخرى ملتوية. 7 الحلقات متشابهة جدًا بالطبع؛ ولكن ماذا يحدث إذا رسمت خطًا متواصلاً على أحد جانبي الحلقة؟ عندما فعل موبيوس ذلك على الحلقة الملتوية، وجد أن الخط يمتد على كلا الجانبين، على الرغم من أن قلمه الرصاص لم يترك الورقة. هل هذا يعني أن خاتمنا له جانب واحد فقط؟ الآن جرب حلقاتك. 1. قم بطلاء جانب واحد فقط من كل منها بالكامل. كم عدد الأسطح لديهم؟ حاول طلاء جانب واحد من شريط Mobius، قطعة قطعة، دون تجاوز حافة الشريط. و ماذا؟ سوف ترسم شريط Mobius بأكمله! ما هو المثير للاهتمام حول هذه الورقة؟ وحقيقة أن شريط موبيوس له جانب واحد فقط. لقد اعتدنا على أن كل سطح نتعامل معه (ورقة، أنبوب دراجة، أو أنبوب كرة طائرة) له وجهان. 8 2. ضع نقطة على جانب واحد من كل حلقة وارسم خطًا مستمرًا على طولها حتى تصل إلى النقطة المحددة مرة أخرى. كم عدد حواف شريط موبيوس؟ المفاجأة الثانية: شريط موبيوس له حد واحد فقط، ولا يتكون من جزأين، مثل الحلقة العادية. دعونا نختبر الحلقات عن طريق تقطيعها إلى قسمين بالطول. الآن سيكون لديك حلقتين منفصلتين. ولكن ما هو؟ بدلا من حلقتين تحصل على واحدة! علاوة على ذلك، فهي أكبر وأرق من الحلقة الأصلية. سجل نتائج المزيد من اللف والقطع في الجدول. عدة التقلبات. 9 ماذا يحدث إذا قمت بدورة كاملة؟ ما عدد حواف الحلقة الناتجة؟ كم عدد الأسطح؟ ماذا يحدث إذا قطعتها إلى نصفين بالطول؟ دعونا نجري بعض الأبحاث حول لفها نصف دورة. دورة كاملة، دورة ونصف. دعونا نصف الخصائص ونرسم النتائج. يتمتع شريط Möbius بخصائص مثيرة للاهتمام. إذا حاولت قطع الشريط إلى نصفين على طول خط متساوي المسافة من الحواف، فبدلاً من شريطي Möbius، تحصل على شريط طويل مزدوج الجوانب (ملتوي مرتين مثل شريط Möbius)، والذي يسميه السحرة "الشريط الأفغاني". إذا قمت الآن بقص هذا الشريط من المنتصف، فسوف تحصل على جرحين فوق بعضهما البعض. يمكن استخلاص مجموعات شريطية أخرى مثيرة للاهتمام من شرائط Möbius التي تحتوي على نصفين أو أكثر. على سبيل المثال، إذا قمت بقص شريط بثلاث لفات نصفية، فستحصل على شريط ملتف على شكل عقدة ثلاثية الفصوص. يؤدي قطع شريط موبيوس بلفات إضافية إلى إنتاج أشكال غير متوقعة تسمى الحلقات البارادرومية. دعونا نسجل نتائج اللف والقطع في جدول البحث. جدول البحث رقم 1 بشريط واحد رقم عدد اللفات النصفية 1 0 نتيجة قطع واحد إلى نصفين بالطول حلقتين الخصائص 2 1 حلقة واحدة حلقة أطول مرتين 3 2 حلقتين نفس الطول متشابكتين مع بعضهما البعض 4 3 حلقة واحدة حلقة ضعف طول العقدة المتصلة حلقات أضيق مرتين مثل نفس الطول 10 استنتاجات رسم: ماذا يحدث إذا قمت بلفها مرتين قبل لصق الشريط (أي 4 نصف دورات 360 درجة)؟ سيكون هذا السطح ذو وجهين بالفعل. ومن أجل طلاء الحلقة بأكملها، سيتعين عليك بالتأكيد قلب الشريط إلى الجانب الآخر. خصائص هذا السطح ليست أقل مذهلة. بعد كل شيء، إذا قمت بقصها بالطول من المنتصف، فستحصل على حلقتين متطابقتين، لكن متشابكتين مرة أخرى. قطع كل واحدة منها مرة أخرى على طول المنتصف، ستجد أربع حلقات متصلة ببعضها البعض. يمكنك الآن تمزيق الحلقات واحدة تلو الأخرى - وفي كل مرة ستظل الحلقات المتبقية مرتبطة ببعضها البعض. إذا لم تأخذ شريطًا ورقيًا، بل شريطًا من أي قماش، فقم بتدوير أحد طرفي الشريط ثلاث لفات كاملة، أي. 540 درجة، خياطة كلا الطرفين. ثم أحضري المقص واقطعي الشريط بعناية من المنتصف، ثم قصيه مرة أخرى، لتحصلي على ثلاث حلقات متطابقة متشابكة مع بعضها البعض. عدة أشرطة سوف نندهش مما يحدث عندما نقطع حلقة مزدوجة. تحضير حلقتين: واحدة عادية وواحدة موبيوس. قم بلصقهما بزاوية قائمة، ثم قم بقصهما بالطول. جدول البحث رقم 2 عدد الحلقات 1 حلقتان متعامدتان مع بعضهما البعض. نتيجة القطع على طول كل شريط ثلاث حلقات الخصائص حلقتان بنفس الطول والثالثة أطول مرتين. تتشابك حلقتان أقصر في الطول مع حلقة ثالثة 11 رسم سؤال إضافي عدة قطع إذا قمت بقص الشريط على مسافة 1/3 عرضه من الحافة، فستحصل على حلقتين. لكن! واحدة كبيرة وأخرى صغيرة مرتبطة به. جدول البحث رقم 3 عدد القطع 1 ثلاثة أجزاء نتيجة القطع على طول كل شريط حلقتين الخصائص حلقة واحدة بنفس الطول والثانية أطول مرتين متشابكتين مع بعضهما 12 رسم 2 أربعة أجزاء حلقتان كلتا الحلقتين مرتين ما دام قطع واحد، متشابكة مع بعضها البعض صديق. إحدى الحلقات متشابكة مع الأخرى 3 خمسة أجزاء ثلاث حلقات حلقتان بطول مرتين متشابكتان مع بعضهما البعض وترتبطان معًا في زوج بواسطة حلقة قصيرة ثالثة من الطول الأصلي الاستنتاجات: إذا قمت أيضًا بقطع حلقة صغيرة بالطول، في في المنتصف، سيكون لديك حلقتان متشابكتان "معقدتان" للغاية - متطابقتان في الحجم، لكنهما مختلفتان في العرض. الحيل باستخدام شريط موبيوس. يدعي الفيزيائيون أن جميع القوانين البصرية تعتمد على خصائص شريط موبيوس، ولا سيما الانعكاس في المرآة هي نوع من النقل في الوقت المناسب، على المدى القصير، وتدوم أجزاء من مئات من الثانية، ففي نهاية المطاف، نرى أمامنا... هذا صحيح، مرآة مزدوجة لأنفسنا! نظرًا لخصائصه غير العادية، فإن شريط موبيوس تم استخدامه على نطاق واسع من قبل السحرة على مدار الـ 75 عامًا الماضية. إذا حاولت قطع الشريط على طول خط متساوي المسافة من الحواف، فبدلاً من شريطي Mobius، ستحصل على شريط طويل مزدوج الجوانب (ملتوي مرتين مثل شريط Möbius) الشريط الذي يسميه السحرة "الشريط الأفغاني." بناءً على بحثنا مع الحلقات الشريطية الملتوية، يمكننا تنفيذ سلسلة من الحيل. إليكم إحداها: نقدم للمشاهد ثلاث حلقات ورقية كبيرة، تم صنع كل منها عن طريق لصق أطراف شريط ورقي. (جدول الدراسات 1). يستخدم المتفرج المقص لقص الحلقات على طول الشريط في المنتصف حتى يعود إلى نقطة البداية. ونتيجة لذلك، سوف تتحول الأولى إلى حلقتين منفصلتين. ومن الثانية حلقة واحدة ولكن طولها مضاعف، ومن الثالثة هناك حلقتان متشابكتان مع بعضهما البعض. 13. إذا قمت بتمرير شريط مجدول ثلاث مرات عبر الحلقة، وألصقت الأطراف معًا، ثم قطعته بالطول من المنتصف، فستحصل على حلقة واحدة كبيرة مع عقدة مربوطة حول الحلقة. وبالمثل، بالنسبة للخدع السحرية، يمكنك استخدام جدولي البحث 2 و3. تجارب باستخدام الحبل والسترة. تعد الحيل باستخدام شريط موبيوس جزءًا من الحيل الطوبولوجية، التي تتطلب مواد مرنة لا تتغير في ظل التحولات المستمرة: التمدد والضغط. لإجراء التجارب، تحتاج إلى وشاح وسترة وحبال. أولا، نطرح موقفا مشكلة. بمساعدة التجارب، نبحث عن طريقة للخروج من هذا الوضع. التجربة 1. مشكلة ربط العقد. كيف تربط عقدة في الوشاح دون أن تترك أطرافها؟ يمكن القيام به على هذا النحو. ضع الوشاح على الطاولة. اعبر ذراعيك على صدرك. مع الاستمرار في الاحتفاظ بهم في هذا الوضع، انحنى على الطاولة وخذ أحد طرفي الوشاح بكل يد على حدة. بعد تباعد الذراعين، ستتشكل عقدة تلقائيًا في منتصف الوشاح. وباستخدام المصطلحات الطوبولوجية يمكننا القول أن يدي المشاهد وجسمه ووشاحه تشكل منحنى مغلقا على شكل عقدة "ثلاث أوراق"، وعند فرد اليدين تتحرك العقدة فقط من اليدين إلى الوشاح تجربة 2 ". قلب السترة من الداخل إلى الخارج دون إزالتها من الشخص. بالنسبة إلى سترة المالك، عليك أن تشبك أصابعك خلف ظهرك. يجب على من حولك قلب السترة من الداخل إلى الخارج، دون فصل يدي المالك. لإثبات هذه التجربة، عليك تحتاج إلى فك السترة وسحبها باليد خلف ظهر المالك. سوف تتدلى السترة في الهواء، ولكن بالطبع لن يتم إزالتها، لأن الأيدي مشبوكة. الآن عليك أن تأخذ الحاشية اليسرى للسترة و ، محاولًا عدم تجعد السترة، ادفعها إلى أقصى حد ممكن في فتحة الذراع اليمنى. ثم خذ فتحة الذراع اليمنى وادفعها إلى نفس فتحة الذراع وفي نفس الاتجاه. كل ما تبقى هو تقويم السترة وسحبها على سيتم قلب السترة من الداخل إلى الخارج، ويمكن إجراء نفس التجربة دون فك السترة، وسيكون الإزعاج الوحيد هو أن السترة ضيقة جدًا بحيث لا يمكن إزالتها فوق الرأس. لذلك، يمكن استبدال السترة بسترة. تتكرر عمليات التلاعب بالسترة تمامًا. يمكن إجراء هذه التجربة على نفسك، حيث تحتاج إلى ربط يديك بسلك 14، مع ترك مسافة 40 سم بينهما لضمان حرية الحركة، وشبك يديك للأمام. التجربة 3. فك حلقات الحبل. تم ربط مشاركين اثنين بالحبال. وهكذا تشكل اليدين والحبال حلقتين متشابكتين. من الضروري أن تنحل دون فك الحبال. تكمن إجابة هذه التجربة في حقيقة أن كل مشارك لديه حلقتان إضافيتان في أيديهما. من الضروري سحب حبل واحد من خلال إحدى الحلقات الموجودة على يدي الحبل الآخر وإزالة الحلقة من خلال اليد. ثالثا. التطبيق العملي لشريط موبيوس أكثر خصائصه المدهشة أنه أحادي الجانب، فلا يمكن طلاؤه بلونين، والحشرات التي تزحف عليه سوف تدور حول الجانبين دون تجاوز الحافة. لقد وجدت هذه الخاصية تطبيقًا عمليًا: تم تسجيل براءة اختراع العديد من الأجهزة، على سبيل المثال، حزام الشحذ، وشريط الحبر لأجهزة الطباعة، ومحرك الحزام والحلول التقنية الأخرى. تم استخدام الخاصية أحادية الجانب لشريط Möbius في التكنولوجيا: إذا كان حزام محرك الحزام مصنوعًا على شكل شريط Möbius، فإن سطحه يتآكل بمعدل أبطأ مرتين من سطح الحلقة العادية. "هذا يوفر وفورات كبيرة. يمكن استخدام الخصائص التي يتمتع بها شريط Möbius في صناعة الملابس لقطع القماش الأصلي. غالبًا ما تفشل آلية الزنبرك في ألعاب اللف للأطفال لأن الأطفال غالبًا ما يحاولون لف الزنبرك عندما يكون ملتويًا بالفعل إلى الحد الأقصى. يمكن أن يصبح الزنبرك الملتوي الدائري "آلة حركة دائمة" لألعاب الأطفال. مثال آخر على الاستخدام المحتمل لآلية جديدة هو فتحة مصراع الكاميرا للصور أو الأفلام (غير الرقمية). في التصاميم التقليدية، بعد تحرير الغالق، من الضروري إغلاق فتحة ستارة الغالق، ثم إعادتها إلى موضعها الأصلي فقط، مع شحن الزنبرك في نفس الوقت. وإلا فإن الإطار سوف يضيء عند تمرير فتحة الغالق في الاتجاه المعاكس. جهاز الغالق معقد للغاية. أدى استخدام شريط Möbius إلى تبسيط التصميم وزيادة موثوقيته ومتانته وأدائه. في العديد من الطابعات المصفوفية، يكون لشريط الحبر أيضًا شكل شريط Mobius لزيادة موارده. بفضل شريط موبيوس، نشأت العديد من الاختراعات المختلفة. على سبيل المثال، تم إنشاء أشرطة كاسيت خاصة لأجهزة التسجيل، مما جعل من الممكن الاستماع إلى أشرطة الكاسيت من "كلا الجانبين" دون تغيير أماكنها. كم من الناس كانوا سعداء بجولات "Roller Coaster". كانت هذه اللعبة تحظى بشعبية كبيرة ليس فقط بين علماء الرياضيات. ربما لا يكون من قبيل الصدفة أن يوجد الآن عند مدخل متحف التاريخ والتكنولوجيا في واشنطن نصب تذكاري لشريط موبيوس - شريط فولاذي ملتوي نصف دورة يدور ببطء على قاعدة التمثال. تم إنشاء سلسلة كاملة من المنحوتات على شكل شريط موبيوس بواسطة النحات ماكس بيل. لقد ترك موريتس إيشر الكثير من الرسومات المختلفة. رابعا. الاستنتاج على الرغم من حقيقة أن موبيوس قد توصل إلى اكتشافه المذهل منذ وقت طويل، إلا أنه لا يزال يحظى بشعبية كبيرة حتى يومنا هذا. شريط بسيط من الورق، ملتوي مرة واحدة فقط ثم يتم لصقه في حلقة، يتحول على الفور إلى شريط موبيوس غامض ويكتسب خصائص مذهلة. تتم دراسة خصائص الأسطح والمساحات هذه بواسطة فرع خاص من الرياضيات - الطوبولوجيا. هذا العلم معقد للغاية لدرجة أنه لا يتم تدريسه في المدرسة. فقط في المعاهد . لكن من يدري، ربما بمرور الوقت سنصبح علماء طوبولوجيا مشهورين ونقوم باكتشافات رائعة. وربما سيتم تسمية بعض الأسطح المعقدة باسمنا. من خلال العمل مع الرجال في مجموعتي في مشروع "أسرار شريط موبيوس"، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام: تعلمت العثور على الأدبيات حول موضوع اقترحه المعلم في المكتبة، وقراءة واختيار المواد اللازمة ; استخدام المقالات على الإنترنت، واختيار الرسوم التوضيحية اللازمة للملخص، وإنشاء الجداول وتعبئتها؛ إجراء بحث حول "شريط Möbius" (قم بعمل العدد المطلوب من المنعطفات والغراء والقطع)؛ تصوير الحلقات الناتجة وإدخالها في الجدول؛ تقديم عرض تقديمي وتجارب سينمائية؛ التحدث في مؤتمر وأداء الخدع السحرية. كل هذا معقد للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً، ولكنه مثير للاهتمام للغاية. 16 "الطوبولوجيا، أحدث وأقوى فرع من فروع الهندسة، توضح بوضوح التأثير المثمر للتناقضات بين الحدس والمنطق" ر. كورانت. 17 الأدب 1. جاردنر م "المعجزات والألغاز الرياضية" موسكو "العلم" 1986 2. جروموف أ.س. "المهام اللامنهجية في الرياضيات للصفوف 8-9" موسكو، التعليم 3. ن. لانغدون، الفصل سناب "على الطريق مع الرياضيات" موسكو، علم أصول التدريس، 1987 4. المجلة العلمية الشعبية "كفانت" 1975 رقم 7، 1977 رقم. 7 . 5. سافين أ.ب. " القاموس الموسوعيعالم رياضيات شاب"، M، Prosveshchenie، 1985 6. Yakusheva G.M. "موسوعة كبيرة لتلميذ المدرسة. الرياضيات"، موسكو، "WORD"، Eksmo، 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 ملحق العمل المخبري "Möbius Strip" في فصل دائرة الرياضيات 19 حاول رسم جانب واحد من شريط Möbius - قطعة قطعة، دون المرور فوق حافة الشريط. و ماذا؟ سوف ترسم شريط Mobius بأكمله! 20 ضع نقطة على جانب واحد من كل حلقة وارسم خطًا مستمرًا على طولها حتى تعود إلى النقطة المحددة 21 لنختبر الحلقات بقطعها إلى قسمين بالطول. 22 الآن يكون لك حلقتان منفصلتان. ولكن ما هو؟ بدلا من حلقتين تحصل على واحدة! علاوة على ذلك، فهي أكبر وأرق من الحلقة الأصلية. 23 لنكتب نتائج اللف والقطع في جدول البحث. 24 وطول الحلقتين ضعف طول الحلقة المقطوعة ومتشابكتين مع بعضهما. إحدى الحلقات متشابكة مع الأخرى 25 حلقة واحدة بنفس الطول، والثانية أطول مرتين متشابكة مع بعضها البعض 26 قطع شريط موبيوس مع دورات إضافية يعطي أشكالًا غير متوقعة تسمى الحلقات البارادرومية. 27

