Sonsuz Mobius şeridi. Master sınıfı "Mobius şeridinin sürprizleri"

Belediye eğitim kurumu "Budagovskaya ortaokulu" Konu: Tamamlayan: Shalygin Ivan 5. sınıf öğrencisi Lider: Kalash G.V. Matematik öğretmeni Budagovo 2012 1 KİTAP: Sen ve ben üç boyutlu uzayda yaşıyoruz, Yürüyoruz, oynuyoruz ve okula gidiyoruz. Bu yüzden onun hakkında daha fazlasını öğrenmenin zararı olmaz. Önce uzayla ilgili her şeyi keşfedin. Etrafımızdaki her şey bize tanıdık ve güzel. Hizmetçi bize bilimin yolunu açtı. Kurdele hatalı dikildi ama gelecek nesiller için anlam kazandı. Böylece Mobius bilim için bir çalışma sayfası buldu ve matematikte kendi bölümünü aldı. Cisimlerin yüzeylerini inceleyen bilim dalına o zamandan beri herkes topoloji adını verdi. Bant üzerindeki sinek nasıl yolundan sapmaz? Ne yazık ki, sonsuz bir yolla karşı karşıyadır. 2 İçindekiler I. Möbius şeridi 1. İçindekiler………………………………………………………………………………………………………… ..3 2.Giriş.………………………………………………………………………………………………………………… .4 3.Tarihsel arka plan… ……………………………………………………………………………………..5 4.Topoloji – “Konum geometrisi”… .....…… …………………………………………………………………….5 II. Kağıtla Araştırma Deneyleri: 1. Möbius şeridinin yüzeyini boyamak……………………………………7 2. Möbius şeridini kesmek: …………………………………… ……………………………… ………….8 a) sayfa boyunca iki eşit parçaya……………………………………..……….9 b) bandı bükme işlemi sırasında………………… ………………………10 c) dik açılarla yapıştırılmış birkaç bant…………………………11 d) levha boyunca birkaç kesim 3'e; 4; 5; bölümler.…………………….12 3. Deney sonuçlarına göre tabloları doldurun….………………..12 4. Çalışma sonuçlarına göre sonuçlar çıkarın…… ……………………… …………………………………………………………12 5. Möbius şeridi ile püf noktaları…………………………………… …………………… ……..13 6. İp ve yelek ile deneyler. …………………………………………14 III. Möbius şeridinin pratik uygulaması……………………………………………………….15 IV Sonuç………………………………………………… ……………………………………… ……………………….16 V. Referans listesi………………………………………………… …..17 VI. Ek…………………………………………………………………………………………………………….18 Bir matematik kulübünün uygulamalı dersi 5. sınıfta Möbius şeridi çalışması (Ivan Shalygin tarafından çekilen fotoğraf ve video görüntüleri)……………………………………………………………………………… …………………………………………………… 17 3 Giriş Projenin genel özellikleri: 1. “Uzayda Geometri” projesi uzun vadelidir (ikinci ve üçüncü çeyrekler için tasarlanmıştır) ) 2. Proje eğitim amaçlıdır, araştırmadır. (Araştırma ve deney, sistemleştirme ve pratik uygulama). 3. Grup projesi (5. sınıf öğrencileriyle kulüp toplantılarında çalışma) 4. Genişletilmiş proje. (Projenin bir bölümünün daha sonra özet şeklinde savunulması ve “Matematik Ders Kitabının Sayfalarının Arkasında” bölgesel konferansında sunum şeklinde okul içinde gerçekleştirildi) 5. Projenin "Möbius şeridinin sırları" konulu bölümünün sonuçlarına göre bir özet hazırlandı ve IV grup başkanı Ivan Shalygin konuştu. Çalışmanın amacı: 1. Matematiğin yeni bir dalı olan “Topoloji”yi temel kavramları ve görevleri ile tanımak, pratik amaçlı araştırma yapmak ve kendisi için keşifler yapmak. 2. Möbius şeridi hakkında ilk fikri oluşturun. Çevrenizdeki dünyaya matematiksel yaklaşımın temel tekniklerini öğrenin. 3. Araştırma yapmayı, sonuçları açıklamayı, tabloları doldurmayı ve elde edilen çizimleri ve deney sırasında elde edilen modellerin çizimlerini yapmayı öğrenin. 4. Mantıklı sonuçlar çıkarmayı, durumları çözmek için fikirler üretmeyi ve yeni görevleri ve sorunları çözmek için bilgiyi uygulamayı öğrenin. 5. Pratik deneyler yapın. 6. Ele alınan malzemenin yaşamla bağlantısını kurun. 4 Tarihsel arka plan Ağustos Ferdinand Möbius (1790-1868) Dışarıda yağmur yağıyordu. Bir pipo içtim ve en sevdiğim kahveden bir fincan sütlü içtim. Pencereden görülen manzara iç karartıcıydı. Bir adam sandalyede oturuyordu. Farklı düşünceler vardı ama bir şekilde aklıma özel bir şey gelmedi. Havada sadece bu özel günün zafer getireceğine ve August Ferdinand Mobius'un ismini ölümsüzleştireceğine dair bir his vardı. Sevgili karısı odanın eşiğinde belirdi. Doğru, pek iyi bir ruh halinde değildi. Daha doğrusu, Mobius'un barışçıl evi için bunun neredeyse yılda üç kez bir gezegen geçit töreni görmek kadar inanılmaz olmasına kızmıştı ve o kadar vasat olan hizmetçinin kategorik olarak derhal işten çıkarılmasını talep etti. Bir şeridi doğru şekilde dikin. Profesör, talihsiz kurdeleye kasvetli bir şekilde bakarak haykırdı: "Ah evet Martha! Kız o kadar aptal değil. Sonuçta bu tek taraflı halka şeklinde bir yüzey. Şeridin arkası yok!" Açık yüzeye matematiksel bir gerekçe ve onu tanımlayan matematikçi ve gökbilimcinin onuruna bir isim verildi. Topoloji - "Konum Geometrisi" Alman matematikçi August Ferdinand Möbius, tek taraflı şaşırtıcı bir kağıdın varlığını keşfettiği andan itibaren, Topoloji adı verilen tamamen yeni bir matematik dalı gelişmeye başladı. Esas olarak cisimlerin yüzeylerini inceliyor ve birbiriyle hiçbir şekilde bağlantılı gibi görünmeyen nesneler arasında matematiksel bir ilişki buluyor. Örneğin, topolojik açıdan bakıldığında, Makarna cevizi ve kupa, diğer tüm açılardan farklı olmalarına rağmen, bu nesnelerin her birinin bir deliğe sahip olmasıyla ilişkilidir.5 Möbius şeridi yeni bir bilimin - topolojinin - başlangıcını işaret ediyordu. Bu kelime, Johann Benedict Listing tarafından icat edildi. Göttingen Üniversitesi'nden profesör, Leipzig'deki meslektaşıyla neredeyse aynı zamanda, tek taraflı yüzeyin ilk örneği olarak zaten tanıdık olan, bir zamanlar bükülmüş bandı önerdi. Bu bilim genç ve bu nedenle yaramaz. Oyunun kabul edilen kuralları hakkında söylenecek başka bir yol yok. Topolog herhangi bir şekli bükme, bükme, sıkıştırma ve uzatma hakkına sahiptir - onunla ne isterse yapabilir, sadece onu yırtmamalı veya birbirine yapıştırmamalıdır. Ve aynı zamanda hiçbir şeyin olmadığına, tüm özelliklerinin değişmediğine inanacaktır. Onun için ne mesafeler, ne açılar, ne de alanlar önemli. Neyle ilgileniyor? Bir felaket meydana gelmedikçe herhangi bir dönüşüm altında değişmeyen şekillerin en genel özellikleri - şeklin "patlaması". Bu nedenle topolojiye bazen "süreklilik geometrisi" denir. Aynı zamanda "kauçuk geometrisi" adı altında da bilinir, çünkü topologun tüm figürlerini bir çocuk şişirilebilir topunun yüzeyine yerleştirmesi ve şeklini sonsuz bir şekilde değiştirmesi, yalnızca topun patlamamasını sağlamak için hiçbir maliyeti yoktur. aynı zamanda düz çizgiler, örneğin bir üçgenin kenarları eğrilere dönüşecek, topolog için son derece kayıtsız.Topoloji şekillerin hangi olağandışı özelliklerini inceliyor?Şimdiye kadar sadece bir özellikten bahsediyorduk - tek taraflılık.Mobius şeridinin yüzeyi boyunca sınırlarını geçmeden tek yönde hareket ederseniz, o zaman iki taraflı yüzeylerin (örneğin bir küre ve bir silindir) aksine, ters bir yere ulaşırsınız Orijinaline göre.Bir daireyi bu bant boyunca hareket ettirirken aynı anda saat yönünde dönerseniz, o zaman başlangıç ​​konumunda geçişin yönü saat yönünün tersine olacaktır.Topolojinin incelediği diğer özellikler süreklilik, bağlantı ve yönelimdir.