Математически анализ.

Работилница.

За студенти от специалността:

"Държавна и общинска администрация"

Т.З. Павлова

Колпашево 2008г

Глава 1: Въведение в анализа

1.1 Функции. Общи свойства

1.2 Теория на границите

1.3 Непрекъснатост на функцията

2.1 Дефиниция на производна

2.4 Функционално изследване

2.4.1 Пълен функционален дизайн на изследването

2.4.2 Примери за изследване на функцията

2.4.3. Най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент

2.5 Правилото на L'Hopital

3.1 Неопределен интеграл

3.1.1 Дефиниции и свойства

3.1.2 Таблица на интегралите

3.1.3 Основни методи за интегриране

3.2 Определен интеграл

3.2.2 Методи за изчисляване на определен интеграл

Глава 4. Функции на няколко променливи

4.1 Основни понятия

4.2 Граници и непрекъснатост на функциите на няколко променливи

4.3.3 Тотален диференциал и приложението му за приблизителни изчисления

Глава 5. Класически методи за оптимизация

6.1 Полезна функция.

6.2 Линии на безразличие

6.3 Определен бюджет

Домашни тестови задачи

1.1 Функции. Общи свойства

Числова функция е дефинирана върху множество D от реални числа, ако всяка стойност на променливата е свързана с някаква добре дефинирана реална стойност на променливата y, където D е областта на дефиниране на функцията.

Аналитично представяне на функция:

изрично: ;

имплицитно: ;

в параметрична форма:

различни формули в областта на дефиницията:

Имоти.

Четна функция: . Например, функцията е четна, защото .

Странна функция: . Например, функцията е странна, защото .

Периодична функция: , където T е периодът на функцията, . Например тригонометрични функции.

Монотонна функция. Ако за някоя от областите на дефиниция функцията е нарастваща, тогава тя е намаляваща. Например - нарастване и - намаляване.

Ограничена функция. Ако има число M такова, че . Например функции и , защото .

Пример 1. Намерете областта на дефиниране на функциите.

+ 2 – 3 +

1.2 Теория на границите

Определение 1. Границата на функция при е число b, ако за всяко ( е произволно малко положително число) може да се намери стойност на аргумента, започвайки от която неравенството е в сила.

Обозначаване: .

Определение 2. Границата на функция at е число b, ако за всяко ( е произволно малко положително число) има положително число, така че за всички стойности на x, отговарящи на неравенството, неравенството е изпълнено.

Обозначаване: .

Определение 3.За една функция се казва, че е безкрайно малка за или ако или.

Имоти.

1. Алгебричната сума на краен брой безкрайно малки величини е безкрайно малка величина.

2. Произведението на безкрайно малко количество и ограничена функция (константа, друго безкрайно малко количество) е безкрайно малко количество.

3. Частното при деление на безкрайно малко количество на функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно малко количество.

Определение 4.За функция се казва, че е безкрайно голяма, ако .

Имоти.

1. Произведението на безкрайно голямо количество и функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно голямо количество.

2. Сумата от безкрайно голямо количество и ограничена функция е безкрайно голямо количество.

3. Частното от разделянето на безкрайно голямо количество на функция, която има граница, е безкрайно голямо количество.

Теорема.(Връзката между безкрайно малка величина и безкрайно голяма величина.) Ако една функция е безкрайно малка в (), тогава функцията е безкрайно голяма величина в (). И обратно, ако функцията е безкрайно голяма при (), тогава функцията е безкрайно малка стойност при ().

Пределни теореми.

1. Една функция не може да има повече от един лимит.

2. Границата на алгебричната сума на няколко функции е равна на алгебричната сума на границите на тези функции:

3. Границата на произведението на няколко функции е равна на произведението на границите на тези функции:

4. Границата на степента е равна на степента на границата:

5. Границата на частното е равна на частното на границите, ако границата на делителя съществува:

6. Първият прекрасен лимит.

Последствия:

7. Второ забележително ограничение:

Последствия:

Еквивалентни безкрайно малки количества при:

Изчисляване на граници.

При изчисляване на граници се използват основните теореми за граници, свойства на непрекъснати функции и правила, произтичащи от тези теореми и свойства.

Правило 1.За да намерите границата в точка на функция, която е непрекъсната в тази точка, трябва да замените нейната гранична стойност във функцията под знака за граница вместо аргумента x.

Пример 2. Намерете

Правило 2.Ако при намиране на границата на дроб границата на знаменателя е равна на нула, а границата на числителя е различна от нула, тогава границата на такава функция е равна на .

Пример 3. Намерете

Правило 3.Ако при намиране на границата на дроб границата на знаменателя е равна на , а границата на числителя е различна от нула, тогава границата на такава функция е равна на нула.

Пример 4. Намерете

Често заместването на граничната стойност на аргумент води до недефинирани изрази на формата

Намирането на границата на функция в тези случаи се нарича откриване на несигурност. За да се разкрие несигурността, е необходимо да се трансформира този израз, преди да се премине към границата. Използват се различни техники за разкриване на несигурности.

Правило 4. Несигурността на типа се разкрива чрез преобразуване на подграничната функция, така че в числителя и знаменателя да изберем фактор, чиято граница е нула, и като намалим дробта с нея, намерим границата на частното. За да направите това, числителят и знаменателят се разлагат или умножават по изразите, свързани с числителя и знаменателя.

Правило 5.Ако подлимитният израз съдържа тригонометрични функции, тогава първата забележителна граница се използва за разрешаване на несигурността на формата.