هناك معرفة وظواهر علمية تضفي الغموض والغموض على حياتنا اليومية. ينطبق عليهم شريط Mobius بالكامل.

تصف الرياضيات الحديثة بشكل رائع جميع خصائصها وميزاتها باستخدام الصيغ. لكن الأشخاص العاديين، الذين لديهم القليل من الفهم لأسماء المواقع الجغرافية والحكمة الهندسية الأخرى، يواجهون كل يوم تقريبًا أشياء مصنوعة على صورتها ومثالها، دون أن يعرفوا ذلك.

ما هو؟ ومن فتحه ومتى؟

شريط موبيوس، والذي يُطلق عليه أيضًا حلقة أو سطح أو ورقة، هو موضوع للدراسة في التخصص الرياضي للطوبولوجيا، الذي يدرس الخصائص العامة للأشكال التي يتم الحفاظ عليها في ظل مثل هذه التحولات المستمرة مثل الالتواء والتمدد والضغط والانحناء وغيرها. المتعلقة بانتهاك النزاهة. من الميزات المذهلة والفريدة من نوعها لهذا الشريط أنه يحتوي على جانب واحد وحافة واحدة فقط ولا يرتبط بأي حال من الأحوال بموقعه في الفضاء. شريط موبيوس هو طوبولوجي، أي كائن مستمر مع أبسط سطح أحادي الجانب مع حدود في الفضاء الإقليدي العادي (ثلاثي الأبعاد)، حيث يمكن من نقطة واحدة من هذا السطح الوصول إلى أي نقطة أخرى دون عبور الحواف.