Çünkü örneğin süreklilik başka bir topolojik özelliktir. Uçak rotalarının diyagramını ve coğrafi haritayı karşılaştırırsanız, o zaman 6 Aeroflot ölçeğinin tutarlı olmaktan uzak olduğuna ikna olacaksınız - örneğin, Sverdlovsk, Moskova'dan Vladivostok'a kadar yarı yolda olabilir. Yine de coğrafi haritalar arasında ortak bir nokta var. Moskova gerçekten Sverdlovsk ile, Sverdlovsk ise Vladivostok ile bağlantılıdır. Ve bu nedenle topolog, daha önce komşu olan noktalar yan yana ve daha ileride kaldığı sürece haritayı istediği şekilde deforme edebilir. Bu, topolojik açıdan bakıldığında bir dairenin kare veya üçgenden ayırt edilemeyeceği anlamına gelir çünkü sürekliliği bozmadan birini diğerine dönüştürmek kolaydır. Bir Möbius şeridinde herhangi bir nokta başka herhangi bir noktaya bağlanabilir ve aynı zamanda Escher'in gravüründeki karınca asla "şeridin" kenarından geçmek zorunda kalmayacaktır.Kopuk yok - tam süreklilik.Kağıtla deneyler . Bir Möbius şeridi yapmak için, oldukça uzun bir kağıt şeridi almanız ve önce bir tanesini ters çevirerek şeridin uçlarını bağlamanız gerekir. Eğer bir Möbius şeridinin yüzeyindeyseniz, üzerinde sonsuza kadar yürüyebilirsiniz. Şimdi kağıt şeritlerden yapılmış yüzeyler ve deliklerle ilgili birkaç deneyi ele alacağız. Yaklaşık 30-40 cm uzunluğunda ve 3 cm genişliğinde şeritlerin kullanılması en uygunudur. Her şeyden önce, biri basit, diğeri bükülmüş iki halkayı yapıştıralım. 7 Halkalar elbette çok benzer; peki halkanın bir tarafı boyunca sürekli bir çizgi çizerseniz ne olur? Möbius bunu bükülmüş halka üzerinde yaptığında, kalemi kağıttan çıkmamasına rağmen çizginin her iki taraftan da aşağı doğru indiğini gördü. Bu, yüzüğümüzün yalnızca bir tarafı olduğu anlamına mı geliyor? Şimdi yüzüklerinizi deneyin. 1. Her birinin yalnızca bir tarafını tamamen boyayın. Kaç tane yüzeye sahipler? Mobius şeridinin bir tarafını, şeridin kenarını aşmadan parça parça boyamayı deneyin. Ve ne? Mobius şeridinin tamamını boyayacaksın! Bu sayfada bu kadar ilginç olan ne? Ve Möbius şeridinin sadece bir tarafı olduğu gerçeği. Ele aldığımız her yüzeyin (bir kağıt parçası, bir bisiklet tüpü ya da bir voleybol tüpü) iki tarafı olduğu gerçeğine alışığız. 8 2. Her halkanın bir tarafına bir nokta koyun ve tekrar işaretli noktaya gelinceye kadar bu nokta boyunca sürekli bir çizgi çizin. Möbius şeridinin kaç kenarı vardır? İkinci sürpriz: Möbius şeridinin tek bir sınırı var ve normal bir halka gibi iki parçadan oluşmuyor. Halkaları uzunlamasına iki parçaya keserek test edelim. Artık iki ayrı yüzüğünüz olacak. Ama bu ne? İki yüzük yerine bir tane alacaksınız! Üstelik orijinal halkadan daha büyük ve daha incedir. Daha fazla bükme ve kesme işleminin sonuçlarını bir tabloya kaydedin. Birkaç bükülme. 9 Tam dönüş yaparsanız ne olur? Ortaya çıkan halkanın kaç kenarı vardır? Kaç yüzey? Uzunlamasına ikiye bölerseniz ne olur? Yarım tur çevirerek biraz araştırma yapalım. Bir tam tur, bir buçuk tur. Özellikleri tanımlayalım ve sonuçların çizimlerini yapalım. Möbius şeridi ilginç özelliklere sahiptir. Bandı kenarlardan eşit uzaklıkta bir çizgi boyunca ikiye kesmeye çalışırsanız, iki Möbius şeridi yerine, sihirbazların "Afgan şeridi" dediği uzun, çift taraflı (Möbius şeridinin iki katı kadar bükülmüş) bir şerit elde edersiniz. Şimdi bu bandı ortadan keserseniz üst üste iki yara elde edersiniz. Diğer ilginç şerit kombinasyonları, içinde iki veya daha fazla yarım dönüş bulunan Möbius şeritlerinden türetilebilir. Örneğin, bir şeridi üç yarım turla keserseniz, yonca şeklinde kıvrılmış bir şerit elde edersiniz. Bir Möbius şeridinin ek dönüşlerle kesilmesi, paradromik halkalar adı verilen beklenmedik şekiller üretir. Büküm ve kesme sonuçlarını araştırma tablosuna kaydedelim. Araştırma tablosu No. 1 Tek bantlı No. Yarım dönüş sayısı 1 0 Uzunlamasına yarım kesimin sonucu İki halka Özellikler 2 1 Bir halka İki kat daha uzun bir halka 3 2 İki halka Aynı uzunlukta birbirine kenetlenmiş halkalar 4 3 Bir halka İki kat daha uzun bir halka bağlı düğüm Aynı uzunlukta iki kat daha dar halkalar 10 Çizim Sonuçları: Bandı yapıştırmadan önce iki kez bükerseniz (yani 360 derecelik 4 yarım tur) ne olur? Böyle bir yüzey zaten çift taraflı olacaktır. Ve yüzüğün tamamını boyamak için bandı kesinlikle diğer tarafa çevirmeniz gerekecek. Bu yüzeyin özellikleri daha az şaşırtıcı değildir. Sonuçta, ortasından uzunlamasına keserseniz, iki özdeş halka elde edersiniz, ancak yine birbirine kenetlenir. Her birini tekrar ortadan keserek birbirine bağlı dört halka bulacaksınız. Artık halkaları tek tek yırtabilirsiniz; her seferinde geri kalanlar birbirine bağlı olacaktır. Kağıt bant değil de herhangi bir kumaş şeridi alırsanız, şeridin uçlarından birini üç tam tur çevirin; 540 derece, her iki ucu da dikin. Daha sonra makas alın ve şeridi dikkatlice ortasından kesin, sonra tekrar kesin, birbirine kenetlenmiş üç özdeş halka elde edin. Birkaç kurdele Çift halkayı kestiğimizde ne olacağına şaşıracağız. İki halka hazırlayın: biri normal, diğeri Möbius. Bunları dik açılarla yapıştırın ve ardından her ikisini de uzunlamasına kesin. Araştırma tablosu No. 2 No. Halka sayısı 1 Birbirine dik yerleştirilmiş iki halka. Her şerit boyunca kesmenin sonucu Üç halka Özellikler Aynı uzunlukta iki halka, üçüncüsü iki kat daha uzun. Daha kısa uzunluktaki iki halka, üçüncü bir halkayla çiftler halinde iç içe geçmiştir. 11 Çizim Ek soru Birkaç kesim Şeridi kenardan genişliğinin 1/3'ü kadar bir mesafede keserseniz, iki halka elde edersiniz. Ancak! Bir büyük ve bir küçük ona bağlı. Araştırma tablosu No. 3 No. Kesim sayısı 1 Üç parça Her bant boyunca kesmenin sonucu İki halka Özellikler Bir halka aynı uzunlukta, ikincisi iki kat daha uzun birbirine kilitlenmiştir 12 Çizim 2 Dört parça İki halka Her iki halka da iki kat kesilen kadar uzun, birbirine kenetlenmiş arkadaş. Halkalardan biri diğerine dolanmıştır 3 Beş parça Üç halka İki kat daha uzun iki halka birbirine dolanmıştır ve orijinal uzunluktaki üçüncü bir kısa halka ile bir çift halinde birbirine bağlanmıştır. ortada, o zaman iki halkanın iç içe geçtiği çok "karmaşık" bir halkaya sahip olacaksınız - boyut olarak aynı, ancak genişlik olarak farklı.Mobius şeridi ile püf noktaları Fizikçiler, tüm optik yasaların Mobius şeridinin özelliklerine, özellikle de yansımaya dayandığını iddia ediyorlar. ayna bir tür zaman aktarımıdır, kısa sürelidir, saniyenin yüzde biri kadar sürer, sonuçta karşımızda görürüz... doğru, kendimizin aynalı bir kopyası! Alışılmadık özellikleri nedeniyle Mobius şeridi son 75 yıldır sihirbazlar tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.Eğer şeridi kenarlardan eşit uzaklıkta bir çizgi boyunca kesmeye çalışırsanız, iki Mobius şeridi yerine uzun, çift taraflı (Möbius şeridinin iki katı kadar bükülmüş) bir tane elde edersiniz. sihirbazların "Afgan şeridi" dediği şerit. Bükülmüş şerit halkalarla yaptığımız araştırmalara dayanarak bir dizi numara yapabiliriz. İşte bunlardan biri: İzleyiciye her biri kağıt bandın uçlarının yapıştırılmasıyla yapılmış üç büyük kağıt halka sunuyoruz. (Çalışmalar Tablo 1). İzleyici başlangıç ​​noktasına dönene kadar ortadaki şerit boyunca halkaları kesmek için makas kullanır. Sonuç olarak ilki iki ayrı halkaya dönüşecek. İkinciden bir halka var, ancak iki kat daha uzun ve üçüncüden birbirine kenetlenmiş iki halka var. 13 Halkanın içinden üç kez bükülmüş bir kurdele geçirirseniz, uçlarını birbirine yapıştırırsanız ve ardından uzunlamasına ortasından keserseniz, halkanın etrafına düğüm atılmış büyük bir halka elde edersiniz. Benzer şekilde sihir numaraları için araştırma tabloları 2 ve 3'ü kullanabilirsiniz. İp ve yelek ile deneyler. Möbius şeridine sahip hileler, sürekli dönüşümler altında değişmeyen esnek malzemeler