Правило 6. За да се разкрие несигурността на формата при , числителят и знаменателят на подграничната дроб трябва да бъдат разделени на най-високата степен на аргумента и след това трябва да се намери границата на частното.

Възможни резултати:

1) необходимата граница е равна на съотношението на коефициентите на най-високите мощности на аргумента на числителя и знаменателя, ако тези мощности са еднакви;

2) границата е равна на безкрайност, ако степента на аргумента числител е по-висока от степента на аргумента знаменател;

3) границата е равна на нула, ако степента на аргумента числител е по-ниска от степента на аргумента знаменател.

а)

защото

Степените са равни, което означава, че границата е равна на отношението на коефициентите на по-високите степени, т.е. .

б)

Степента на числителя и знаменателя е 1, което означава, че границата е

Степента на числителя е 1, знаменателя е , което означава, че границата е 0.

Правило 7. За да се разкрие несигурността на формата, числителят и знаменателят на подграничната дроб трябва да се умножат по спрегнатия израз.

Пример 10.

Правило 8. За да се разкрие несигурността на вида, се използва втората забележителна граница и нейните последствия.

Може да се докаже, че

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13.

Правило 9. При разкриване на неопределености, чиято подгранична функция съдържа b.m.v., е необходимо да се заменят границите на тези b.m.v. до границите на еквивалентните им б.м.

Пример 14.

Пример 15.

Правило 10. Правилото на L'Hopital (вижте 2.6).

1.3 Непрекъснатост на функцията

Една функция е непрекъсната в точка, ако границата на функцията, тъй като аргументът клони към a, съществува и е равна на стойността на функцията в тази точка.

Еквивалентни условия:

1. ;

Класификация на точките на прекъсване:

1-ви вид разкъсване

Премахваеми – съществуват и са равни едностранни граници;

Нередуцируем (скок) – едностранните граници не са равни;

прекъсване от втори вид: границата на функция в точка не съществува.

Пример 16. Установете характера на прекъсването на функция в точка или докажете непрекъснатостта на функция в тази точка.

при функцията не е дефинирана, следователно не е непрекъсната в тази точка. защото и съответно, , тогава е точка на отстранима прекъснатост от първи вид.

б)

В сравнение с присвояването (a), функцията е допълнително дефинирана в точката, така че , което означава, че тази функция е непрекъсната в тази точка.

Когато функцията не е дефинирана;

защото една от едностранните граници е безкрайна, тогава това е точка на прекъсване от втори род.

Глава 2. Диференциално смятане

2.1 Дефиниция на производна

Дефиниция на производна

Производната или на дадена функция е границата на отношението на нарастването на функцията към съответното увеличение на аргумента, когато увеличението на аргумента клони към нула:

Или .

Механичното значение на производната е скоростта на промяна на функция. Геометричното значение на производната е тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към графиката на функцията:

2.2 Основни правила за диференциране

Име	функция	Производна
Умножение по постоянен коефициент
Алгебрична сума на две функции
Продукт с две функции
Коефициент на две функции
Комплексна функция

Производни на основни елементарни функции

Не.	Име на функцията	Функция и нейната производна
1	постоянен
2	степенна функция специални случаи
3	експоненциална функция специален случай
4	логаритмична функция специален случай
5	тригонометрични функции
6	обратен тригонометричен

б)

2.3 Производни от по-висок порядък

Производна от втори ред на функция

Производна от втори ред на функцията:

Пример 18.

а) Намерете производната от втори ред на функцията.

Решение. Нека първо намерим производната от първи ред .

От производната от първи ред, нека вземем отново производната.

Пример 19. Намерете производната от трети ред на функцията.

2.4 Функционално изследване

2.4.1 Пълен функционален план за изследване:

Пълен функционален учебен план:

1. Елементарни изследвания:

Намерете областта на дефиницията и обхвата на стойностите;

Разберете общи свойства: четност (нечетност), периодичност;

Намерете точките на пресичане с координатните оси;

Определете области с постоянен знак.

2. Асимптоти:

Намерете вертикални асимптоти, ако ;

Намерете наклонени асимптоти: .

Ако има число, тогава – хоризонтални асимптоти.

3. Проучване с помощта на:

Намерете критичните точки, тези. точки, в които или не съществува;

Определете интервалите на увеличение, тези. интервали, на които функцията намалява – ;

Определете екстремуми: точките, през които знакът се променя от „+“ на „–“, са точки на максимум, от „–“ на „+“ са точки на минимум.

4. Проучване с помощта на:

Намерете точки, в които или не съществува;

Намерете области на изпъкналост, т.е. интервали, на които и вдлъбнатини – ;

Намерете инфлексни точки, т.е. точки при преминаване през които се сменя знака.

1. Отделните елементи на изследването се нанасят на графиката постепенно, по време на откриването им.

2. Ако възникнат трудности при изграждането на графика на функция, тогава стойностите на функцията се намират в някои допълнителни точки.

3. Целта на изследването е да се опише естеството на поведението на функцията. Следователно се изгражда не точна графика, а нейна апроксимация, върху която намерените елементи са ясно отбелязани (екстремуми, инфлексни точки, асимптоти и др.).

4. Не е необходимо да се придържате стриктно към дадения план; Важно е да не пропускате характерните елементи от поведението на функцията.

2.4.2 Примери за функционални изследвания:

2) Странна функция:

3) Асимптоти.

– вертикални асимптоти, т.к

Наклонена асимптота.