تم اكتشاف جسم معقد مثل شريط موبيوس بطريقة غير عادية إلى حد ما. بادئ ذي بدء، نلاحظ أن اثنين من علماء الرياضيات، غير مرتبطين تماما ببعضهما البعض في أبحاثهما، اكتشفا ذلك في نفس الوقت - في عام 1858. مرة اخرى حقيقة مثيرة للاهتمامهو أن كلا هذين العالمين في أوقات مختلفة كانا طلابًا لنفس عالم الرياضيات العظيم - يوهان كارل فريدريش غاوس. لذلك، حتى عام 1858، كان يُعتقد أن أي سطح يجب أن يكون له وجهان. ومع ذلك، اكتشف يوهان بنديكت ليستينج وأوغست فرديناند موبيوس جسمًا هندسيًا له جانب واحد فقط ووصفوا خصائصه. تم تسمية الشريط باسم موبيوس، لكن علماء الطوبولوجيا يعتبرون ليستينج وعمله "الدراسات الأولية في الطوبولوجيا" هو الأب المؤسس لـ "هندسة المطاط".

ملكيات

يتمتع شريط Möbius بالخصائص التالية التي لا تتغير عند ضغطه أو قطعه بالطول أو تجعيده:

1. وجود جانب واحد. وصف أ. موبيوس في عمله "حول حجم متعددات الوجوه" سطحًا هندسيًا، سمي فيما بعد باسمه، ذو جانب واحد فقط. من السهل جدًا التحقق من ذلك: خذ شريطًا أو شريطًا من Mobius وحاول طلاء الداخل بلون واحد والخارج بلون آخر. لا يهم في أي مكان واتجاه بدأ التلوين، سيتم رسم الشكل بأكمله بنفس اللون.

2. يتم التعبير عن الاستمرارية في حقيقة أن أي نقطة من هذا الشكل الهندسي يمكن توصيلها بأي نقطة أخرى دون تجاوز حدود سطح موبيوس.

3. الترابط، أو ثنائي الأبعاد، هو أنه عند قطع الشريط بالطول، لن تخرج منه عدة أشكال مختلفة، ويظل صلبًا.

4. يفتقر إلى خاصية مهمة مثل التوجه. وهذا يعني أن الشخص الذي يتبع هذا الشكل سيعود إلى بداية طريقه، ولكن فقط في صورة مرآة لنفسه. وهكذا، فإن شريط موبيوس اللانهائي يمكن أن يؤدي إلى رحلة أبدية.

5. رقم لوني خاص يوضح أقصى عدد ممكن من المناطق على سطح موبيوس التي يمكن إنشاؤها بحيث يكون لأي منها حدود مشتركة مع جميع المناطق الأخرى. شريط موبيوس له رقم لوني 6، لكن الحلقة الورقية لها رقم لوني 5.

الاستخدام العلمي

اليوم، يتم استخدام شريط موبيوس وخصائصه على نطاق واسع في العلوم، حيث يعمل كأساس لبناء فرضيات ونظريات جديدة، وإجراء البحوث والتجارب، وإنشاء آليات وأجهزة جديدة.

وبالتالي، هناك فرضية مفادها أن الكون عبارة عن حلقة موبيوس ضخمة. ويتجلى ذلك بشكل غير مباشر في نظرية النسبية لأينشتاين، والتي بموجبها حتى السفينة التي تطير بشكل مستقيم يمكنها العودة إلى نفس النقطة الزمنية والمكانية التي انطلقت منها.

وهناك نظرية أخرى ترى أن الحمض النووي جزء من سطح موبيوس، وهو ما يفسر صعوبة قراءة وفك الشفرة الجينية. من بين أشياء أخرى، يوفر هذا الهيكل تفسيرا منطقيا للموت البيولوجي - دوامة مغلقة على نفسها تؤدي إلى التدمير الذاتي للكائن.

وفقا لعلماء الفيزياء، تعتمد العديد من القوانين البصرية على خصائص شريط موبيوس. لذلك، على سبيل المثال، انعكاس المرآة هو نقل خاص في الوقت المناسب ويرى الشخص مرآته مزدوجة أمامه.

التنفيذ على أرض الواقع

لقد تم استخدام شريط Mobius في مختلف الصناعات لفترة طويلة. اخترع المخترع الكبير نيكولا تيسلا في بداية القرن مقاومة موبيوس، المكونة من سطحين موصلين ملتويين في عام 1800، والتي يمكنها مقاومة تدفق التيار الكهربائي دون إحداث تداخل كهرومغناطيسي.

بناءً على دراسات سطح شريط موبيوس وخصائصه، تم إنشاء العديد من الأجهزة والأدوات. ويتكرر شكله في إنشاء شرائط الحزام الناقل وأشرطة الحبر في أجهزة الطباعة، والأحزمة الكاشطة لأدوات الشحذ والنقل الآلي. يتيح لك ذلك زيادة عمر الخدمة بشكل كبير، حيث يحدث التآكل بشكل أكثر توازنا.

منذ وقت ليس ببعيد، أتاحت الميزات المذهلة لشريط Mobius إنشاء زنبرك لا يغير اتجاه التشغيل، على عكس الزنبركات التقليدية التي تطلق النار في الاتجاه المعاكس. يتم استخدامه في مثبت عجلة القيادة، مما يضمن عودة عجلة القيادة إلى وضعها الأصلي.

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم علامة Möbius الشريطية في مجموعة متنوعة من العلامات التجارية والشعارات. وأشهرها هو الرمز العالمي لإعادة التدوير. يتم وضعها على عبوات البضائع القابلة لإعادة التدوير أو المصنوعة من الموارد المعاد تدويرها.

مصدر الإلهام الإبداعي

شكل شريط موبيوس وخصائصه الأساس لعمل العديد من الفنانين والكتاب والنحاتين وصانعي الأفلام. وأشهر الفنان الذي استخدم الشريط ومميزاته في أعمال مثل "موبيوس ستريب 2 (النمل الأحمر)" و"الراكبون" و"العقد" هو موريتس كورنيليس إيشر.

أصبحت شرائح موبيوس، أو أسطح الطاقة الدنيا كما يطلق عليها أيضًا، مصدر إلهام للفنانين والنحاتين الرياضيين مثل برنت كولينز وماكس بيل. تم تثبيت النصب التذكاري الأكثر شهرة لشريط موبيوس عند مدخل متحف واشنطن للتاريخ والتكنولوجيا.

كما أن الفنانين الروس لم يبتعدوا عن هذا الموضوع وقاموا بإنشاء أعمالهم الخاصة. تم تركيب منحوتات Mobius Strip في موسكو وإيكاترينبرج.

الأدب والطوبولوجيا

ألهمت الخصائص غير العادية لأسطح موبيوس العديد من الكتاب لإنشاء أعمال رائعة وسريالية. تلعب حلقة Mobius دورًا مهمًا في رواية R. Zelazny "Doors in the Sand" وتعمل كوسيلة للحركة عبر المكان والزمان للشخصية الرئيسية في رواية "Necroscope" للكاتب B. Lumley

تظهر أيضًا في قصص "The Wall of Darkness" بقلم آرثر سي كلارك، و"On the Mobius Strip" بقلم M. Clifton و"The Mobius Strip" بقلم A. J. Deitch. واستنادا إلى هذا الأخير، قام المخرج غوستافو موسكيرا بإخراج الفيلم الرائع "موبيوس".