gerektiren topolojik hilelerin bir parçasıdır: germe ve sıkıştırma. Deneyleri gerçekleştirmek için bir atkı, yelek ve iplere ihtiyacınız var. Öncelikle bir problem durumu ortaya koyuyoruz. Deneylerin yardımıyla bu durumdan bir çıkış yolu arıyoruz. Deney 1. Düğüm atma sorunu. Uçlarını bırakmadan bir fulara nasıl düğüm atılır? Bu şekilde yapılabilir. Eşarpı masanın üzerine yerleştirin. Kollarınızı göğsünüzün üzerinden geçirin. Onları bu pozisyonda tutmaya devam ederek masanın üzerine eğilin ve her iki elinizle atkı bir ucunu sırayla alın. Kollar açıldıktan sonra eşarbın ortasında otomatik olarak bir düğüm oluşacaktır. Topolojik terminolojiyi kullanarak izleyicinin ellerinin, vücudunun ve atkısının “üç yapraklı” düğüm şeklinde kapalı bir eğri oluşturduğunu söyleyebiliriz.Elleri açarken düğüm sadece elden atkıya doğru hareket eder.Deney 2 . Yeleği kişiden çıkarmadan ters çevirmek. Sahibinin yeleğine parmaklarınızı arkadan kenetlemeniz gerekiyor. Çevrenizdekilerin yeleği sahibinin ellerini ayırmadan ters çevirmesi gerekiyor. Bu deneyi göstermek için yeleği çözmeniz ve elle sahibinin arkasından çekmeniz gerekiyor.Yelek havada asılı kalacak, ancak elbette eller kenetlendiğinden çıkarılmayacak.Şimdi yeleğin sol kenarını almanız gerekiyor ve , yeleği kırışmamaya çalışarak mümkün olduğunca sağ kol deliğine doğru itin.Daha sonra sağ kol deliğini alıp aynı kol deliğine ve aynı yöne doğru itin. Geriye sadece yeleği düzleştirip üzerine çekmek kalıyor. sahibi Yelek ters çevrilecek.Aynı deney yeleği açmadan da yapılabilir.Tek sakıncası yeleğin kafadan çıkarılamayacak kadar dar olması olacaktır. Bu nedenle yelek bir kazakla değiştirilebilir. Kazakla yapılan manipülasyonlar aynen tekrarlanıyor. Hareket özgürlüğünü sağlamak için ellerinizi 14'lük bir kabloyla bağlamanız, aralarında 40 santimetre bırakmanız ve ellerinizi önde kenetlemeniz gereken bu deney kendiniz üzerinde gösterilebilir. Deney 3. Halat halkalarının çözülmesi. İki katılımcının elleri iplerle bağlanıyor. Böylece eller ve ipler birbirine kenetlenen iki halka oluşturur. Halatları çözmeden çözmek gerekiyor. Bu deneyin cevabı, katılımcıların her birinin elinde iki ilmek daha olması gerçeğinde yatmaktadır. Bir ipi diğer ipin elindeki ilmeklerden birinden çekip elden ilmeği çıkarmak gerekiyor. III. Möbius şeridinin pratik uygulaması En şaşırtıcı özelliği tek taraflı olması, iki renkle boyanamaması ve üzerinde sürünen böceklerin kenarı geçmeden her iki taraftan dolaşmasıdır. Bu özellik pratik bir uygulama alanı bulmuştur: örneğin bileme kayışı, baskı cihazları için mürekkep şeridi, kayış tahriki ve diğer teknik çözümler gibi birçok cihazın patenti alınmıştır. Möbius şeridinin tek taraflı özelliği teknolojide kullanıldı: Bir kayış tahrikinin kayışı Möbius şeridi şeklinde yapılmışsa, yüzeyi geleneksel bir halkanınkinden iki kat daha yavaş aşınır. Bu önemli tasarruf sağlar.Möbius şeridinin sahip olduğu özellikler giyim endüstrisinde kumaşın orijinal kesimi için kullanılabilir.Çocuk kurmalı oyuncaklarının yay mekanizması çoğu zaman başarısız olur çünkü çocuklar genellikle yayı zaten bükülmüş halde sarmaya çalışırlar. Sınıra kadar. Halka şeklinde bükülmüş bir yay, çocuk oyuncakları için "sürekli hareket makinesi" haline gelebilir. Yeni bir mekanizmanın olası kullanımına başka bir örnek, bir fotoğraf veya film kamerasının (dijital değil) yuva deklanşörüdür. Geleneksel tasarımlarda, deklanşörü serbest bıraktıktan sonra, deklanşör perdesi yuvasını kapatmak ve ardından aynı anda yayı şarj ederken onu yalnızca orijinal konumuna döndürmek gerekir. Aksi halde deklanşör yarığından ters yönde geçerken çerçeve aydınlanacaktır. Deklanşör cihazı oldukça karmaşıktır. Möbius şeridinin kullanılması tasarımı basitleştirdi, güvenilirliğini, dayanıklılığını ve performansını artırdı. Birçok matris yazıcıda mürekkep şeridi, kaynağını artırmak için Mobius şeridi biçimine de sahiptir. Mobius şeridi sayesinde birçok farklı icat ortaya çıktı. Örneğin teypler için özel kasetler oluşturuldu, bu da kasetlerin yer değiştirmeden “her iki taraftan” dinlenmesini mümkün kıldı, “Roller Coaster” yolculuklarından kaç kişi memnun kaldı. Bu oyuncak sadece matematikçiler arasında çok popüler değildi. Şu anda Washington'daki Tarih ve Teknoloji Müzesi'nin girişinde Mobius şeridine ait bir anıtın bulunması muhtemelen boşuna değil - yarım tur bükülmüş çelik bir şerit bir kaide üzerinde yavaşça dönüyor. Heykeltıraş Max Bill tarafından Mobius şeridi şeklindeki bir dizi heykel yaratıldı. Maurits Escher'in pek çok farklı çizimi kaldı. IV. Sonuç Mobius'un şaşırtıcı keşfini uzun zaman önce yapmasına rağmen bugün hala çok popüler. Sadece bir kez bükülüp halka şeklinde yapıştırılan basit bir kağıt şeridi, anında gizemli bir Mobius şeridine dönüşür ve şaşırtıcı özellikler kazanır. Yüzeylerin ve uzayların bu tür özellikleri, matematiğin özel bir dalı olan Topoloji tarafından incelenmektedir. Bu bilim o kadar karmaşık ki okulda öğretilmiyor. Sadece enstitülerde. Ama kim bilir, belki zamanla ünlü topologlar oluruz ve harika keşifler yaparız. Ve belki bazı karmaşık yüzeylere bizim adımız verilecek. Grubumdaki adamlarla “Mobius Şeridi'nin Sırları” projesinde çalışarak birçok yeni ve ilginç şey öğrendim: Kütüphanede öğretmenin önerdiği konuyla ilgili literatür bulmayı, gerekli materyali okuyup seçmeyi öğrendim. ; İnternetteki makaleleri kullanın, özet için gerekli resimleri seçin, tablolar oluşturun ve bunları doldurun; “Möbius şeridi” üzerinde araştırma yapın (gerekli sayıda dönüş yapın, yapıştırın ve kesin); ortaya çıkan halkaların fotoğrafını çekin ve bunları masaya girin; sunum ve film deneyleri yapmak; bir konferansta konuşun ve sihir numaraları yapın. Bütün bunlar oldukça karmaşık ve zaman alıcı ama çok ilginç. 16 “Geometrinin en genç ve en güçlü dalı olan topoloji, sezgi ve mantık arasındaki çelişkilerin verimli etkisini açıkça göstermektedir” R. Courant. 17 Edebiyat 1. Gardner M “Matematiksel mucizeler ve gizemler”, Moskova, “Bilim” 1986 2. Gromov A.S. “Matematik 8-9. Sınıflarda ders dışı görevler” Moskova, Eğitim 3. N. Langdon, Ch. Snape “Matematikle yolda” Moskova, Pedagoji, 1987 4. Popüler bilimsel dergi “Kvant” 1975 No. 7, 1977 No. 7. 5. Savin A.P. " ansiklopedik sözlük genç matematikçi”, M, Prosveshchenie, 1985 6. Yakusheva G.M. “Okul çocukları için büyük ansiklopedi. Mathematics”, Moskova, “WORD”, Eksmo, 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Ek Laboratuvar çalışması Matematik çemberinde “Möbius Şeridi” 19. Sınıfta Möbius şeridinin bir tarafını parça parça, üzerinden geçmeden boyamaya çalışın. bandın kenarı. Ve ne? Mobius şeridinin tamamını boyayacaksın! 20 Her halkanın bir kenarına bir nokta koyun ve işaretlenen noktaya gelene kadar bu nokta boyunca sürekli bir çizgi çizin. 21 Halkaları uzunlamasına ikiye keserek test edelim. 22 Artık iki ayrı yüzüğünüz olacak. Ama bu ne? İki yüzük yerine bir tane alacaksınız! Üstelik orijinal halkadan daha büyük ve daha incedir. 23 Büküm ve kesme işleminin sonuçlarını araştırma tablosuna yazalım. 24 Her iki halka da kesilenin iki katı uzunluğunda olup birbirine kenetlenmiştir. Halkalardan biri diğerinin iç içe geçmiş halidir. 25 Bir halka aynı uzunlukta, ikincisi iki katı uzunlukta birbirine kenetlenmiştir. 26 Möbius şeridinin ek dönüşlerle kesilmesi, paradromik halkalar adı verilen beklenmedik şekiller verir. 27