– инфлексна точка.

2) Странна функция:

3) Асимптоти: Няма вертикални асимптоти.

Наклонен:

– наклонени асимптоти

4) – функцията се увеличава.

– инфлексна точка.

Схематична графика на тази функция:

2) Обща функция

3) Асимптоти

– няма наклонени асимптоти

– хоризонтална асимптота при

– инфлексна точка

Схематична графика на тази функция:

2) Асимптоти.

– вертикална асимптота, т.к

– няма наклонени асимптоти

, – хоризонтална асимптота

Схематична графика на тази функция:

2) Асимптоти

– вертикална асимптота при , т.к

– няма наклонени асимптоти

, – хоризонтална асимптота

3) – функцията намалява на всеки от интервалите.

Схематична графика на тази функция:

За да намерите най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент, можете да използвате следната диаграма:

1. Намерете производната на функцията.

2. Намерете критичните точки на функцията, в които или не съществува.

3. Намерете стойността на функцията в критичните точки на дадена отсечка и в нейните краища и изберете най-голямата и най-малката от тях.

Пример. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията на даден сегмент.

25. между

2) – критични точки

26. в интервала.

Производната не съществува за , но 1 не принадлежи към този интервал. Функцията намалява на интервала, което означава, че няма най-голяма стойност, но най-малката стойност е .

2.5 Правилото на L'Hopital

Теорема. Границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е равна на границата на съотношението на техните производни (крайни или безкрайни), ако последните съществуват в посочения смисъл.

Тези. когато разкривате несигурности от вида или можете да използвате формулата:

27.

Глава 3. Интегрално смятане

3.1 Неопределен интеграл

3.1.1 Дефиниции и свойства

Определение 1. Функция се нарича първоизводна за ако .

Определение 2. Неопределен интеграл на функция f(x) е множеството от всички първоизводни за тази функция.

Обозначаване: , където c е произволна константа.

Свойства на неопределения интеграл

1. Производна на неопределения интеграл:

2. Диференциал на неопределения интеграл:

3. Неопределен интеграл на диференциала:

4. Неопределен интеграл от сумата (разликата) на две функции:

5. Разширяване на постоянния фактор отвъд знака на неопределения интеграл:

3.1.2 Таблица на интегралите

.1.3 Основни методи за интегриране

1. Използване на свойствата на неопределения интеграл.

Пример 29.

2. Подаване на диференциалния знак.

Пример 30.

3. Метод за замяна на променливи:

а) заместване в интеграла

Където - функция, която е по-лесна за интегриране от оригиналната; - функция обратна на функция; - антипроизводно на функция.

Пример 31.

б) замяна в интеграла на формата:

Пример 32.

Пример 33.

4. Метод на интегриране по части:

Пример 34.

Пример 35.

Нека вземем отделно интеграла

Да се върнем към нашия интеграл:

3.2 Определен интеграл

3.2.1 Концепцията за определен интеграл и неговите свойства

Определение.Нека е дадена непрекъсната функция на определен интервал. Нека изградим графика от него.

Фигура, ограничена отгоре с крива, отляво и отдясно с прави линии и отдолу с отсечка от абсцисната ос между точки a и b, се нарича криволинеен трапец.

S – площ – криволинеен трапец.

Разделете интервала с точки и получете:

Кумулативна сума:

Определение. Определен интеграл е границата на интегрална сума.

Свойства на определения интеграл:

1. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

2. Интегралът на алгебричната сума на две функции е равен на алгебричната сума на интегралите на тези функции:

3. Ако интеграционният сегмент е разделен на части, тогава интегралът върху целия сегмент е равен на сумата от интегралите за всяка от получените части, т.е. за всяко a, b, c:

4. Ако на сегмента , тогава

5. Границите на интегрирането могат да се разменят и знакът на интеграла се променя:

7. Интегралът в точката е равен на 0:

9. („около средното“) Нека y = f(x) е функция, интегрируема върху . Тогава , където , f(c) – средна стойност на f(x) на:

10. Формула на Нютон-Лайбниц

където F(x) е първоизводната на f(x).

3.2.2 Методи за изчисляване на определен интеграл.

1. Директна интеграция

Пример 35.

а)

б)

д)

2. Смяна на променливи под знака на определен интеграл .

Пример 36.

2. Интегриране по части в определен интеграл .

Пример 37.

а)

б)

д)

3.2.3 Приложения на определения интеграл

Характеристика	Тип функция	Формула
	в декартови координати
зона на криволинеен сектор	в полярни координати
площ на извит трапец	в параметрична форма
дължината на дъгата	в декартови координати
дължината на дъгата	в полярни координати
дължината на дъгата	в параметрична форма
обем на тялото завъртане	в декартови координати
обем на тяло с даден напречен напречно сечение

Пример 38. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: И .

Решение:Нека намерим пресечните точки на графиките на тези функции. За да направим това, приравняваме функциите и решаваме уравнението

Така че, точките на пресичане и .

Намерете площта на фигурата, като използвате формулата

В нашия случай

Отговор: Площта е (квадратни единици).

4.1 Основни понятия

Определение. Ако на всяка двойка взаимно независими числа от определен набор се присвоят, според някакво правило, една или повече стойности на променливата z, тогава променливата z се нарича функция на две променливи.

Определение. Областта на дефиниране на функция z е наборът от двойки, за които съществува функцията z.