نحن نفعل ذلك بأنفسنا، بأيدينا!

إذا كنت مهتمًا بشريط Mobius، وكيفية صنع نموذج منه، فستخبرك تعليمات صغيرة بما يلي:

1. لتصنيع نموذجها ستحتاج:

ورقة من الورق العادي؛

مقص؛

مسطرة.

2. قص شريطًا من قطعة من الورق بحيث يكون عرضه أقل من طوله بمقدار 5-6 مرات.

3. ضع شريط الورق الناتج على سطح مستو. نمسك أحد الطرفين بيدنا، وندير الآخر بمقدار 1800 بحيث يلتوي الشريط ويصبح الجانب الخطأ هو الجانب الأمامي.

4. قم بلصق أطراف الشريط الملتوي معًا كما هو موضح في الشكل.

شريط Mobius جاهز.

5. خذ قلمًا أو علامة وابدأ في رسم مسار في منتصف الشريط. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فسوف تعود إلى نفس النقطة التي بدأت فيها رسم الخط.

من أجل الحصول على تأكيد بصري بأن شريط موبيوس هو كائن ذو جانب واحد، حاول الطلاء على أحد جوانبه باستخدام قلم رصاص أو قلم. وبعد فترة ستلاحظ أنك قمت برسمها بالكامل ونشرها

بودارينا سفيتلانا

أرندت أناستاسيا

يناقش البحث تاريخ اكتشاف شريط موبيوس والتجارب التي يمكن إجراؤها باستخدام شريط موبيوس.

تحميل:

معاينة:

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

"مدرسة فيسيننسكايا الثانوية"

قراءات عيد الميلاد

الترشيح: "العلوم الدقيقة"

أسرار شريط موبيوس

أرندت أناستاسيا

طالب في الصف الخامس

مشرف:

أرندت إيرينا

فاسيليفنا،

مدرس رياضيات

مع. ربيع

عام 2014

مقدمة. ………………………………………………………..…..…..… مع. 3

الفصل الأول. الخلفية التاريخية. .....…………………………………....... مع. 3-4

الباب الثاني. شريط موبيوس. ………………………………………….....…….مع. 4-9

§1. صنع شريط موبيوس. ………………………………........…..مع. 4

§2. تجارب مع شريط موبيوس. ……..………………………........مع. 4-6

§3. تطبيق شريط موبيوس في الحياة ………………………….. ص7-9

خاتمة. ………………………………………..…………………........مع. 9

الأدب. ……………………………………………………………..….مع. 10

مقدمة.

كل واحد منا لديه فكرة بديهية عن ماهية "السطح". سطح الورقة، سطح جدران الفصل الدراسي، سطح الكرة الأرضية معروف للجميع. هل يمكن أن يكون هناك أي شيء غير متوقع وحتى غامض في مثل هذا المفهوم العادي؟ تظهر ورقة عينة موبيوس أن هذا ممكن. يعرف الكثير من الناس ما هو شريط (شريط) موبيوس. ولمن لم يتعرف بعد على ورقة العمل المذهلة التي تنتمي إلى "المفاجآت الرياضية"، ندعوكم للاستكشاف معنا والانغماس في الشعور المشرق بالمعرفة.

لقد كنت مهتما جدا بهذا الموضوع. قررت تعميق معرفتي في هذا المجال.

الغرض من عملي: استكشاف شريط موبيوس كأحد كائنات الطوبولوجيا.

الأهداف: - جمع كل المعلومات الممكنة عن شريط موبيوس.

التحقيق تجريبيا في خصائص شريط موبيوس؛

أظهر استخدام شريط Mobius في الحياة.

الفصل الأول. الخلفية التاريخية.

غامضة ومشهورةتم اكتشاف شريط موبيوس بشكل مستقل من قبل علماء الرياضيات الألمان أوغست فرديناند موبيوس ويوهان بنديكت ليستينغ في عام 1858.

أغسطس فرديناند موبيوس(1790-1868)، ولد في مدينة شولبفورتي، عالم هندسة ألماني، تلميذ "ملك علماء الرياضيات" الشهير ك. غاوس. كان موبيوس في الأصل عالمًا فلكيًا. أستاذ في جامعة لايبزيغ منذ عام 1816. بدأ بإجراء ملاحظات فلكية مستقلة في مرصد بليسينبورغ في عام 1818. أصبح مديرها. أثناء عمله في عزلة هادئة، حقق موبيوس العديد من الاكتشافات المثيرة للاهتمام، وأصبح واحدًا من أكبر علماء الهندسة في القرن التاسع عشر. في سن 68، تمكن من اكتشاف الجمال المذهل. وهذا هو اكتشاف الأسطح أحادية الجانب، وأحدها شريط موبيوس، وكان هذا الحدث الأكثر أهمية في حياته!

يقولون أن موبيوس ساعده في فتح "ورقته" خادمة قامت بخياطة أطراف الشريط بشكل غير صحيح.

غالبًا ما تكون هناك حالات في التاريخ تحدث فيها فكرة واحدة لعدة مخترعين في نفس الوقت. حدث هذا مع شريط موبيوس.

وفي نفس العام 1858، جاءت فكرة الشريط إلى عالم آخر، وهو طالب في ك.ف. غاوس -قائمة يوهان بنديكت(1808-1882)، عالم رياضيات وفيزياء ألماني، أستاذ بجامعة غوتنغن. أعطى الاسم للعلم الذي يدرس الاستمرارية -البنية

تدرس الطوبولوجيا خصائص الأشكال الهندسية التي لا تتغير إذا تم ثنيها أو تمديدها أو ضغطها. ذهبت البطولة في اكتشاف جسم طوبولوجي - شريط - إلى أغسطس موبيوس.

ما الذي أصاب هذين الأستاذين الألمانيين؟ والحقيقة أن شريط موبيوس له جانب واحد فقط.

الباب الثاني. شريط موبيوس.

§1. صنع شريط موبيوس.

من السهل جدًا صنع شريط Möbius، أو الإمساك به بين يديك، أو قصه، أو تجربته بطريقة أخرى. تعد دراسة شريط موبيوس مقدمة جيدة لعناصر الطوبولوجيا.

شريط موبيوس هو أحد تلك المفاجآت الرياضية.لصنع شريط موبيوس، خذ شريطًا مستطيلًا ABB 1 أ 1 قم بلفها بزاوية 180 درجة وألصق الجانبين المتقابلين AB وA 1 في 1 ، أي. بحيث تتطابق النقطتان A وB 1 والنقطتين أ 1 وب.

نحصل على حلقة ملتوية.ونسأل أنفسنا: كم عدد أضلاع هذه الورقة؟ اثنان، مثل أي شخص آخر؟ لا. لديها جانب واحد. لا تصدقني؟

§2.تجارب شريط موبيوس.