Günlük hayatımızın içine gizemi ve gizemi getiren bilimsel bilgi ve olgular vardır. Mobius şeridi onlar için tamamen geçerlidir.

Modern matematik, formülleri kullanarak tüm özelliklerini ve özelliklerini harika bir şekilde açıklar. Ancak toponimi ve diğer geometrik bilgelikleri çok az anlayan sıradan insanlar, neredeyse her gün, farkında bile olmadan, onun görüntüsünde ve benzerliğinde yapılmış nesnelerle karşılaşırlar.

Ne olduğunu? Kim, ne zaman açtı?

Döngü, yüzey veya levha olarak da adlandırılan bir Möbius şeridi, bükülme, esneme, sıkıştırma, bükme ve diğerleri gibi sürekli dönüşümler altında korunan şekillerin genel özelliklerini inceleyen topolojinin matematik disiplininde bir çalışma nesnesidir. bütünlüğün ihlali ile ilgilidir. Böyle bir bandın şaşırtıcı ve benzersiz bir özelliği, yalnızca bir kenarı ve kenarı olması ve uzaydaki konumuyla hiçbir şekilde ilişkili olmamasıdır. Bir Mobius şeridi topolojiktir, yani sıradan Öklid uzayında (3 boyutlu) bir sınırı olan en basit tek taraflı yüzeye sahip sürekli bir nesnedir; burada böyle bir yüzeyin bir noktasından diğerine geçmeden herhangi bir noktaya ulaşmanın mümkün olduğu kenarlar.

Möbius şeridi gibi karmaşık bir nesne oldukça alışılmadık bir şekilde keşfedildi. Her şeyden önce, araştırmalarında birbirleriyle tamamen ilgisiz olan iki matematikçinin bunu 1858'de aynı anda keşfettiğini belirtelim. Bir tane daha ilginç gerçek bu bilim adamlarının her ikisinin de farklı zamanlarda aynı büyük matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss'un öğrencileri olduğudur. Yani 1858'e kadar herhangi bir yüzeyin iki tarafının olması gerektiğine inanılıyordu. Ancak Johann Benedict Listing ve August Ferdinand Möbius, tek tarafı olan ve onun özelliklerini anlatan geometrik bir cisim keşfettiler. Şeride Möbius'un adı verildi, ancak topologlar Listing ve onun "Topolojide Ön Çalışmalar" çalışmasını "kauçuk geometrisinin" kurucu babası olarak görüyorlar.

Özellikler

Möbius şeridi sıkıştırıldığında, uzunlamasına kesildiğinde veya buruşturulduğunda değişmeyen aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Bir tarafın varlığı. A. Mobius, “Çokyüzlülerin Hacmi Üzerine” adlı çalışmasında, daha sonra onun onuruna isimlendirilen, tek tarafı olan geometrik bir yüzeyi tanımladı. Bunu kontrol etmek oldukça basit: Bir Mobius şeridi veya şeridi alın ve içini bir renkle, dışını ise başka bir renkle boyamaya çalışın. Renklendirmeye hangi yer ve yönde başlandığı önemli değil, figürün tamamı aynı renge boyanacaktır.

2. Süreklilik, bu geometrik şeklin herhangi bir noktasının, Mobius yüzeyinin sınırlarını aşmadan başka herhangi bir noktaya bağlanabilmesiyle ifade edilir.

3. Bağlantı veya iki boyutluluk, bandı uzunlamasına keserken ondan birkaç farklı şeklin çıkmaması ve sağlam kalması gerçeğinde yatmaktadır.