Областта на дефиниране на функция на две променливи е определен набор от точки в координатната равнина Oxy. Координатата z се нарича приложение, а след това самата функция се изобразява като повърхност в пространството E 3 . Например:

Пример 39. Намерете домейна на функцията.

а)

Изразът от дясната страна има смисъл само когато . Това означава, че областта на дефиниране на тази функция е множеството от всички точки, лежащи вътре и на границата на окръжност с радиус R с център в началото.

Областта на дефиниране на тази функция са всички точки на равнината, с изключение на точките на прави линии, т.е. координатни оси.

Определение. Линиите на функционално ниво са семейство от криви в координатната равнина, описани с уравнения на формата.

Пример 40. Намерете линии на функционално ниво .

Решение. Линиите на нивото на дадена функция са семейство от криви на равнината, описани от уравнението

Последното уравнение описва семейство от окръжности с център в точка O 1 (1, 1) с радиус . Повърхността на въртене (параболоид), описана от тази функция, става „по-стръмна“, когато се отдалечава от оста, която е дадена от уравненията x = 1, y = 1. (Фиг. 4)

4.2 Граници и непрекъснатост на функциите на няколко променливи.

1. Граници.

Определение. Число A се нарича граница на функция като точка клони към точка, ако за всяко произволно малко число има такова число, че за всяка точка условието е вярно и условието също е вярно . Записвам: .

Пример 41. Намерете граници:

тези. ограничението зависи от , което означава, че не съществува.

2. Приемственост.

Определение. Нека точката принадлежи към областта на дефиниране на функцията. Тогава функция се нарича непрекъсната в точка, ако

(1)

и точката клони към точката по произволен начин.

Ако в някоя точка условие (1) не е изпълнено, тогава тази точка се нарича точка на прекъсване на функцията. Това може да е в следните случаи:

1) Функцията не е дефинирана в точка .

2) Няма ограничение.

3) Тази граница съществува, но не е равна на .

Пример 42. Определете дали дадена функция е непрекъсната в точката, ако .

Разбрах това Това означава, че тази функция е непрекъсната в точката.

границата зависи от k, т.е. тя не съществува в тази точка, което означава, че функцията има прекъсване в тази точка.

4.3 Производни и диференциали на функции на няколко променливи

4.3.1 Частични производни от първи ред

Частичната производна на функция по отношение на аргумента x е обикновената производна на функция на една променлива x за фиксирана стойност на променливата y и се означава:

Частичната производна на функция по отношение на аргумента y е обикновената производна на функция на една променлива y за фиксирана стойност на променливата x и се означава:

Пример 43. Намерете частни производни на функции.

4.3.2 Частични производни от втори ред

Частични производни от втори ред са частни производни на частни производни от първи ред. За функция на две променливи от формата са възможни четири типа частични производни от втори ред:

Частичните производни от втори ред, при които диференцирането се извършва по отношение на различни променливи, се наричат смесени производни. Смесените производни от втори ред на два пъти диференцируема функция са равни.

Пример 44. Намерете частни производни от втори ред.

4.3.3 Тотален диференциал и приложението му за приблизителни изчисления.

Определение. Диференциалът от първи ред на функция на две променливи се намира по формулата

Пример 45. Намерете пълния диференциал за функцията.

Решение. Нека намерим частните производни:

При малки увеличения на аргументите x и y функцията получава увеличение приблизително равно на dz, т.е. .

Формула за намиране на приблизителната стойност на функция в точка, ако е известна точната й стойност в точка:

Пример 46. Намерете .

Решение. Позволявам ,

След това използваме формулата

Отговор. .

Пример 47. Изчислете приблизително .

Решение. Нека разгледаме функцията. Ние имаме

Пример 48. Изчислете приблизително .

Решение. Помислете за функцията . Получаваме:

Отговор. .

4.3.4 Диференциране на неявна функция

Определение. Една функция се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешимо по отношение на z.

Частичните производни на такава функция се намират по формулите:

Пример 49: Намерете частните производни на функцията z, дадена от уравнението .

Решение.

Определение. Една функция се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешимо по отношение на y.

Производната на такава функция се намира по формулата:

Пример 50. Намерете производните на тези функции.

5.1 Локален екстремум на функция на няколко променливи

Определение 1. Функция има максимум в точка if

Определение 2. Функция има минимум в точка if за всички точки, достатъчно близки до точката и различни от нея.

Необходимо условие за екстремум. Ако дадена функция достигне екстремум в дадена точка, тогава частните производни на функцията изчезват или не съществуват в тази точка.

Точките, в които частичните производни изчезват или не съществуват, се наричат критични.

Достатъчен знак за екстремум. Нека функцията е дефинирана в някаква околност на критичната точка и има непрекъснати частни производни от втори ред в тази точка

1) има локален максимум в точката, ако и ;

2) има локален минимум в точката, ако и ;

3) няма локален екстремум в точката, ако ;

Схема за изследване на екстремума на функция на две променливи.

1. Намерете частните производни на функциите: и.

2. Решете системата от уравнения и намерете критичните точки на функцията.

3. Намерете частични производни от втори ред, изчислете техните стойности в критични точки и, като използвате достатъчно условие, направете заключение за наличието на екстремуми.

4. Намерете екстремумите на функцията.

Пример 51. Намерете екстремуми на функция .

1) Нека намерим частните производни.

2) Да решим системата от уравнения

4) Нека намерим частичните производни от втори ред и техните стойности в критични точки: . В момента получаваме:

Това означава, че в точката няма екстремум. В момента получаваме:

Това означава, че в точката има минимум.