ولدراسة خصائصه أجريت عدة تجارب قسمتها إلى مجموعتين:

المجموعة الأولى.

الخبرة رقم 1 . لقد بدأت في رسم شريط Mobius دون قلبه.

نتيجة. تم طلاء شريط موبيوس بالكامل.

"إذا قرر أي شخص أن يرسم جانبًا واحدًا فقط من سطح شريط موبيوس، فليغمره على الفور في دلو من الطلاء"، كما كتب ريتشارد كورانت وهربرت روبينز في الكتاب الممتاز "ما هي الرياضيات؟"

الخبرة رقم 2.

تخيل أن أحد المتحولين يسافر على طول شريط موبيوس، وبعد قطع كل الطريق، سيعود إلى نقطة البداية. في الوقت نفسه، سوف يدور حول الأسطح - الخارجية والداخلية، دون تقاطع الحواف.وهذا يثبت ذلكشريط موبيوس هو سطح ذو جانب واحد، وقد عاد إلى نقطة البداية. ولكن بأي شكل! معكوسة!

ولكي يعود إلى نقطة البداية في وضعه الطبيعي، عليه القيام برحلة "ذهابًا وإيابًا" أخرى. شريط موبيوس له جانب واحد فقط!

المجموعة الثانية التجارب المتعلقة بقطع شريط موبيوس.

لقد أجريت سلسلة من التجارب، وتم إدخال نتائجها في جدول.

هذه هي الأشياء غير المتوقعة التي تحدث لشريط بسيط من الورق إذا قمت بلصقه معًا في شريط موبيوس.

§3. تطبيق شريط موبيوس في الحياة

أثناء قيامي بهذا العمل، توصلت إلى استنتاج مفاده أنه على الرغم من اكتشاف شريط موبيوس في القرن التاسع عشر، إلا أنه ذو صلة بالقرنين العشرين والعشرين.

لقد تم استخدام الخصائص المذهلة لشريط موبيوس في التكنولوجيا والفيزياء والبصريات. ألهم إبداع العديد من الكتاب والفنانين.

من الغريب أن شريط Mobius لا يزال يثير عقول المخترعين حتى الآن. في العديد من البلدان حول العالم، تم تسجيل براءة اختراع لآليات مذهلة تعتمد عليها.

شريط موبيوس في التكنولوجيا والفيزياء

في الأشرطة المغناطيسية التي يديرها موبيوس، يتضاعف حجم المعلومات المسجلةيلعب مرتين طالما.تم إنشاء أشرطة خاصة تتيح الاستماع إليها من "الجانبين" دون تغيير الأماكن.

يعمل هذا الشريط بشكل رائع لربط وحمل البضائع في الموانئ. إن أحزمة النقل لنقل المواد الساخنة، إذا تم تصنيعها وفقًا لموبيوس، سوف تتناوب على "الاستراحة" من المواد الساخنة. ونتيجة لذلك، يتحسن تبريد الحزام، ويتآكل الحزام بالتساوي، مما يعني أنه سيستمر لفترة أطول.وهذا يوفر وفورات كبيرة.

تعري موبيوس في الطبيعة وفي الحياة.

هناك فرضية مفادها أن حلزون الحمض النووي نفسه هو أيضًا جزء من شريط موبيوس وهذا هو السبب الوحيد وراء صعوبة فك الشفرة الجينية وإدراكها. علاوة على ذلك، فإن مثل هذا الهيكل يفسر بشكل منطقي تماما سبب بداية الموت البيولوجي - يغلق اللولب على نفسه ويحدث التدمير الذاتي.

شريط موبيوس في الفن.

لطالما أثار شريط موبيوس الغامض عقول الكتاب والفنانين والنحاتين. كان شريط Möbius بمثابة مصدر إلهام للمنحوتات والفنون التصويرية. كان إيشر أحد الفنانين الذين أحبوه بشكل خاص وخصص العديد من مطبوعاته الحجرية لهذا الكائن الرياضي. تُظهر إحدى الصور الشهيرة النمل يزحف عبر سطح شريط موبيوس.

رسوماته التي تصور شريط موبيوس معروفة أيضًا على نطاق واسع.

الآثار المخصصة لقطاع موبيوس مثيرة للاهتمام للغاية.

تم تزيين شوارع العديد من المدن بمنحوتات مستوحاة من موضوع شريط موبيوس.

خصص الجواهريون أعمالهم لقطاع موبيوس.

تم تصوير شريط موبيوس على شعارات مختلفة، كما تم تصويره على شارة كلية الميكانيكا والرياضيات بجامعة موسكو.

الرمز الدولي لإعادة التدوير هو أيضًا شريط موبيوس.

بالإضافة إلى ذلك، هناك حفرة على الجانب البعيد من القمر تحمل اسم موبيوس.

يستخدم المهندسون المعماريون شريط Möbius بطرق مبتكرة. هكذا يبدو، على سبيل المثال، المشروع المذهل لمكتبة جديدة في أستانا (كازاخستان).

خاتمة.

يتمتع شريط Möbius بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام.

1. شريط موبيوس له حافة واحدة.
2. شريط موبيوس له جانب واحد.
3. شريط موبيوس هو كائن طوبولوجي. مثل أي شكل طوبولوجي، لا يغير شريط موبيوس خصائصه حتى يتم قطعه أو تمزيقه أو لصق قطعه الفردية معًا.
4. حافة واحدة وجانب واحد من شريط موبيوس لا يرتبطان بموقعهما في الفضاء، ولا يرتبطان بمفاهيم المسافة.

يعد شريط موبيوس أول سطح أحادي الجانب يتم اكتشافه. وفي وقت لاحق، اكتشف علماء الرياضيات سلسلة كاملة من الأسطح أحادية الجانب. في هذا العمل، حاولت وصف خصائص السطح الجميل - شريط موبيوس، وإظهار أهميته عمليًا، وإثبات أن شريط موبيوس هو شكل طوبولوجي.

على الرغم من حقيقة أن موبيوس قد توصل إلى اكتشافه المذهل منذ فترة طويلة، إلا أنه لا يزال يحظى بشعبية كبيرة اليوم:

• علماء الرياضيات يخضعون لمزيد من البحث.
• من المثير للاهتمام بالنسبة لأطفال المدارس تجربة شريط موبيوس.
• في مجال التكنولوجيا – تم اكتشاف طرق جديدة لاستخدام شريط موبيوس.

لم أستنفد التجارب مع شريط موبيوس. إنها لا حصر لها ومثيرة للاهتمام وتعتمد على صبرك. وفي المستقبل، أخطط لمواصلة البحث في هذه الورقة التي لا يمكن التنبؤ بها.

الأدب.