4. Yönelim gibi önemli bir özelliği yoktur. Bu, bu figürü takip eden kişinin yolunun başlangıcına geri döneceği anlamına gelir, ancak yalnızca kendisinin ayna görüntüsü olarak. Böylece sonsuz bir Mobius şeridi sonsuz bir yolculuğa yol açabilir.

5. Herhangi birinin diğerleriyle ortak bir sınıra sahip olması için Mobius yüzeyinde oluşturulabilecek mümkün olan maksimum alan sayısını gösteren özel bir kromatik sayı. Möbius şeridinin kromatik numarası 6'dır, ancak kağıt halkasının kromatik numarası 5'tir.

Bilimsel kullanım

Bugün, Mobius şeridi ve özellikleri bilimde yaygın olarak kullanılmaktadır; yeni hipotezler ve teoriler oluşturmak, araştırma ve deneyler yapmak, yeni mekanizmalar ve cihazlar oluşturmak için temel teşkil etmektedir.

Dolayısıyla Evrenin devasa bir Mobius döngüsü olduğuna dair bir hipotez var. Bu, Einstein'ın görelilik teorisi tarafından dolaylı olarak kanıtlanmıştır; buna göre düz uçan bir gemi bile başladığı aynı zaman ve uzay noktasına dönebilir.

Başka bir teori, DNA'yı Mobius yüzeyinin bir parçası olarak görüyor ve bu da genetik kodun okunması ve deşifre edilmesindeki zorluğu açıklıyor. Diğer şeylerin yanı sıra, böyle bir yapı biyolojik ölüm için mantıksal bir açıklama sağlar - kendi üzerine kapalı bir sarmal, nesnenin kendi kendini yok etmesine yol açar.

Fizikçilere göre birçok optik yasa Mobius şeridinin özelliklerine dayanmaktadır. Yani örneğin bir ayna yansıması, zamanda özel bir aktarımdır ve kişi aynasını karşısında çift görür.

Uygulamada uygulama

Mobius şeridi uzun süredir çeşitli endüstrilerde kullanılmaktadır. Büyük mucit Nikola Tesla, yüzyılın başında, elektromanyetik girişim yaratmadan elektrik akımının akışına direnebilen, 1800° bükülmüş iki iletken yüzeyden oluşan Mobius direncini icat etti.

Mobius şeridinin yüzeyi ve özellikleri üzerine yapılan çalışmalara dayanarak birçok cihaz ve alet oluşturulmuştur. Baskı cihazlarındaki konveyör bant şeritleri ve mürekkep şeritlerinin, bileme aletleri için aşındırıcı bantların ve otomatik transferlerin oluşturulmasında şekli tekrarlanır. Bu, aşınma daha eşit bir şekilde meydana geldiğinden hizmet ömrünü önemli ölçüde artırmanıza olanak tanır.

Kısa bir süre önce, Mobius şeridinin şaşırtıcı özellikleri, ters yönde ateş eden geleneksel yayların aksine, çalışma yönünü değiştirmeyen bir yay yaratılmasını mümkün kıldı. Direksiyon tahrikinin dengeleyicisinde kullanılır, direksiyon simidinin orijinal konumuna geri dönmesini sağlar.

Ayrıca Möbius şerit işareti çeşitli marka ve logolarda da kullanılmaktadır. Bunlardan en ünlüsü geri dönüşümün uluslararası sembolüdür. Geri dönüştürülebilir veya geri dönüştürülmüş kaynaklardan yapılmış malların ambalajlarının üzerine yerleştirilir.

Yaratıcı ilhamın kaynağı

Möbius şeridi ve özellikleri birçok sanatçının, yazarın, heykeltıraşın ve film yapımcısının çalışmalarının temelini oluşturdu. Kaseti ve özelliklerini “Mobius Strip II (Kırmızı Karıncalar)”, “Sürücüler” ve “Düğümler” gibi eserlerinde kullanan en ünlü sanatçı Maurits Cornelis Escher'dir.

Möbius şeritleri veya diğer adıyla minimum enerji yüzeyleri, Brent Collins ve Max Bill gibi matematik sanatçıları ve heykeltıraşlar için ilham kaynağı haline geldi. Mobius şeridinin en ünlü anıtı, Washington Tarih ve Teknoloji Müzesi'nin girişine yerleştirilmiştir.

Rus sanatçılar da bu konunun dışına çıkmamış ve kendi eserlerini yaratmışlardır. Mobius Strip heykelleri Moskova ve Yekaterinburg'a yerleştirildi.

Edebiyat ve topoloji

Möbius yüzeylerinin sıra dışı özellikleri birçok yazara fantastik ve gerçeküstü eserler yaratma konusunda ilham verdi. Mobius döngüsü, R. Zelazny'nin "Kumdaki Kapılar" romanında önemli bir rol oynar ve B. Lumley'in "Nekroskop" romanının ana karakteri için uzay ve zamanda hareket etme aracı olarak hizmet eder.

Ayrıca Arthur C. Clarke'ın "The Wall of Darkness", M. Clifton'ın "On the Mobius Strip" ve A. J. Deitch'in "The Mobius Strip" hikayelerinde de yer alıyor. Yönetmen Gustavo Camira, ikincisine dayanarak fantastik “Mobius” filmini yaptı.

Kendi ellerimizle kendimiz yapıyoruz!

Mobius şeridiyle ilgileniyorsanız, bunun bir modelinin nasıl yapılacağı, küçük bir talimat size şunları anlatacaktır:

1. Modelini yapmak için ihtiyacınız olacak:

Bir sayfa düz kağıt;

Makas;

Cetvel.

2. Bir kağıttan, genişliği uzunluğundan 5-6 kat daha az olacak şekilde bir şerit kesin.

3. Ortaya çıkan kağıt şeridini düz bir yüzeye yerleştirin. Bir ucunu elimizle tutup diğer ucunu 1800 çeviriyoruz ki şerit kıvrılsın ve yanlış taraf ön taraf olsun.

4. Bükülmüş şeridin uçlarını şekilde gösterildiği gibi birbirine yapıştırın.

Mobius şeridi hazır.

5. Bir kalem veya işaretleyici alın ve bandın ortasına bir yol çizmeye başlayın. Her şeyi doğru yaptıysanız çizgiyi çizmeye başladığınız noktaya döneceksiniz.

Möbius şeridinin tek taraflı bir nesne olduğuna dair görsel onay almak için bir kenarını kalem veya tükenmez kalemle boyamayı deneyin. Bir süre sonra tamamen boyadığınızı göreceksiniz.

Budarina Svetlana

Arndt Anastasia

Makalede Möbius şeridinin keşif tarihi ve Möbius şeridi ile yapılabilecek deneyler tartışılmaktadır.

İndirmek:

Ön izleme:

Belediye bütçeli eğitim kurumu

"Vesennenskaya Ortaokulu"

Noel okumaları

Adaylık: “Tam Bilimler”

Mobius şeridinin sırları

Arndt Anastasia

5. sınıf öğrencisi

Danışman:

Arndt Irina

Vasilevna,

Matematik öğretmeni

İle. Bahar

yıl 2014

Giriiş. ………………………………………………………..…..…..… İle. 3

Bölüm I. Tarihsel arka plan. .....…………………………………....... İle. 3-4

Bölüm II. Mobius şeridi. ………………………………………….....…….İle. 4-9

§1. Mobius şeridi yapmak. ………………………………........…..İle. 4

§2. Möbius şeridi ile deneyler. ……..………………………........İle. 4-6

§3. Mobius şeridinin hayatta uygulanması. …………………………..… s.7-9

Çözüm. ………………………………………..…………………........İle. 9

Edebiyat. ……………………………………………………………..….İle. 10

Giriiş.

Her birimizin "yüzeyin" ne olduğuna dair sezgisel bir fikri vardır. Bir kağıdın yüzeyi, bir sınıfın duvarlarının yüzeyi, kürenin yüzeyi herkes tarafından bilinmektedir. Bu kadar sıradan bir kavramda beklenmedik, hatta gizemli bir şey olabilir mi? Moebius örnek sayfası bunun mümkün olduğunu gösteriyor. Birçok kişi Möbius şeridinin (şerit) ne olduğunu biliyor. Henüz “matematiksel sürprizler”e ait muhteşem çalışma sayfasına aşina olmayanlar için sizi bizimle keşfetmeye ve bilginin parlak hissine dalmaya davet ediyoruz.

Bu konuyla çok ilgilendim. Bu alandaki bilgimi derinleştirmeye karar verdim.

Çalışmamın amacı: Mobius şeridini topolojinin nesnelerinden biri olarak keşfetmek.

Hedefler: - Mobius şeridi hakkında mümkün olan tüm bilgileri toplamak;

Mobius şeridinin özelliklerini deneysel olarak araştırmak;

Mobius şeridinin hayatta kullanımını gösterin.

Bölüm I. Tarihsel arka plan.

Gizemli ve ünlüMöbius şeridi, 1858'de Alman matematikçiler August Ferdinand Möbius ve Johann Benedict Listing tarafından bağımsız olarak keşfedildi.

Ağustos Ferdinand Mobius(1790-1868), Schulpforte şehrinde doğdu, Alman geometrici, “matematikçilerin kralı” ünlü K.F.'nin öğrencisi. Gauss. Mobius aslen bir gökbilimciydi. 1816'dan beri Leipzig Üniversitesi'nde profesör. 1818'de Pleisenburg Gözlemevi'nde bağımsız astronomik gözlemler yapmaya başladı. onun yöneticisi oldu. Sessiz bir yalnızlık içinde çalışan Möbius birçok ilginç keşif yaptı ve 19. yüzyılın en büyük geometri adamlarından biri oldu. 68 yaşında inanılmaz bir güzellik keşfetmeyi başardı. Bu, Möbius şeridi de dahil olmak üzere tek taraflı yüzeylerin keşfiydi ve bu onun hayatındaki en önemli olaydı!

Kurdelenin uçlarını yanlış diken bir hizmetçinin Mobius'un "yaprağını" açmasına yardım ettiğini söylüyorlar.

Tarihte, bir fikrin birden fazla mucidin aklına aynı anda geldiği durumlar sıklıkla vardır. Bu Mobius şeridinde oldu.

Aynı yıl, 1858'de, kaset fikri K.F.'nin öğrencisi olan başka bir bilim insanına geldi. Gauss-Johann Benedict Listesi(1808-1882), Alman matematikçi ve fizikçi, Göttingen Üniversitesi'nde profesör. Sürekliliği inceleyen bilime adını verdi - topoloji

Topoloji, geometrik şekillerin bükülmesi, gerilmesi veya sıkıştırılması durumunda değişmeyen özelliklerini inceler. Topolojik bir nesnenin (bir şerit) keşfindeki şampiyonluk August Moebius'a gitti.

Bu iki Alman profesörü ne şaşırttı? Ve Mobius şeridinin sadece bir tarafı olduğu gerçeği.

Bölüm II. Mobius şeridi.

§1. Mobius şeridi yapmak.

Bir Möbius şeridini yapmak, elinizde tutmak, kesmek, başka bir şekilde denemek çok kolaydır. Möbius şeridini incelemek topolojinin unsurlarına iyi bir giriş niteliğindedir.

Möbius şeridi bu matematiksel sürprizlerden biridir. Bir Möbius şeridi oluşturmak için dikdörtgen bir şerit alın ABB 1 A 1 , 180 derece döndürün ve AB ve A karşı taraflarını yapıştırın 1'i 1 arada yani A ve B noktaları çakışacak şekilde 1 ve A 1 ve B noktaları.

Bükülmüş bir yüzük alıyoruz.Ve kendimize şu soruyu soruyoruz: Bu kağıt parçasının kaç tarafı var? Başkaları gibi iki mi? HAYIR. BİR tarafı var. Bana inanmıyor musun?

§2. Möbius şeridi ile deneyler.

Özelliklerini incelemek için iki gruba ayırdığım birkaç deney yaptım:

Grup I.

1 Numaralı Deneyim . Mobius şeridini ters çevirmeden boyamaya başladım.

Sonuç. Möbius şeridi tamamen boyandı.

Richard Courant ve Herbert Robins, "Matematik Nedir?" adlı mükemmel kitabında şöyle yazıyor: "Biri bir Möbius şeridinin yüzeyinin yalnızca bir tarafını boyamaya karar verirse, hemen her şeyi bir kova boyaya batırmasına izin verin".

2 numaralı deneyimi yaşayın.

Bir şekil değiştiricinin Mobius şeridi boyunca ilerlediğini ve sonuna kadar gittikten sonra başlangıç ​​noktasına geri döndüğünü hayal edin. Aynı zamanda, kenarları kesişmeden her iki yüzeyin (dış ve iç) etrafından dolaşacaktır.Bu şunu kanıtlıyorMöbius şeridi tek taraflı bir yüzeydir ve başlangıç ​​noktasına geri dönmüştür. Ama hangi biçimde! Ters çevrilmiş!

Ve normal bir pozisyonda başlangıca dönmesi için başka bir "gidiş-dönüş" yolculuk yapması gerekiyor. Möbius şeridinin sadece bir tarafı var!

Grup II Mobius şeridinin kesilmesiyle ilgili deneyler.

Sonuçları bir tabloya girilen bir dizi deney yaptım.

Bunlar, basit bir kağıt şeridini bir Möbius şeridi halinde birbirine yapıştırdığınızda başına gelen beklenmedik şeylerdir.

§3. Mobius şeridinin hayatta uygulanması.

Bu çalışmayı yaparken Möbius şeridinin 19. yüzyılda keşfedilmiş olmasına rağmen hem 20. hem de 20. yüzyıllarda geçerli olduğu sonucuna vardım.

Möbius şeridinin şaşırtıcı özellikleri teknoloji, fizik ve optikte kullanılmış ve kullanılmaktadır. Birçok yazar ve sanatçının yaratıcılığına ilham kaynağı oldu.

Mobius şeridinin mucitlerin zihinlerini şimdi bile heyecanlandırmaya devam etmesi ilginçtir. Dünyanın birçok ülkesinde buna dayalı şaşırtıcı mekanizmalar patentlenmiştir.

Teknoloji ve fizikte Möbius şeridi

Mobius'un döndürdüğü manyetik bantlarda kaydedilen bilgilerin hacmi iki katına çıkar veiki kat daha uzun süre oynuyor.Yer değiştirmeden “her iki taraftan” dinlenmeyi mümkün kılan özel kasetler oluşturuldu.

Bu bant, limanlarda kargo bağlamak ve taşımak için harika çalışıyor. Sıcak malzemeleri taşımak için kullanılan konveyör bantları, Möbius'a göre yapılırsa, sıcak malzemelerden sırayla "dinlenecektir". Sonuç olarak bandın soğuması iyileşir ve bant eşit şekilde aşınır, bu da daha uzun süre dayanacağı anlamına gelir.Bu önemli oranda tasarruf sağlar.

Doğada ve yaşamda Möbius şeridi.

DNA sarmalının kendisinin de bir Mobius şeridinin parçası olduğuna ve genetik kodun deşifre edilmesinin ve algılanmasının bu kadar zor olmasının tek nedeninin bu olduğuna dair bir hipotez var. Üstelik böyle bir yapı, biyolojik ölümün başlangıcının nedenini oldukça mantıklı bir şekilde açıklıyor - sarmal kendi kendine kapanıyor ve kendi kendini yok ediyor.

Sanatta Möbius şeridi.

Gizemli Mobius şeridi her zaman yazarların, sanatçıların ve heykeltıraşların zihnini heyecanlandırmıştır. Möbius şeridi heykeller ve grafik sanatı için ilham kaynağı oldu. Escher onu özellikle seven sanatçılardan biriydi ve taşbaskılarının birçoğunu bu matematiksel nesneye adamıştı. Ünlülerden biri, Möbius şeridinin yüzeyinde sürünen karıncaları gösteriyor.

Möbius şeridini tasvir eden çizimleri de yaygın olarak bilinmektedir.

Möbius şeridine adanan anıtlar oldukça ilgi çekicidir.

Birçok şehrin sokakları Mobius şeridi temasına dayanan heykellerle süslenmiştir.

Kuyumcular eserlerini Möbius şeridine adadılar.

Möbius şeridi çeşitli amblemlerde tasvir edilmiştir ve Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Fakültesi'nin rozetinde tasvir edilmiştir.

Geri dönüşümün uluslararası sembolü de Möbius Şeridi'dir.

Ayrıca Ay'ın uzak tarafındaki bir kratere Möbius'un adı verilmiştir.

Mimarlar Möbius şeridini yenilikçi şekillerde kullanıyor. Örneğin Astana'daki (Kazakistan) yeni bir kütüphanenin inanılmaz projesi böyle görünüyor.

Çözüm.

Möbius şeridinin birçok ilginç özelliği vardır.

1. Möbius şeridinin bir kenarı vardır.
2. Möbius şeridinin bir tarafı vardır.
3. Bir Möbius şeridi topolojik bir nesnedir. Herhangi bir topolojik şekil gibi, bir Möbius şeridi de kesilinceye, yırtılıncaya veya bireysel parçaları birbirine yapıştırılıncaya kadar özelliklerini değiştirmez.
4. Mobius şeridinin bir kenarı ve bir tarafı uzaydaki konumuyla ve mesafe kavramıyla ilgili değildir.

Möbius şeridi keşfedilen ilk tek taraflı yüzeydir. Daha sonra matematikçiler bir dizi tek taraflı yüzey keşfettiler. Bu çalışmada, güzel bir yüzey olan Mobius şeridinin özelliklerini tanımlamaya, pratikte önemini göstermeye ve Mobius şeridinin topolojik bir şekil olduğunu kanıtlamaya çalıştım.

Möbius'un şaşırtıcı keşfini uzun zaman önce yapmasına rağmen bugün hala çok popüler:

• Matematikçiler daha fazla araştırma yapıyorlar;
• okul çocukları için Möbius şeridiyle deneyler yapmak çok ilginç;
• teknolojide - Möbius şeridini kullanmanın yeni yolları keşfediliyor.

Möbius şeridiyle ilgili deneyleri henüz bitirmedim. Bunlar sonsuzdur, ilginçtir ve sizin sabrınıza bağlıdır. Gelecekte bu öngörülemeyen yaprağı araştırmaya devam etmeyi planlıyorum.

Edebiyat.

1. Voloshinov A.V., “Matematik ve Sanat” M.: “Aydınlanma”, 1996.
2. "1 Eylül" yayınevinin "Matematik" gazetesi eki, Sayı 14 1999, Sayı 24 2006.
3. Gardner M. “Matematiksel harikalar ve gizemler”, “Bilim” 1978.
4. Gusev V.A., Kombarov A.P. “Matematiksel ısınma” M.: “Aydınlanma”, 1986.
5. İnternet sitesi kaynakları:http://ru.wikipedia.
6. Kordemsky B. A. Kendin yap topolojik deneyler. Kvant, 1974, No.3.

En basit ve aynı zamanda en karmaşık ve tuhaf nesnelerden biri Möbius şerididir. Bu figürün tüm özgünlüğüne rağmen, kolayca kendiniz yapabilir ve bu makalede açıklanan tüm deneyleri gerçekleştirebilirsiniz.

Bir Möbius şeridi, üç boyutlu uzayda tek taraflı olan en basit, yönlendirilemeyen yüzeydir. Genellikle Möbius yüzeyi olarak adlandırılır ve sürekli (topolojik) bir nesne olarak sınıflandırılır.

Efsaneye göre, Alman gökbilimci, matematikçi ve tamirci August Ferdinand Möbius, bu nesneyi, evinde çalışan bir hizmetçinin kumaş bir şeridi bir halkaya dikmesi ve uçlarından birini dikkatsizce ters çevirmesi sonucu keşfetti. Sonucu gören Mobius, şanssız kızı azarlamak yerine şöyle dedi: “Ah evet Martha! Kız o kadar aptal değil. Sonuçta bu tek taraflı halka şeklinde bir yüzeydir. Kurdelenin arkası yok!”

Ağustos Ferdinand Moebius.

Bandın özelliklerini inceleyen Mobius, bununla ilgili bir makale yazıp bunu Paris Bilimler Akademisi'ne gönderdi, ancak yayınını hiç görmedi. Materyalleri matematikçinin ölümünden sonra yayınlandı ve sıra dışı bir topolojik yüzeye onun adı verildi.

Bir Möbius şeridi yapmak çok basittir: Bir ABCD şeridi alın ve ardından A ve D noktaları B ve C'ye bağlanacak şekilde katlayın.

Mobius şeridi yapmak. Sonuç, çok ilginç özelliklere sahip, görünüşte sıradan bir figür.

Möbius şeridinin olağandışı özellikleri

Tek taraflılık
Hepimiz, karşılaştığımız tüm nesnelerin yüzeylerinin gerçek dünya(örneğin bir kağıt parçası) iki tarafı. Ancak Möbius şeridinin yüzeyi tek taraflıdır. Bu, bandın üzerini boyayarak kolayca kontrol edilebilir. Bir kalem alıp bandı herhangi bir yerden ters çevirmeden boyamaya başlarsanız, sonunda bant tamamen boyanacaktır.

Birisi Möbius şeridinin yüzeyinin yalnızca bir tarafını boyamaya çalışırsa, onu hemen bir kova boyaya batırmak daha iyidir, Möbius şeridinin yüzeyi süreklidir

Bu, şu şekilde kolayca doğrulanabilir: Bandın herhangi bir yerine bir nokta koyarsanız, bu nokta, bandın yüzeyindeki herhangi bir noktaya, kenarı geçmeden bağlanabilir. Böylece bu nesnenin yüzeyinin sürekli olduğu ortaya çıkıyor.

Möbius şeridinin yönelimi yoktur
Eğer Mobius şeridinin tamamını geçebilseydiniz, yolculuğun başlangıç ​​noktasına döndüğünüz anda kendinizin aynadaki görüntüsüne dönüşürdünüz.

Bant ortada uzunlamasına kesilirse, bu durumda yalnızca bir bant elde edersiniz, ancak mantık bunlardan iki tane olması gerektiğini söyler ve eğer keserseniz, genişliğinin üçte biri kadar kenardan geriye adım atarsınız. bantla birbirine bağlı iki halka elde edeceksiniz - biri küçük, diğeri büyük. Daha sonra ortadaki küçük halkanın uzunlamasına bir bölümünü yaptıktan sonra, sonunda aynı boyutta ancak genişlikleri farklı iki iç içe geçmiş halka elde edeceğiz.

Möbius şeridinin pratik kullanımı
Bu olağandışı topolojik nesnenin özelliklerine dayanan pek çok icat zaten var. Örneğin, nokta vuruşlu yazıcılardaki Mobius şeridi şeklinde bükülmüş mürekkep şeridi çok daha uzun süre dayanır, çünkü bu durumda aşınma tüm yüzeyinde eşit olarak meydana gelir. Ve bu geometrik nesne şeklinde bükülmüş bir mutfak mikseri veya beton mikserinin bıçakları, enerji maliyetlerini% 20 oranında azaltır ve aynı zamanda ortaya çıkan karışımın kalitesi de artar.

Çift sarmal olan DNA polimerinin Mobius şeridinin bir parçası olduğu ve bu nedenle DNA kodunun çözülmesinin ve anlaşılmasının bu kadar zor olduğu yönünde bir hipotez var.

Bazı fizikçiler, optik etkilerin bu paradoksal nesnenin sahip olduğu aynı özelliklere dayandığını, dolayısıyla aynadaki yansımamızın Mobius şeridinin özelliklerinden birinin özel bir durumu olduğunu söylüyor.

Bu matematiksel nesneyle ilgili bir diğer hipotez ise Evrenimizin kendisinin böyle bir bantla kapatılmış olabileceği ve kendi ayna kopyasına sahip olabileceğidir. Çünkü eğer Mobius şeridi boyunca her zaman tek bir yönde hareket edersek, sonunda kendimizi yolculuğumuzun başlangıç ​​noktasında ama kendi ayna görüntümüzde bulacağız.

Gizemli Klein şişesi
Möbius şeridine dayanarak başka bir şaşırtıcı figür daha var - Klein şişesi. Altta delik bulunan bir şişedir. Şişenin boynu uzatılmış ve kavisli olup şişenin duvarlarından birine geçmektedir.

Klein şişesi

Böyle bir figür sıradan üç boyutlu uzayda yeniden üretilemez çünkü boynun şişenin duvarına değmemesi ve dibindeki bir deliğe bağlanması gerekir. Bu, yalnızca bir tarafı olan bir yüzeyle sonuçlanır. Klein şişesi ve Möbius şeridi hala bilim adamlarının ve yazarların ilgisini çekmektedir.

A. Deitch, öykülerinden birinde, bir gün New York metrosunda rayların kesiştiğini ve tüm metronun bir Mobius şeridine benzemeye başladığını ve raylar boyunca çalışan elektrikli trenlerin nasıl ortadan kaybolmaya başladığını ve yalnızca birkaç ay sonra yeniden ortaya çıktığını yazmıştı. Daha sonra.

Alexander Mitch'in The Giveaway Game adlı kitabında karakterler kendilerini Klein şişesini andıran bir mekanın içinde buluyor.

Dünya bizim için hala büyük bir gizem olmaya devam ediyor ve uzay bilimcilerinin yakın gelecekte başka ne gibi tuhaflıklar keşfedeceğini kim bilebilir?

Bir yüzey ve onun üzerinde oturan bir karınca hayal edelim. Karınca, kenarı aşmadan yüzeyin diğer tarafına, mecazi anlamda alt kısmına doğru sürünebilecek mi? Tabii ki değil!

Bir karıncanın, kenarından tırmanmadan sürünebileceği herhangi bir yere tek taraflı bir yüzeyin ilk örneği, 1858'de Mobius tarafından verildi.

M. Escher "Mobius şeridi II" Mobius şeridinden başka bir boyuta "Geçiş"

August Ferdinand Möbius (1790-1868) - matematikçilerin “kralı” Gauss'un öğrencisi. Möbius aslen Gauss ve matematiğin gelişimini borçlu olduğu diğer pek çok kişi gibi bir gökbilimciydi. O zamanlar matematik desteklenmiyordu ve astronomi bunları düşünmemeye yetecek kadar para sağlıyor, insanın kendi düşüncelerine zaman bırakıyordu. Ve Möbius, 19. yüzyılın en büyük geometrilerinden biri oldu.

Möbius 68 yaşındayken inanılmaz bir güzellik keşfetti. Bu, biri Möbius şeridi (veya şeridi) olan tek taraflı yüzeylerin keşfidir. Möbius'un aklına kurdele fikri, bir hizmetçinin eşarbını yanlış şekilde boynuna taktığını görünce aklına geldi.

M. Escher "Möbius Şeridi"

Bir Mobius şeridi yapalım: bir kağıt şerit alın - uzun, dar bir ABCD dikdörtgeni (uygun boyutlar: uzunluk 30 cm, genişlik 3 cm). Şeridin bir ucunu 180° bükerek, ondan bir halka yapıştırın (A ve C, B ve D noktaları) Model hazır.

Möbius şerit modeliŞeridin bir ucunu yarım tur döndürüp diğer ucuna kapalı bir şekil vererek bir kağıt şeridinden kolayca oluşturulabilir. Bandın yüzeyine kurşun kalemle bir çizgi çizmeye başlarsanız, çizgi şeklin derinliklerine inecek ve sanki bandın “diğer tarafına” gidiyormuş gibi çizginin başlangıç ​​noktasının altından geçecektir. Çizgiye devam ederseniz başlangıç ​​noktasına geri dönecektir. Bu durumda çizilen çizginin uzunluğu kağıt şeridinin uzunluğunun iki katı olacaktır. Bu örnek, bir Möbius şeridinin yalnızca bir kenarı ve tek sınırı olduğunu göstermektedir.

Aslında Öklid uzayında iki tür yarım dönüşlü Mobius şeridi vardır: biri saat yönünde, diğeri saat yönünün tersine dönmüştür.

Mobius şeridini kesmeye çalışırsanız size bir sürpriz olacaktır. Sayfayı orta çizgi boyunca kesin. Ne aldın? Bant iki parçaya ayrılmak yerine uzun, birbirine bağlı, kapalı bir şerit halinde açılıyor. İlk kesimden sonra elde edilen bandı tekrar orta çizgi boyunca kesin. Makası son kez sıkmadan önce ne olacağını tahmin etmeye çalışın?

Möbius şeridi elde etmek için kağıt şeridini yarım tur 180° çevirdik. Şimdi şeridi 360°, tam tur döndürün. Birbirine yapıştırın, ardından orta çizgi boyunca kesin. Sonucun ne olacağını tahmin etmek zordur.

Şimdi böyle bir model yapmaya çalışalım: ABCD şeridinde bir yarık kesin ve bir ucunu içinden geçirin. Yarım tur çevirin ve resimde gösterildiği gibi birbirine yapıştırın.

Şimdi tüm şerit boyunca kesmeye devam edin. Ne aldın?

1858 yılında ortaya çıkan gizemli ve ünlü Moebius şeridi sanatçıları ve heykeltıraşları endişelendiriyordu. Möbius şeridini tasvir eden birçok çizim ünlü Hollandalı sanatçı Maurice Escher tarafından bırakılmıştır (makaleye bakınız).

Mobius şeridinin bir dizi çeşidi heykellerde bulunabilir.

Bir taşla romantizm. Mobius Sling. Moskova'daki Mobius şeridindeki S. Karpikov Anıtı. A. Nalich

Paradoks ve mükemmellik. A. Etkalo Merit Rasmussen'in geometrik heykelleri

Minsk. Yakub Kolas'ın adını taşıyan Merkezi Bilim Kütüphanesi yakınındaki meydan.

Moebius şeridi fikrini kullanan mimari çözümler:

Astana, Kazakistan'da inanılmaz yeni kütüphane projesi

Tablo kompozisyonları:

Mobius şeridi şeklinde mobilyalar bile var

Mobius şeridi şeklindeki takılar:

İnsan DNA sarmalının kendisinin de Mobius şeridinin bir parçası olduğuna dair bir hipotez var.

Geri dönüşümün uluslararası sembolü Möbius şerididir.

Möbius şeridi aynı zamanda bilim kurguda da yinelenen bir temadır.örneğin Arthur C. Clarke'ın "Karanlığın Duvarı" adlı öyküsünde. Bazen bilim kurgu hikayeleri (teorik fizikçileri takip ederek), Evrenimizin bir tür genelleştirilmiş Möbius şeridi olabileceğini öne sürüyor. Ayrıca Ural yazar Vladislav Krapivin'in "Büyük Kristalin derinliklerinde" döngüsünde (örneğin, "Çapa Alanında Karakol. Bir Masal") Mobius yüzüğünden sürekli olarak bahsedilmektedir. A. J. Deitch'in "Mobius Şeridi" hikayesinde, Boston metrosu, güzergahı o kadar kafa karıştırıcı hale gelen, bir Mobius şeridine dönüşen ve trenlerin hatta kaybolmasına neden olan yeni bir hat inşa ediyor. Hikâyeden yola çıkılarak Gustavo Camira'nın yönettiği bilim kurgu filmi “Mobius” çekildi. Ayrıca M. Clifton'ın "On the Mobius Strip" adlı öyküsünde de Mobius şeridi fikri kullanılıyor. Modern Rus yazar Alexei A. Shepelev'in "Echo" (St. Petersburg: Amphora, 2003) adlı romanının gidişatı Möbius şeridiyle karşılaştırılır. Ek açıklamadan kitaba: ""Yankı", Mobius halkasının edebi bir benzetmesidir: iki hikaye -"erkekler" ve "kızlar"- iç içe geçmiştir, birbirine akar, ancak kesişmez."