5.2 Глобален екстремум (най-голямата и най-малката стойност на функцията)

Най-големите и най-малките стойности на функция от няколко променливи, непрекъснати на някакъв затворен набор, се постигат или в екстремни точки, или на границата на набора.

Схема за намиране на най-голямата и най-малката стойност.

1) Намерете критичните точки, разположени вътре в региона, изчислете стойността на функцията в тези точки.

2) Изследване на функцията на границата на региона; ако границата се състои от няколко различни линии, тогава изследването трябва да се извърши за всеки участък поотделно.

3) Сравнете получените стойности на функцията и изберете най-голямата и най-малката.

Пример 52. Намерете най-големите и най-малките стойности на функция в правоъгълник.

Решение. 1) Нека намерим критичните точки на функцията, за това ще намерим частните производни: и ще решим системата от уравнения:

Получихме критична точка A. Получената точка се намира вътре в дадения регион,

Границата на района се състои от четири сегмента: i. Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на всеки сегмент.

4) Нека сравним получените резултати и да открием, че в точките .

Глава 6. Модел на потребителския избор

Ще приемем, че има n различни стоки. Тогава ще обозначим определен набор от стоки с n-мерен вектор , където е количеството на i-тия продукт. Множеството от всички набори стоки X се нарича пространство.

Изборът на отделен потребител се характеризира с връзка на предпочитанията: смята се, че потребителят може да каже за всеки два комплекта кой е по-желан или не вижда разликата между тях. Отношението на предпочитанията е транзитивно: ако едно множество е за предпочитане пред множество и едно множество е за предпочитане пред множество, тогава множеството е за предпочитане пред множество. Ще приемем, че потребителското поведение е напълно описано от аксиомата за индивидуалния потребител: всеки отделен потребител взема решения за потребление, покупки и т.н., въз основа на своята система от предпочитания.

6.1 Полезна функция

Функция е дефинирана върху набора от потребителски набори X , чиято стойност в потребителския набор е равна на потребителската оценка на индивида за този набор. Функцията се нарича функция на потребителската полезност или функция на потребителските предпочитания. Тези. Всеки потребител има своя функция на полезност. Но целият набор от потребители може да бъде разделен на определени класове потребители (по възраст, имотно състояние и т.н.) и на всеки клас може да бъде приписана определена, може би осреднена функция на полезност.

По този начин функцията е потребителска оценка или нивото на задоволяване на нуждите на индивида при закупуване на даден комплект. Ако набор е за предпочитане пред набор за даден индивид, тогава .

Свойства на функцията на полезност.

Първите частични производни на функцията на полезността се наричат пределни полезности на продуктите. От това свойство следва, че увеличаването на потреблението на един продукт, докато потреблението на други продукти остава непроменено, води до повишаване на потребителската оценка. вектор е градиентът на функцията, той показва посоката на най-голям растеж на функцията. За функция нейният градиент е вектор на пределните полезности на продуктите.

Тези. Пределната полезност на всяка стока намалява с увеличаване на потреблението.

Тези. Пределната полезност на всеки продукт се увеличава с увеличаване на количеството на другия продукт.

Някои видове полезни функции.

1) Неокласически: .

2) Квадратичен: , където матрицата е отрицателно определена и За .

3) Логаритмична функция: .

6.2 Линии на безразличие

В приложни задачи и модели на потребителски избор често се използва частен случай на набор от две стоки, т.е. когато функцията на полезност зависи от две променливи. Линията на безразличието е линия, свързваща потребителски набори, които имат еднакво ниво на задоволяване на потребностите на индивида. По същество линиите на безразличие са линии на функционално ниво. Уравнения на линиите на безразличие: .

Основни свойства на линиите на безразличие.

1. Линиите на безразличие, съответстващи на различни нива на задоволяване на потребностите, не се докосват и не се пресичат.

2. Линиите на безразличие намаляват.

3. Линиите на безразличие са изпъкнали надолу.

Свойство 2 предполага важно приблизително равенство.

Това съотношение показва колко индивидът трябва да увеличи (намали) потреблението на втория продукт, когато намали (увеличи) потреблението на първия продукт с една единица, без да променя нивото на задоволяване на неговите нужди. Съотношението се нарича норма на заместване на първия продукт с втория, а стойността се нарича пределна норма на заместване на първия продукт с втория.

Пример 53. Ако пределната полезност на първото благо е 6, а второто е 2, тогава ако потреблението на първото благо се намали с една единица, потреблението на второто благо трябва да се увеличи с 3 единици на същото ниво на задоволяване на нуждите.

6.3 Определен бюджет

Позволявам – вектор на цените за набор от n продукта; I е доходът на индивида, който той е готов да похарчи за закупуване на набор от продукти. Множеството от комплекти стоки, струващи не повече от I при дадени цени, се нарича бюджетно множество B. Освен това множеството от комплекти, струващо I, се нарича граница G на бюджетно множество B. Така. множеството B е ограничено от границата G и естествени ограничения.

Бюджетният набор се описва чрез система от неравенства:

В случай на набор от две стоки, бюджетният набор B (фиг. 1) е триъгълник в координатната система, ограничен от координатните оси и правата линия.

6.4 Теория на потребителското търсене

В теорията на потреблението се смята, че потребителят винаги се стреми да максимизира своята полезност и единственото ограничение за него е ограниченият доход I, който той може да изразходва за закупуване на набор от стоки. Най-общо проблемът за потребителския избор (проблемът за рационалното потребителско поведение на пазара) се формулира по следния начин: намерете потребителското множество , което максимизира функцията си на полезност при дадено бюджетно ограничение. Математически модел на този проблем:

В случай на набор от два продукта:

Геометрично решението на този проблем е точката на допиране между границата на бюджетното множество G и линията на безразличие.