1. فولوشينوف إيه في، "الرياضيات والفنون" م: "التنوير"، 1996.
2. ملحق صحيفة "الرياضيات" لدار النشر "الأول من سبتمبر"، العدد 14 سنة 1999، العدد 24 سنة 2006.
3. جاردنر م. "عجائب وأسرار الرياضيات"، "العلم" 1978.
4. جوسيف ف.أ.، كومباروف أ.ب. "الإحماء الرياضي" م: "التنوير"، 1986.
5. موارد موقع الانترنت:http://ru.wikipedia.
6. Kordemsky B. A. تجارب طوبولوجية افعلها بنفسك. كفانت، 1974، رقم 3.

أحد أبسط الأشياء وأكثرها تعقيدًا وغرابة في نفس الوقت هو شريط موبيوس. على الرغم من كل أصالة هذا الشكل، يمكنك بسهولة صنعه بنفسك وإجراء جميع التجارب الموضحة في هذه المقالة.

شريط موبيوس هو أبسط سطح غير قابل للتوجيه ويكون أحادي الجانب في الفضاء ثلاثي الأبعاد. غالبًا ما يطلق عليه سطح موبيوس ويصنف على أنه جسم مستمر (طوبولوجي).

وفقًا للأسطورة، اكتشف عالم الفلك والرياضيات والميكانيكي الألماني أوغست فرديناند موبيوس هذا الكائن بعد أن قامت خادمة تعمل في منزله بخياطة شريط من القماش في حلقة، وقلبت أحد أطرافه بلا مبالاة. وحين رأى موبيوس النتيجة، بدلًا من توبيخ الفتاة سيئة الحظ، قال: «أوه، نعم، مارثا! الفتاة ليست بهذا الغباء بعد كل شيء، هذا سطح حلقي من جانب واحد. الشريط ليس له ظهر!

أغسطس فرديناند موبيوس.

بعد دراسة خصائص الشريط، كتب موبيوس مقالًا عنه وأرسله إلى أكاديمية باريس للعلوم، لكنه لم يشاهد نشره أبدًا. نُشرت مواده بعد وفاة عالم الرياضيات، وتم تسمية سطح طوبولوجي غير عادي على شرفه.

إن صنع شريط Möbius أمر بسيط للغاية: خذ شريط ABCD، ثم قم بطيه بحيث تتصل النقطتان A وD بالنقطة B وC.

صنع شريط موبيوس. والنتيجة هي شخصية تبدو عادية ولها خصائص مثيرة للاهتمام للغاية.

خصائص غير عادية لشريط موبيوس

الأحادية
لقد اعتدنا جميعًا على أن أسطح جميع الأشياء التي نواجهها العالم الحقيقي(على سبيل المثال، قطعة من الورق) وجهان. لكن سطح شريط موبيوس أحادي الجانب. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق الطلاء على الشريط. إذا أخذت قلم رصاص وبدأت في تلوين الشريط من أي مكان دون قلبه، ففي النهاية سيتم طلاء الشريط بالكامل.

إذا حاول شخص ما طلاء جانب واحد فقط من سطح شريط موبيوس، فمن الأفضل غمره على الفور في دلو من الطلاء، ويكون سطح شريط موبيوس مستمرًا

ويمكن التحقق من ذلك بسهولة على النحو التالي: إذا وضعت نقطة في أي مكان على الشريط، فيمكن توصيلها بأي نقطة أخرى على سطح الشريط دون تجاوز الحافة. وهكذا يتبين أن سطح هذا الجسم مستمر.

شريط موبيوس ليس له اتجاه
إذا تمكنت من المرور عبر شريط موبيوس بأكمله، ففي اللحظة التي تعود فيها إلى نقطة بداية الرحلة، ستتحول إلى صورة طبق الأصل عن نفسك.

إذا تم قطع الشريط بالطول من المنتصف، ففي هذه الحالة تحصل على شريط واحد فقط، على الرغم من أن المنطق يقول أنه يجب أن يكون هناك اثنان، وإذا قمت بقصه، فإن التراجع عن الحافة بمقدار ثلث عرض الشريط الشريط، سينتهي بك الأمر بحلقتين مرتبطتين معًا - واحدة صغيرة وواحدة كبيرة. بعد أن قمنا بعمل مقطع طولي للحلقة الصغيرة في المنتصف، سنحصل في النهاية على حلقتين متشابكتين من نفس الحجم، لكن مختلفتين في العرض.

الاستخدام العملي لشريط موبيوس
يوجد بالفعل عدد لا بأس به من الاختراعات المستندة إلى خصائص هذا الكائن الطوبولوجي غير العادي. على سبيل المثال، فإن شريط الحبر في الطابعات النقطية، الملتوية في شريط Mobius، يستمر لفترة أطول بكثير، حيث أن التآكل في هذه الحالة يحدث بالتساوي على سطحه بالكامل. وشفرات خلاط المطبخ أو خلاطة الخرسانة ملتوية على شكل هذا الكائن الهندسي تقلل تكاليف الطاقة بنسبة 20٪، وفي نفس الوقت تتحسن جودة الخليط الناتج.

هناك فرضية مفادها أن بوليمر الحمض النووي، وهو حلزون مزدوج، هو جزء من شريط موبيوس ولهذا السبب يصعب فك شفرة الحمض النووي وفهمه.

يقول بعض علماء الفيزياء أن التأثيرات البصرية تعتمد على نفس الخصائص التي يتمتع بها هذا الجسم المتناقض، لذا فإن انعكاسنا في المرآة هو حالة خاصة لإحدى خصائص شريط موبيوس.

فرضية أخرى تتعلق بهذا الكائن الرياضي هي أن كوننا نفسه قد يكون مغلقًا في مثل هذا الشريط وله نسخة مرآة خاصة به. لأنه إذا تحركنا دائمًا في اتجاه واحد على طول شريط موبيوس، فسنجد أنفسنا في النهاية عند نقطة البداية لرحلتنا، ولكن في صورتنا المرآة.

زجاجة كلاين الغامضة
استنادًا إلى شريط موبيوس، هناك شخصية مذهلة أخرى - زجاجة كلاين. إنها زجاجة بها ثقب في الأسفل. رقبة الزجاجة ممدودة ومنحنية، وتمتد إلى أحد جدران الزجاجة نفسها.

زجاجة كلاين

لا يمكن إعادة إنتاج مثل هذا الشكل في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد، لأن الرقبة يجب ألا تلمس جدار الزجاجة ويجب أن تكون متصلة بفتحة في قاعها. وينتج عن ذلك سطح له جانب واحد فقط. لا تزال زجاجة كلاين وشريط موبيوس يجذبان انتباه العلماء والكتاب.

كتب A. Deitch في إحدى قصصه عن كيف تقاطعت المسارات في أحد الأيام في مترو أنفاق نيويورك وبدأ مترو الأنفاق بأكمله يشبه شريط موبيوس، وبدأت القطارات الكهربائية التي تعمل على طول المسارات تختفي، وتعاود الظهور بعد بضعة أشهر فقط لاحقاً.

في كتاب ألكسندر ميتش لعبة الهبة، تجد الشخصيات نفسها في مساحة تشبه زجاجة كلاين.

لا يزال العالم لغزًا كبيرًا بالنسبة لنا، ومن يدري ما هي الخفايا الأخرى التي سيكتشفها علماء الفضاء في المستقبل القريب.

دعونا نتخيل سطحًا ونملة تجلس عليه. هل ستكون النملة قادرة على الزحف إلى الجانب الآخر من السطح - مجازيًا، إلى جانبها السفلي - دون التسلق فوق الحافة؟ بالطبع لا!

أول مثال على سطح أحادي الجانب، لأي مكان يمكن للنملة أن تزحف فيه دون أن تتسلق الحافة، قدمه موبيوس في عام 1858.

M. Escher "Mobius strip II" "الانتقال" عبر شريط Mobius إلى بُعد آخر

أغسطس فرديناند موبيوس (1790-1868) - تلميذ "ملك" علماء الرياضيات غاوس. كان موبيوس في الأصل عالمًا فلكيًا، مثل غاوس والعديد من الآخرين الذين تدين لهم الرياضيات بتطورها. في تلك الأيام، لم تكن الرياضيات مدعومة، وكان علم الفلك يوفر ما يكفي من المال لعدم التفكير فيها، ويترك الوقت لأفكار المرء الخاصة. وأصبح موبيوس أحد أكبر علماء الهندسة في القرن التاسع عشر.

في سن 68، قام موبيوس باكتشاف الجمال المذهل. هذا هو اكتشاف الأسطح أحادية الجانب، وأحدها هو شريط موبيوس (أو الشريط). جاء موبيوس بفكرة الشريط عندما لاحظ وجود خادمة ترتدي وشاحها بشكل غير صحيح حول رقبتها.

إم إيشر "شريط موبيوس"

لنصنع شريط Mobius: خذ شريطًا ورقيًا - مستطيل ضيق وطويل ABCD (أبعاد مناسبة: الطول 30 سم، العرض 3 سم). بعد أن قمت بلف أحد طرفي الشريط بزاوية 180 درجة، ألصق حلقة منه (النقاط A وC وB وD).النموذج جاهز.

نموذج الشريط موبيوسيمكن صنعه بسهولة من شريط من الورق عن طريق تحويل أحد طرفي الشريط نصف دورة وربطه بالطرف الآخر في شكل مغلق. إذا بدأت في رسم خط بقلم رصاص على سطح الشريط، فسوف يتعمق الخط في الشكل ويمر أسفل نقطة بداية الخط، كما لو كان يتجه إلى "الجانب الآخر" من الشريط. إذا واصلت الخط، فسوف يعود إلى نقطة البداية. في هذه الحالة، سيكون طول الخط المرسوم ضعف طول شريط الورق. يوضح هذا المثال أن شريط موبيوس له جانب واحد وحد واحد فقط.

في الواقع، يوجد في الفضاء الإقليدي نوعان من شريط موبيوس نصف المقلوب: أحدهما - في اتجاه عقارب الساعة، والآخر - عكس اتجاه عقارب الساعة.

سوف يمنحك شريط Mobius مفاجأة إذا حاولت قصه.قطع الورقة على طول خط الوسط. على ماذا حصلت؟ وبدلاً من أن ينقسم الشريط إلى قطعتين، يتحول الشريط إلى شريط طويل ومتصل ومغلق. قم بقص الشريط الذي تم الحصول عليه بعد القطع الأول مرة أخرى على طول خط الوسط. قبل العصرة الأخيرة للمقص، حاول تخمين ماذا سيحدث؟

للحصول على شريط موبيوس، قمنا بتدوير شريط الورق 180 درجة، أي نصف دورة. الآن قم بلف الشريط 360 درجة، دورة كاملة. قم بلصقها معًا، ثم قصها على طول الخط الأوسط. ومن الصعب التنبؤ بما ستكون النتيجة.

الآن دعونا نحاول صنع مثل هذا النموذج: قم بقطع شق في شريط ABCD وقم بتمرير أحد طرفيه من خلاله. اقلبها نصف دورة وألصقها معًا كما هو موضح في الصورة.

الآن تابع القطع على طول الشريط بأكمله. على ماذا حصلت؟

أثار شريط موبيوس الغامض والشهير الذي ظهر عام 1858 قلق الفنانين والنحاتين. العديد من الرسومات التي تصور شريط موبيوس تركها الفنان الهولندي الشهير موريس إيشر (انظر المقال).

يمكن العثور على سلسلة كاملة من المتغيرات لشريط Mobius في النحت.

الرومانسية بحجر. موبيوس سلينج. نصب تذكاري لـ S. Karpikov لشريط موبيوس في موسكو. أ. ناليش

المفارقة والكمال. أ. إتكالو منحوتات هندسية لميريت راسموسن

مينسك. ساحة بالقرب من المكتبة العلمية المركزية التي تحمل اسم يعقوب كولاس.

الحلول المعمارية باستخدام فكرة شريط موبيوس:

مشروع مكتبة جديد مذهل في أستانا، كازاخستان

تركيبات الجدول:

يوجد أيضًا أثاث على شكل شريط Mobius

مجوهرات على شكل شريط موبيوس:

هناك فرضية مفادها أن دوامة الحمض النووي البشري نفسها هي أيضًا جزء من شريط موبيوس.

الرمز الدولي لإعادة التدوير هو شريط موبيوس.

يعد شريط موبيوس أيضًا موضوعًا متكررًا في الخيال العلمي.على سبيل المثال في قصة آرثر سي كلارك "جدار الظلام". في بعض الأحيان تشير قصص الخيال العلمي (التي تتبع علماء الفيزياء النظرية) إلى أن كوننا قد يكون نوعًا ما من شريط موبيوس المعمم. كما يتم ذكر حلقة موبيوس باستمرار في أعمال كاتب الأورال فلاديسلاف كرابيفين في دورة "في أعماق البلورة العظيمة" (على سبيل المثال، "البؤرة الاستيطانية في حقل المرساة. حكاية"). في قصة "The Mobius Strip" التي كتبها A. J. Deitch، يبني مترو أنفاق بوسطن خطًا جديدًا يصبح مساره مربكًا للغاية لدرجة أنه يصبح شريط موبيوس، مما يتسبب في اختفاء القطارات على الخط. واستناداً إلى القصة، تم تصوير فيلم الخيال العلمي «موبيوس»، من إخراج غوستافو موسكيرا. كما تم استخدام فكرة شريط Mobius في قصة M. Clifton "On the Mobius Strip". تتم مقارنة مسار رواية الكاتب الروسي الحديث Alexei A. Shepelev "Echo" (سانت بطرسبرغ: أمفورا، 2003) بشريط موبيوس. من حاشية الكتاب: ""الصدى"" هو تشبيه أدبي لخاتم موبيوس: قصتان - "الأولاد" و"البنات" - متشابكتان، تتدفقان في بعضهما البعض، لكن لا تتقاطعان."