Решението на този проблем се свежда до решаване на системата от уравнения:

(1)

Решението на тази система е решението на проблема с потребителския избор.

Решението на проблема с потребителския избор се нарича точка на търсене. Тази точка на търсене зависи от цените и доходите I. Т.е. точката на търсене е функция на търсенето. От своя страна функцията за търсене е набор от n функции, всяка от които зависи от аргумент:

Тези функции се наричат функции на търсенето за съответните стоки.

Пример 54. За набор от две стоки на пазара, известни цени за тях и доход I, намерете функциите на търсенето, ако функцията на полезност има формата .

Решение. Нека разграничим функцията на полезност:

Нека заместим получените изрази в (1) и получим система от уравнения:

В този случай разходът за всеки продукт ще бъде половината от дохода на потребителя, а количеството на закупения продукт е равно на сумата, изразходвана за него, разделена на цената на продукта.

Пример 55. Нека полезността функционира за първото благо, второто,

цена на първия продукт, цена на втория. доходи . Колко стока трябва да закупи потребителят, за да увеличи максимално полезността?

Решение. Да намерим производните на функциите на полезност, да ги заместим в система (1) и да я решим:

Този набор от стоки е оптимален за потребителя от гледна точка на максимизиране на полезността.

Тестът се попълва по избрания вариант от последната цифра от номера на книжката за оценки в отделна тетрадка. Всяка задача трябва да съдържа условие, подробно решение и заключение.

1. Въведение в математическия анализ

Задача 1. Намерете областта на дефиниция на функцията.

Задача 2. Намерете границите на функциите.

Задача 3. Намерете точките на прекъсване на функцията и определете техния тип.

1. 2. 3.

Глава 2. Диференциално смятане на функция на една променлива

Задача 4. Намерете производните на тези функции.

1. а); б) в) у = ;

г) y = x 6 + + + 5; д) y = x tan x + ln sin x + e 3x;

д) y = 2 x - arcsin x.

2. а) ; b) y = ; в) y = ; г) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; д) y = .

3. а) y = lnx; b) y =; в) y = ln;

4. а) y = ; б) y = (e 5 x – 1) 6 ; в) y = ; г) y = ; д) y = x 8 ++ + 5; д) y = 3 x - arcsin x.

5. а) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; в) y = ;

г) y = ; д) y = 2 cos; д) y = .

6. а) y = lnx; b) y =; в) y = ln;

г) y = ; д) y = x 7 + + 1; д) y = 2.

7. а) ; b) y = ; в)y = ; г)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; д) y = .

8. а) y = ; б) y = (3 x – 4) 6 ; в) y = sintg;

г) y = 3x 4 – – 9+ 9; д) y = ;

д)y = x 2 + arcsin x - x.

9. а); б) ; в) y = ; г) y = 5 sin 3 x ; д) y = x 3 – – 6+ 3; д) y = 4x 4 + ln.

10. а) b) y = ; в) y = (3 x – 4) 6; г) y = ; д)y = x 2 - x; д) y = e sin 3 x + 2.

Задача 5. Разгледайте функцията и постройте нейната графика.

1. а) б) в) .

2. а) б) V) .

3. а) б) V) .

4. б) V)

5. а) б) V) .

6. а) б) V) .

7. а) б) в) .

8. а) б) в) .

9. а) б) в) .

10. а) б) V) .

Задача 6. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията върху дадена отсечка.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Глава 3. Интегрално смятане

Задача 7. Намерете неопределени интеграли.

1. а) б);

2. а) ;б) в) г) .

4. G)

5. а) ; б); V) ; Ж).

6. а) ; б); V); G)

7. а) ; б) ; V) ; G)

8. а) ; б); V) ; G) .

9. а) ; б) в); Ж).

10. а) б) V) ; G) .

Задача 8. Изчисляване на определени интеграли.

7. .

10.

Задача 9. Намерете неправилни интеграли или докажете, че се разминават.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 10. Намерете площта на областта, ограничена от кривите

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Глава 4. Диференциално смятане на функции на няколко променливи.

Задача 11. Намерете областта на дефиниция на функцията (покажете на чертежа).

Задача 12. Изследвайте непрекъснатостта на функцията при

Задача 13. Намерете производната на неявно зададена функция.

Задача 14. Пресметнете приблизително

1. а) ;б) ; V)

2. а) ; б) ; V) .

3. а) ; б) ; V) .

4. а) ; б) ; V) .

5. а); б) ; V) .

6. а); б) ; V) .

7. а); б) ; V) .

8. а) ;б) ; V)

9. а) ; б) ; V) .

10. а) ;б) ; V)

Задача 15. Изследвайте функцията за екстремуми.

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 16. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в дадена затворена област.

1. в правоъгълник

3. в правоъгълник

4. в областта, ограничена от парабола

И оста х.

5. на квадрат

6. в триъгълник, ограничен от координатните оси и правата

7. в триъгълник, ограничен от координатните оси и правата

8. в триъгълник, ограничен от координатните оси и правата

9. в областта, ограничена от парабола

И оста х.

10. в областта, ограничена от парабола

И оста х.

Основен

1. М.С. Крас, Б.П. Чупринов. Основи на математиката и нейното приложение в икономическото образование: Учебник. – 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2003.

2. М.С. Крас, Б.П. Чупринов. Математика за икономически специалности: Учебник. – 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2003.

3. М.С. Крас, Б.П. Чупринов. Математика за икономически бакалавър. Учебник. – 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2005.

4. Висша математика за икономисти. Учебник за университети / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Ед. проф. Н.Ш. Kremer, - 2-ро изд., преработено. и допълнителни – М: ЕДИНСТВО, 2003.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.. Висша математика за икономически специалности. Учебник и семинар (част I и II) / Изд. проф. Н.Ш. Kremer, - 2-ро изд., преработено. и допълнителни – М: Висше образование, 2007. – 893 с. – (Основи на науките)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика в упражнения и задачи. М. Висше училище. 1999 г.

Допълнителен

1. И.И. Баврин, В.Л. Моряци. Висша математика. „Хуманитарно-издателски център Владос“, 2002 г.

2. И.А. Зайцев. Висша математика. "Висше училище", 1998г.

3. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в икономиката /в две части/. М. Финанси и статистика. 1999 г.

Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

за студенти медицински, педиатрични, стоматологични

и медицински и превантивни факултети

към лабораторна работа

"Основни понятия на математическия анализ"

1. Научна и методическа обосновка на темата:

Понятията производна и диференциал са сред основните понятия на математическия анализ. Изчисляването на производните е необходимо при решаването на много задачи във физиката и математиката (намиране на скорост, ускорение, налягане и др.). Важността на концепцията за производна, по-специално, се определя от факта, че производната на функция характеризира скоростта на промяна на тази функция, когато нейният аргумент се промени.

Използването на диференциал позволява приблизителни изчисления, както и оценка на грешките.

Методите за намиране на производни и диференциали на функции и тяхното приложение представляват основната задача на диференциалното смятане. Необходимостта от понятието производна възниква във връзка с формулирането на проблема за изчисляване на скоростта на движение и намиране на ъгъла на допирателната към кривата. Възможна е и обратната задача: използване на скоростта за определяне на изминатото разстояние и използване на тангенса на допирателния ъгъл за намиране на съответната функция. Тази обратна задача води до концепцията за неопределен интеграл.

Концепцията за определен интеграл се използва в редица практически задачи, по-специално в задачи за изчисляване на площите на равнинни фигури, изчисляване на работата, извършена от променлива сила, и намиране на средната стойност на функция.

Когато се описват математически различни физични, химични, биологични процеси и явления, често се използват уравнения, които съдържат не само изследваните величини, но и техните производни от различни порядъци на тези величини. Например, според най-простата версия на закона за размножаването на бактериите, скоростта на размножаване е пропорционална на броя на бактериите в даден момент. Ако това количество се означи с N(t), тогава, в съответствие с физическия смисъл на производната, скоростта на бактериална репродукция е производна на N(t) и въз основа на споменатия закон можем да напишем отношението N "(t)=k∙N, където k>0 - коефициент на пропорционалност. Полученото уравнение не е алгебрично, тъй като съдържа не само неизвестната функция N(t), но и нейната производна от първи ред.

2. Кратка теория:

1. Проблеми, водещи до понятието производна

1. Проблемът за намиране на скоростта v на материална точка. Нека някаква материална точка извършва праволинейно движение. В даден момент T 1 точката е в позиция М 1. В даден момент T 2 бременна М 2 . Нека означим интервала М 1 , М 2 през ΔS; T 2 -T 1 =Δt. Стойността се нарича средна скорост на движение. За намиране на моментната скорост на точка в позиция М 1 необходимо Δtбързайте към нулата. Математически това означава, че

, (1)

По този начин, за да се намери моментната скорост на материална точка, е необходимо да се изчисли границата на съотношението на увеличението на функцията ΔSкъм увеличението на аргумента Δt, при условие че Δt→0.

2. Проблемът за намиране на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функция.

Фиг. 1

Помислете за графиката на някаква функция y=f(x).Какъв е ъгълът на наклон?
допирателна, начертана в точка М 1 ? В точката М 1 Нека начертаем допирателна към графиката на функцията. Изберете произволна точка на графиката М 2 и начертайте секуща. Тя е наклонена към оста ОХпод ъгъл α 1 . Нека помислим ΔM 1 М 2 A:

, (2)

Ако точката М 1 фиксиране и точка М 2 доближи до М 1 , след това секанса М 1 М 2 ще върви по допирателна към графиката на функцията в точката М 1 и можем да напишем:

, (3)

По този начин е необходимо да се изчисли границата на отношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, ако увеличението на аргумента клони към нула.

Граница на отношението на нарастването Δy на функцията y=f(x) към нарастването на аргумента Δx в дадена точка x 0 тъй като Δx клони към нула, се нарича производна на функцията в дадена точка.

Производна нотация: y", f "(x), . А-приори

, (4)

където Δx=х 2 -х 1 е увеличението на аргумента (разликата между две последователни сравнително близки стойности на аргумента), Δy=y 2 -y 1 е увеличението на функцията (разликата между стойностите на функцията, съответстваща на тези стойности на аргумента).

Намирането на производната на дадена функция се нарича нейна диференциация. Диференцирането на основните елементарни функции се извършва с помощта на готови формули (виж таблицата), както и с помощта на правила:

Производна на алгебрична сума функции е равна на сумата от производните на тези функции:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на втората функция и производната на първата и първата функция и производната на втората:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Производна на частното две функции е равно на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадрат на знаменателя:

Физическо значение на производната. От сравнението на (4) и (1) следва, че моментната скорост на праволинейно движение на материална точка е равна на производната на зависимостта на нейната координата от времето.

Общото значение на производната на функция е, че тя характеризира скорост (скорост) на промяна на функцияза дадена промяна в аргумента. Скоростта на физичните, химичните и други процеси, например скоростта на охлаждане на тялото, скоростта на химическа реакция, скоростта на размножаване на бактерии и т.н., също се изразява с производна.

Геометрично значение на производната.Стойността на тангенса на ъгъла на наклон на допирателна, начертана към графиката на функция, се нарича в математиката тангенс ъглов коефициент.

Ъгловият коефициент на допирателната, начертана към графиката на диференцируемата функция в определена точка, е числено равен на производната на функцията в тази точка.

Това твърдение се нарича геометричен смисъл на производната.

На който разгледахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои технически техники за намиране на производни. Така че, ако не сте много добри с производните на функции или някои точки в тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, задайте сериозно настроение - материалът не е прост, но все пак ще се опитам да го представя просто и ясно.

На практика трябва да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал, почти винаги, когато ви дават задачи да намирате производни.

Разглеждаме таблицата на правилото (№ 5) за разграничаване на сложна функция:

Нека да го разберем. Първо, нека обърнем внимание на влизането. Тук имаме две функции - и , като функцията, образно казано, е вложена във функцията . Функция от този тип (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функция, и функцията – вътрешна (или вложена) функция.

! Тези определения не са теоретични и не трябва да присъстват в окончателния дизайн на задачите. Използвам неофициални изрази „външна функция“, „вътрешна“ функция само за да ви улесня при разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не само буквата „X“, а цял израз, така че намирането на производната веднага от таблицата няма да работи. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се приложат първите четири правила, изглежда има разлика, но факт е, че синусът не може да бъде „разкъсан на парчета“:

В този пример вече интуитивно става ясно от моите обяснения, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вграждане) и външна функция.

Първа стъпкатова, което трябва да направите, когато намирате производната на сложна функция, е да разберете коя функция е вътрешна и коя външна.

В случай на прости примери изглежда ясно, че под синуса е вграден полином. Но какво ще стане, ако всичко не е очевидно? Как точно да определим коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се направи наум или на чернова.

Нека си представим, че трябва да изчислим стойността на израза при на калкулатор (вместо единица може да има произволно число).

Какво ще изчислим първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие: , следователно полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второще трябва да се намери, така че синус – ще бъде външна функция:

След като ние ПРОДАДЕНОс вътрешни и външни функции е време да приложите правилото за диференциране на сложни функции .

Да започнем да решаваме. От урока Как да намерим производната? ние помним, че дизайнът на решение за всяка производна винаги започва така - затваряме израза в скоби и поставяме черта горе вдясно:

Първонамираме производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производни на елементарни функции и забележете, че . Всички таблични формули са приложими и ако „x“ се замени със сложен израз, в такъв случай:

Моля, имайте предвид, че вътрешната функция не се е променило, не го пипаме.

Е, това е съвсем очевидно

Резултатът от прилагането на формулата в окончателния си вид изглежда така:

Константният фактор обикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението на хартия и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги, ние записваме:

Нека разберем къде имаме външна функция и къде имаме вътрешна. За да направим това, ние се опитваме (мислено или в чернова) да изчислим стойността на израза при . Какво трябва да направите първо? Първо, трябва да изчислите на какво е равна основата: следователно полиномът е вътрешната функция:

И едва тогава се извършва степенуването, следователно степенната функция е външна функция:

Според формулата , първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим необходимата формула в таблицата: . Пак повтаряме: всяка таблична формула е валидна не само за „X“, но и за сложен израз. По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, нашата вътрешна функция не се променя:

Сега всичко, което остава, е да се намери много проста производна на вътрешната функция и да се промени малко резултата:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

За да консолидирам вашето разбиране за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, помислете къде е външната и къде вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функцията

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да разграничим корена, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията във формата, подходяща за диференциране:

Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сумата от трите члена е вътрешна функция, а повдигането на степен е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции :

Отново представяме степента като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Готов. Можете също да намалите израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко като една дроб. Красиво е, разбира се, но когато получите тромави дълги производни, е по-добре да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да проверява).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на частно , но такова решение ще изглежда като необичайно извращение. Ето типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на частното , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - преместваме минуса от знака за производна и повдигаме косинуса в числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степенуването е външна функция.
Нека използваме нашето правило :

Намираме производната на вътрешната функция и нулираме косинуса обратно надолу:

Готов. В разглеждания пример е важно да не се объркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с помощта на правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Досега разглеждахме случаи, в които имахме само едно влагане в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, подобно на кукли, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.

Пример 10

Намерете производната на функция

Нека разберем прикачените файлове на тази функция. Нека се опитаме да изчислим израза, като използваме експерименталната стойност. Как ще разчитаме на калкулатор?

Първо трябва да намерите , което означава, че арксинусът е най-дълбокото вграждане:

След това този арксинус от едно трябва да бъде повдигнат на квадрат:

И накрая, повдигаме седем на степен:

Тоест в този пример имаме три различни функции и две вграждания, докато най-вътрешната функция е арксинусът, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Да започнем да решаваме

Според правилото Първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата с производни и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо “x” имаме сложен израз, което не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия.