Beskonačna Mobiusova traka. Majstorska klasa "iznenađenja Mobiusove trake"

Općinska obrazovna ustanova "Budagovskaya secondary school" Tema: Izvršio: Shalygin Ivan učenik 5. razreda Voditelj: Kalash G.V. Profesor matematike Budagovo 2012. 1 EPIGRAF: Ti i ja živimo u trodimenzionalnom prostoru, šetamo se, igramo se i idemo u školu. Pa ne bi škodilo da prvo istražimo sve o svemiru. Sve oko nas nam je poznato i drago. Sluškinja nam je otvorila put u znanost. Vrpca je ušivena s greškom, ali je dobila značenje za potomke. Tako je Mobius pronašao radni list za znanost, stekao vlastiti dio iz matematike. Granu koja proučava površine tijela od tada svi zovu topologija. Kako da muha na traci ne skrene sa puta? Jao, ona se suočava s beskrajnim putem. 2 Sadržaj I. Möbiusova traka 1. Sadržaj……………………………………………………………………………………………………………… ..3 2. Uvod.…………………………………………………………………………………………………………………… .4 3. Povijesna pozadina……………………………………………………………………………………..5 4. Topologija – “Geometrija položaja”… .....…… …………………………………………………….5 II. Istraživački pokusi s papirom: 1. Bojanje površine Möbiusove trake………………………………………7 2. Rezanje Möbiusove trake: ……………………………………… ……………………………… ………….8 a) duž lista na dva jednaka dijela……………………………………..……….9 b) tijekom operacije uvijanja trake…………………………………………10 c) nekoliko traka zalijepljenih pod pravim kutom…………………………11 d) nekoliko rezova duž lista u 3; 4; 5; dijelovi.…………………….12 3. Na temelju rezultata pokusa ispunite tablice….………………..12 4. Izvedite zaključke na temelju rezultata istraživanja…… ……………………… ………………………………………………………12 5. Trikovi s Möbiusovom trakom…………………………………… …………………… ……..13 6. Pokusi s užetom i prslukom. ……………………………………………14 III. Praktična primjena Möbiusove trake ……………………………………………………….15 IV Zaključak …………………………………………………… ……………………………………………………………….16 V. Popis literature…………………………………………………… …..17 VI. Dodatak…………………………………………………………………………………………………………….18 Praktična nastava matematičkog kluba o proučavanje Mobiusove trake u 5. razredu (fotografije i video zapis Ivan Shalygin)………………………………………………………………………………… …………………………………………………… 17 3 Uvod Opće karakteristike projekta: 1. Projekt “Geometrija u prostoru” je dugoročan (predviđen za drugi i treći kvartal) ) 2. Projekt je edukativni, istraživački. (Istraživanje i eksperiment, sistematizacija i praktična primjena). 3. Skupni projekt (Rad na sastancima kluba s učenicima 5. razreda) 4. Prošireni projekt. (Provodi se unutar škole s naknadnom obranom dijela projekta u obliku sažetka i izlaganjem na regionalnom skupu „Iza stranica udžbenika matematike“) 5. Na temelju rezultata dijela projekta na temu: “Tajne Möbiusove trake” pripremljen je sažetak, a govorio je voditelj IV grupe Ivan Shalygin. Svrha rada: 1. Upoznati novu granu matematike – “Topologiju”, s njezinim osnovnim pojmovima i zadacima, provoditi istraživanja u praktične svrhe i sami dolaziti do otkrića. 2. Stvoriti prvu predodžbu o Möbiusovoj traci. Upoznati se s osnovnim tehnikama matematičkog pristupa svijetu oko sebe. 3. Naučiti provoditi istraživanje, opisivati ​​rezultate, popunjavati tablice i izraditi dobivene crteže i crteže modela dobivenih tijekom eksperimenta. 4. Naučite donositi obrazložene zaključke, generirati ideje za rješavanje situacija i primijeniti znanje za rješavanje novih zadataka i problema. 5. Provesti praktične pokuse. 6. Utvrditi vezu razmatranog gradiva sa životom. 4 Povijesna pozadina August Ferdinand Möbius (1790.-1868.) Vani je padala kiša. Popušio sam lulu i popio šalicu svoje omiljene kave s mlijekom. Pogled s prozora bio je depresivan. Na stolici je sjedio čovjek. Razmišljanja su bila različita, ali nekako mi ništa posebno nije padalo na pamet. U zraku se samo osjećao da će baš ovaj dan donijeti slavu i ovjekovječiti ime Augusta Ferdinanda Mobiusa. Na pragu sobe pojavila se njegova voljena žena. Istina, nije bila dobro raspoložena. Točnije, ljutila se što je za miroljubivu kuću Mobius to gotovo jednako nevjerojatno kao vidjeti paradu planeta tri puta godišnje, te je kategorički zahtijevala hitan otkaz sluškinji koja je toliko osrednja da nije u stanju ni pravilno zašiti vrpcu. Mrko pogledavši zlosretnu vrpcu, profesor je uzviknuo: "O da, Marta! Ipak je ovo jednostrana prstenasta površina!" Otvorena površina dobila je matematičko opravdanje i ime u čast matematičara i astronoma koji ju je opisao - “Poziciona geometrija” Od trenutka kada je njemački matematičar August Ferdinand Möbius otkrio postojanje nevjerojatnog jednostranog lista papira, a. Počela se razvijati cijela nova grana matematike, nazvana topologija, koja uglavnom proučava površine tijela, a ona pronalazi matematički odnos između objekata za koje se čini da nisu međusobno povezani. Na primjer, s topološke točke gledišta Makaroni i šalica su povezani po tome što svaki od ovih predmeta ima rupu, iako su u svim drugim aspektima postavljeni temelji nove znanosti - topologije. profesor na Sveučilištu u Göttingenu, koji je, gotovo u isto vrijeme kada i njegov kolega iz Leipziga, predložio kao prvi primjer jednostrane plohe već poznatu, nekoć uvijenu, plohu. Ova znanost je mlada i zato nestašna. Ne može se drugačije govoriti o pravilima igre koja su u njemu prihvaćena. Topolog ima pravo savijati, uvijati, sabijati i rastezati bilo koju figuru - raditi s njom što god hoće, samo je ne trgati ili lijepiti. I u isto vrijeme, on će vjerovati da se ništa nije dogodilo, da su sva njegova svojstva ostala nepromijenjena. Za njega nisu bitne ni udaljenosti, ni kutovi, ni površine. Što ga zanima? Najopćenitija svojstva figura koja se ne mijenjaju pod nikakvim transformacijama, osim ako se ne dogodi katastrofa - "eksplozija" figure, stoga se ponekad topologija naziva "geometrijom kontinuiteta". Poznata je i pod nazivom “gumena geometrija”, jer topologa ništa ne košta postaviti sve svoje figure na površinu dječje lopte za napuhavanje i neprestano mijenjati njen oblik, pazeći samo da lopta ne pukne da će se u isto vrijeme ravne linije, na primjer, pretvoriti u krivulje, za topologa je duboko svejedno koja neobična svojstva likova proučava topologija do sada, govorili smo samo o jednom svojstvu? jednostranost onda, za razliku od dvostranih površina (na primjer, kugla i cilindar), završite na mjestu koje je obrnuto u odnosu na izvornu ako pomičete krug duž ove vrpce istovremeno u smjeru kazaljke na satu, onda će u početnom položaju smjer prelaska postati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Na primjer, kontinuitet je još jedno topološko svojstvo. Usporedite li dijagram avionskih ruta i geografsku kartu, tada ćete se uvjeriti da je Aeroflotova ljestvica daleko od konzistentne - na primjer, Sverdlovsk se može nalaziti na pola puta od Moskve do Vladivostoka. Pa ipak postoji nešto zajedničko između geografske karte. Moskva je doista povezana sa Sverdlovskom, a Sverdlovsk s Vladivostokom. I, prema tome, topolog može deformirati kartu kako god želi, sve dok točke koje su prethodno bile susjedne ostaju jedna do druge i dalje. To znači da se s topološke točke gledišta krug ne razlikuje od kvadrata ili trokuta, jer ih je lako transformirati jedan u drugi bez prekidanja kontinuiteta. Na Möbiusovoj traci se svaka točka može spojiti s bilo kojom drugom točkom, a pritom mrav na Escherovoj gravuri nikada neće morati puzati preko ruba “vrpce”. Nema prekida – potpuni kontinuitet . Za izradu Möbiusove trake potrebno je uzeti prilično duguljastu papirnatu traku i spojiti krajeve trake, prvo okrećući jedan od njih. Da ste bili na površini Möbiusove trake, mogli biste zauvijek hodati po njoj. Sada ćemo razmotriti nekoliko eksperimenata s površinama i rupama napravljenim od papirnatih traka. Najprikladnije je koristiti trake duljine približno 30–40 cm i širine 3 cm. Prije svega, zalijepimo dva prstena - jedan jednostavan i jedan upleteni. 7 Prstenovi su, naravno, vrlo slični; ali što se događa ako povučete neprekinutu liniju duž jedne strane prstena? Kada je Möbius to učinio na uvijenom prstenu, otkrio je da linija ide niz obje strane, iako njegova olovka nije napuštala papir. Znači li to da naš prsten ima samo jednu stranu? Sada isprobajte svoje prstenje. 1. U potpunosti obojite samo jednu stranu svakog od njih. Koliko površina imaju? Pokušajte slikati jednu stranu Mobiusove trake, dio po dio, bez prelaska preko ruba trake. I što? Oslikat ćeš cijelu Mobiusovu traku! Što je tako zanimljivo na ovom listu? I činjenica da Möbiusova traka ima samo jednu stranu. Navikli smo da svaka površina s kojom imamo posla (list papira, zračnica bicikla ili odbojkaške lopte) ima dvije strane. 8 2. Stavite točku na jednu stranu svakog prstena i povucite neprekinutu liniju duž nje dok ponovno ne dođete do označene točke. Koliko bridova ima Möbiusova traka? Iznenađenje broj dva: Möbiusova traka ima samo jednu granicu i ne sastoji se od dva dijela, kao obični prsten. Kolute isprobajmo tako što ćemo ih uzdužno prerezati na dva dijela. Sada ćete imati dva odvojena prstena. Ali što je to? Umjesto dva prstena dobivate jedan! Štoviše, veći je i tanji od originalnog prstena. Rezultate daljnjeg uvijanja i rezanja zabilježite u tablicu. Nekoliko obrata. 9 Što se događa ako napravite puni okret? Koliko bridova ima dobiveni prsten? Koliko površina? Što se događa ako ga prepolovite po dužini? Idemo malo istražiti okrećući ga za pola kruga. Puni okret, jedan i pol okret. Opišimo svojstva i napravimo skice rezultata. Möbiusova traka ima zanimljiva svojstva. Ako traku pokušate prerezati na pola po liniji jednako udaljenoj od rubova, umjesto dvije Möbiusove trake, dobit ćete jednu dugačku dvostranu (dva puta više uvijenu od Möbiusove trake) traku, koju mađioničari nazivaju "afganistanska traka". Ako sada ovu traku prerežete po sredini, dobit ćete dvije namotane jednu na drugu. Druge zanimljive kombinacije traka mogu se izvesti iz Möbiusovih traka s dva ili više poluzavoja u sebi. Na primjer, ako vrpcu prerežete s tri poluokreta, dobit ćete vrpcu uvijenu u trolisni čvor. Rezanje Möbiusove trake s dodatnim zavojima proizvodi neočekivane figure koje se nazivaju paradromski prstenovi. Zabilježimo rezultate uvijanja i rezanja u tablicu istraživanja. Istraživačka tablica br. 1 s jednom vrpcom br. broj poluokreta 1 0 rezultat jednog presjecanja na pola po dužini dva prstena Svojstva 2 1 jedan prsten dvostruko duži prsten 3 2 dva prstena prstenovi jednake duljine međusobno spojeni 4 3 Jedan prsten Prsten dvostruko duži povezani čvor Prstenovi dvostruko uži od iste duljine 10 Zaključci skice: Što se događa ako ga dvaput zavrnete prije lijepljenja trake (tj. 4 poluokreta od 360 stupnjeva)? Takva će površina već biti dvostrana. A da biste obojali cijeli prsten, traku ćete svakako morati okrenuti na drugu stranu. Svojstva ove površine nisu ništa manje nevjerojatna. Uostalom, ako ga uzdužno prerežete po sredini, dobit ćete dva identična prstena, ali opet spojena. Režući svaki od njih ponovno po sredini, naći ćete četiri prstena povezana jedan s drugim. Sada možete trgati prstenove jedan po jedan - i svaki put će preostali ostati međusobno povezani. Ako ne uzmete papirnu traku, već traku bilo koje tkanine, okrenite jedan od krajeva trake tri puna kruga, tj. 540 stupnjeva, zašijte oba kraja. Zatim uzmite škare i pažljivo prerežite traku po sredini, pa ponovno prerežite, dobit ćete tri identična prstena međusobno spojena. Nekoliko vrpci Bit ćemo zaprepašteni što se događa kada prerežemo dupli prsten. Pripremite dva prstena: jedan obični i jedan Möbiusov. Zalijepite ih pod pravim kutom, a zatim obje prerežite po dužini. Istraživačka tablica br. 2 br. Broj prstenova 1 Dva prstena smještena okomito jedan na drugi. Rezultat rezanja duž svake trake Tri prstena Svojstva Dva prstena iste duljine, treći je dvostruko duži. Dva prstena kraće duljine isprepletena su u paru s trećim prstenom 11 Skica Dodatno pitanje Nekoliko rezova Prerežete li vrpcu na udaljenosti 1/3 njezine širine od ruba, dobit ćete dva prstena. Ali! Jedan veliki i jedan mali povezan s njim. Istraživačka tablica br. 3 br. Broj rezova 1 Tri dijela Rezultat rezanja duž svake vrpce Dva prstena Svojstva Jedan prsten iste duljine, drugi duplo duži međusobno su povezani 12 Skica 2 Četiri dijela Dva prstena Oba prstena su dva puta dugačak kao rezani, međusobno povezani prijatelj. Jedan od prstenova isprepleo je drugi 3 Pet dijelova Tri prstena Dva dvostruko duža prstena međusobno su isprepletena i povezana u par pomoću trećeg kratkog prstena izvorne duljine. Zaključci: Ako također izrežete mali prsten uzduž, u sredini, tada ćete imati vrlo „zamršena“ dva prstena - identične veličine, ali različite širine. Fizičari tvrde da se svi optički zakoni temelje na svojstvima Mobiusove trake, posebno na refleksiji u. zrcalo je neka vrsta prijenosa u vremenu, kratkotrajnog, uostalom u trajanju od stotinki, vidimo pred sobom... tako je, zrcalo našeg dvojnika, Mobiusova traka mađioničari su ga naširoko koristili u posljednjih 75 godina. Ako pokušate izrezati traku duž linije koja je jednako udaljena od rubova, dobit ćete jednu dugačku dvostranu (dvostruko uvijenu od Möbiusove trake). ) traka koju mađioničari nazivaju "afganistanska traka." Na temelju našeg istraživanja s prstenovima od upletenih traka, možemo izvoditi niz trikova. Evo jednog od njih: gledatelju predstavljamo tri velika papirnata prstena, od kojih je svaki izrađen lijepljenjem krajeva papirnate trake. (Studijska tablica 1). Gledatelj škarama reže prstenove duž vrpce po sredini dok se ne vrati na početnu točku. Kao rezultat toga, prvi će se pretvoriti u dva odvojena prstena. Od drugog je jedan prsten, ali duplo duži, a od trećeg su dva prstena međusobno spojena. 13 Provučete li kroz prsten triput upletenu vrpcu, zalijepite krajeve, a zatim je uzdužno prerežete po sredini, dobit ćete jedan veliki prsten s čvorom vezanim oko prstena. Slično tome, za mađioničarske trikove možete koristiti tablice istraživanja 2 i 3. Eksperimentirajte s užetom i prslukom. Trikovi s Möbiusovom trakom dio su topoloških trikova, koji zahtijevaju fleksibilne materijale koji se ne mijenjaju pod kontinuiranim transformacijama: rastezanje i sabijanje. Za izvođenje pokusa potrebni su vam šal, prsluk i užad. Prvo postavljamo problemsku situaciju. Uz pomoć eksperimenata tražimo izlaz iz ove situacije. Pokus 1. Problem vezanja čvorova. Kako zavezati čvor na šalu, a da mu ne pustite krajeve? Može se i ovako. Stavite šal na stol. Prekrižite ruke na prsima. Nastavljajući ih držati u tom položaju, sagnite se preko stola i svakom rukom primite po jedan kraj šala. Nakon što se ruke razdvoje, čvor će se sam formirati na sredini šala. Koristeći se topološkom terminologijom, možemo reći da gledateljeve ruke, njegovo tijelo i marama tvore zatvorenu krivulju u obliku „trolisnog” čvora, čvor se pomiče samo od ruku do šala .Okrećući prsluk naopako, morate stisnuti prste iza sebe, a da ne odvajate ruke vlasnika , morate otkopčati prsluk i povući ga preko leđa vlasnika, ali, naravno, neće se skinuti, jer sada morate uzeti lijevu polovicu prsluka i, pokušavajući da ne zgužvate prsluk, gurnite ga što je više moguće u desni otvor za ruku i gurnite ga u isti otvor za ruku iu istom smjeru .. Prsluk se može izvesti bez otkopčavanja prsluka preuzak. Stoga se prsluk može zamijeniti džemperom. Manipulacije s džemperom se točno ponavljaju. Ovaj pokus možete demonstrirati na sebi, za što trebate spojiti ruke užetom od 14, ostavljajući 40 centimetara između njih kako biste osigurali slobodu kretanja, i spojite ruke ispred. Pokus 3. Raspetljavanje prstenova užeta. Dva sudionika su vezana za ruke konopcima. Dakle, ruke i užad tvore dva isprepletena prstena. Potrebno je razmotati bez odvezivanja užadi. Odgovor na ovaj eksperiment leži u činjenici da sudionici imaju još po dvije petlje na rukama. Potrebno je provući jedno uže kroz jednu od omči na rukama drugog užeta i skinuti omču kroz ruku. III. Praktična primjena Möbiusove trake Njeno najnevjerojatnije svojstvo je da je jednostrana, ne može se bojati u dvije boje, a kukci koji gmižu po njoj obilazit će obje strane ne prelazeći rub. Ovo svojstvo našlo je praktičnu primjenu: patentirani su mnogi uređaji, na primjer, remen za oštrenje, vrpca s tintom za uređaje za ispis, pogon remena i druga tehnička rješenja. Jednostrano svojstvo Möbiusove trake korišteno je u tehnologiji: ako je remen remenskog pogona izrađen u obliku Möbiusove trake, tada se njegova površina troši dvostruko sporije od površine običnog prstena. Ovo omogućuje značajne uštede koje ima Möbiusova traka koja se može koristiti u odjevnoj industriji. Opružni mehanizam dječjih igračaka najčešće zakaže jer djeca često pokušavaju namotati oprugu kada je već uvijena. do granice. Prstenasta opruga može postati "vječni stroj" za dječje igračke. Drugi primjer moguće upotrebe novog mehanizma je prorezni zatvarač foto ili filmske kamere (ne digitalne). U tradicionalnim izvedbama, nakon otpuštanja zatvarača, potrebno je zatvoriti utor zastora zatvarača, a zatim ga samo vratiti u prvobitni položaj, uz istovremeno nabijanje opruge. U protivnom će okvir zasvijetliti kada prorez zatvarača prođe u suprotnom smjeru. Uređaj zatvarača je prilično složen. Korištenje Möbiusove trake pojednostavilo je dizajn, povećalo njegovu pouzdanost, trajnost i performanse. U mnogim matričnim pisačima, tintna vrpca također ima oblik Mobiusove trake kako bi se povećao njezin resurs. Zahvaljujući Mobiusovoj traci nastali su mnogi različiti izumi. Na primjer, stvorene su posebne kasete za magnetofone, koje su omogućile slušanje kaseta s "obje strane" bez mijenjanja mjesta. Koliko je ljudi bilo oduševljeno vožnjama "Roller Coastera". Ova je igračka bila vrlo popularna ne samo kod matematičara. Vjerojatno nije uzalud što se sada na ulazu u Muzej povijesti i tehnologije u Washingtonu nalazi spomenik Mobiusovoj traci - čelična vrpca uvijena u pola kruga polako se okreće na postolju. Cijeli niz skulptura u obliku Mobiusove trake izradio je kipar Max Bill. Dosta različitih crteža ostavio je Maurits Escher. IV. Zaključak Unatoč činjenici da je Mobius svoje nevjerojatno otkriće napravio davno, ono je i danas vrlo popularno. Jednostavna traka papira, samo jednom uvijena i zatim zalijepljena u prsten, odmah se pretvara u tajanstvenu Mobiusovu traku i poprima nevjerojatna svojstva. Takva svojstva površina i prostora proučava posebna grana matematike – Topologija. Ova znanost je toliko složena da se ne uči u školi. Samo u institutima. Ali tko zna, možda s vremenom postanemo poznati topolozi i dođemo do prekrasnih otkrića. A možda će neka zamršena površina dobiti ime po nama. Radeći s momcima iz moje grupe na projektu "Tajne Mobiusove trake", naučio sam puno novih i zanimljivih stvari: naučio sam pronaći literaturu o temi koju je predložio učitelj u knjižnici, čitati i odabrati potreban materijal ; koristiti članke na Internetu, odabrati potrebne ilustracije za sažetak, izraditi tablice i ispuniti ih; istražiti “Möbiusovu traku” (napraviti potreban broj zavoja, zalijepiti i izrezati); fotografirajte dobivene prstenove i unesite ih u tablicu; napraviti prezentaciju i filmske pokuse; govoriti na konferenciji i izvoditi mađioničarske trikove. Sve je to dosta komplicirano i dugotrajno, ali vrlo zanimljivo. 16 “Topologija, najmlađa i najmoćnija grana geometrije, jasno pokazuje plodan utjecaj proturječja između intuicije i logike” R. Courant. 17 Literatura 1. Gardner M “Matematička čuda i misterije”, Moskva, “Science” 1986 2. Gromov A.S. “Izvannastavni zadaci iz matematike 8-9. razreda” Moskva, Obrazovanje 3. N. Langdon, Ch. Snape “Na putu s matematikom” Moskva, Pedagogija, 1987. 4. Popularni znanstveni časopis “Kvant” 1975. br. 7, 1977. br. 7 . 5. Savin A.P. " enciklopedijski rječnik mladi matematičar”, M, Prosveshchenie, 1985 6. Yakusheva G.M. “Velika enciklopedija za školarce. Matematika”, Moskva, “WORD”, Eksmo, 2006. 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Dodatak Laboratorijski rad “Möbiusova traka” na satu matematičkog kruga 19 Pokušajte obojiti jednu stranu Möbiusove trake - dio po dio, bez prelaska preko rub trake. I što? Oslikat ćeš cijelu Mobiusovu traku! 20 Stavite točku na jednu stranu svakog prstena i povucite neprekinutu crtu duž nje dok se ne vratite na označenu točku. 21 Testirajmo prstenove prerezivanjem na dva dijela po dužini. 22 Sada ćete imati dva odvojena prstena. Ali što je to? Umjesto dva prstena dobivate jedan! Štoviše, veći je i tanji od originalnog prstena. 23 Zapišimo rezultate uvijanja i rezanja u tablicu istraživanja. 24 Oba prstena su dvostruko duža od rezanog, međusobno se spajaju. Jedan od prstenova isprepleten je s drugim 25 Jedan prsten iste duljine, drugi duplo duži međusobno su spojeni 26 Rezanjem Möbiusove trake dodatnim zavojima dobivaju se neočekivane figure koje se nazivaju paradromski prstenovi. 27

Postoje znanstvene spoznaje i fenomeni koji unose misterij i tajanstvenost u svakodnevicu naših života. Na njih se u potpunosti odnosi Mobiusova traka.

Moderna matematika na divan način opisuje sva svoja svojstva i značajke pomoću formula. Ali obični ljudi, koji se malo razumiju u toponimiju i druge geometrijske mudrosti, gotovo svakodnevno susreću predmete napravljene na njegovu sliku i priliku, a da toga i ne znaju.

Što je? Tko je otvorio i kada?

Möbiusova traka, također nazvana petlja, površina ili list, predmet je proučavanja u matematičkoj disciplini topologije, koja proučava opća svojstva figura koja su sačuvana pod takvim kontinuiranim transformacijama kao što su uvijanje, rastezanje, kompresija, savijanje i druga ne vezano za povredu integriteta . Nevjerojatna i jedinstvena značajka takve trake je da ima samo jednu stranu i rub i ni na koji način nije povezana s njezinim položajem u prostoru. Mobiusova traka je topološka, ​​odnosno kontinuirani objekt s najjednostavnijom jednostranom plohom s granicom u običnom euklidskom prostoru (3-dimenzionalnom), gdje je moguće iz jedne točke takve plohe doći u bilo koju drugu bez prelaska rubovi.

Tako složen objekt kao što je Möbiusova traka otkriven je na prilično neobičan način. Prije svega napominjemo da su ga dva matematičara, potpuno nepovezana u svojim istraživanjima, otkrila u isto vrijeme – 1858. godine. Još jedan zanimljiva činjenica je da su oba ova znanstvenika u različito vrijeme bili učenici istog velikog matematičara - Johanna Carla Friedricha Gaussa. Dakle, do 1858. godine vjerovalo se da svaka površina mora imati dvije strane. Međutim, Johann Benedict Listing i August Ferdinand Möbius otkrili su geometrijski objekt koji je imao samo jednu stranu i opisali njegova svojstva. Traka je dobila ime po Möbiusu, ali topolozi smatraju Listinga i njegovo djelo "Preliminarne studije u topologiji" utemeljiteljem "geometrije gume".

Svojstva

Möbiusova traka ima sljedeća svojstva koja se ne mijenjaju kada se sabija, reže po dužini ili gužva:

1. Prisutnost jedne strane. A. Moebius je u svom djelu "O volumenu poliedara" opisao geometrijsku plohu, kasnije nazvanu u njegovu čast, sa samo jednom stranom. Vrlo je jednostavno to provjeriti: uzmite Mobiusovu traku ili traku i pokušajte obojiti unutrašnjost jednom bojom, a vanjštinu drugom. Nije važno na kojem mjestu iu kojem smjeru je započeto bojanje, cijela će figura biti obojena istom bojom.

2. Kontinuitet se izražava u činjenici da se bilo koja točka ove geometrijske figure može povezati s bilo kojom drugom točkom bez prelaska granica Mobiusove plohe.

3. Povezanost, odnosno dvodimenzionalnost, leži u tome što pri rezanju trake po dužini iz nje neće ispasti nekoliko različitih oblika, a ona ostaje čvrsta.

4. Nedostaje mu tako važno svojstvo kao što je orijentacija. To znači da će se osoba koja slijedi ovu figuru vratiti na početak svog puta, ali samo u zrcalnoj slici sebe. Dakle, beskonačna Mobiusova traka može dovesti do vječnog putovanja.

5. Poseban kromatski broj koji pokazuje najveći mogući broj područja na Mobiusovoj površini koja se mogu stvoriti tako da bilo koje od njih ima zajedničku granicu sa svim ostalima. Möbiusova traka ima kromatski broj 6, ali papirni prsten ima kromatski broj 5.

Znanstvena uporaba

Danas se Mobiusova traka i njezina svojstva široko koriste u znanosti, služeći kao osnova za konstrukciju novih hipoteza i teorija, provođenje istraživanja i eksperimenata te stvaranje novih mehanizama i uređaja.

Dakle, postoji hipoteza prema kojoj je Svemir ogromna Mobiusova petlja. O tome posredno svjedoči i Einsteinova teorija relativnosti, prema kojoj se čak i brod koji leti ravno može vratiti u istu vremensku i prostornu točku odakle je krenuo.

Druga teorija gleda na DNK kao na dio Moebiusove površine, što objašnjava poteškoće u čitanju i dešifriranju genetskog koda. Između ostalog, takva struktura daje logično objašnjenje biološke smrti - spirala zatvorena u sebe dovodi do samouništenja objekta.

Prema fizičarima, mnogi optički zakoni temelje se na svojstvima Mobiusove trake. Tako je, na primjer, odraz u zrcalu poseban prijenos u vremenu i čovjek ispred sebe vidi svoje zrcalo dvostruko.

Primjena u praksi

Mobiusova traka se već dugo koristi u raznim industrijama. Veliki izumitelj Nikola Tesla početkom stoljeća izumio je Mobiusov otpornik, koji se sastoji od dvije vodljive površine upletene u 1800, koji se može oduprijeti protoku električne struje bez stvaranja elektromagnetskih smetnji.

Na temelju istraživanja površine Mobiusove trake i njezinih svojstava stvoreni su mnogi uređaji i instrumenti. Njegov se oblik ponavlja u izradi traka pokretne trake i tintnih vrpci u uređajima za ispis, abrazivnih traka za oštrenje alata i automatskih prijenosa. To vam omogućuje značajno povećanje radnog vijeka, jer se trošenje događa ravnomjernije.

Ne tako davno, nevjerojatna svojstva Mobiusove trake omogućila su stvaranje opruge koja, za razliku od konvencionalnih opruga koje pucaju u suprotnom smjeru, ne mijenja smjer rada. Koristi se u stabilizatoru pogona upravljača, osiguravajući povratak upravljača u prvobitni položaj.

Osim toga, znak Möbiusove trake koristi se u raznim markama i logotipima. Najpoznatiji od njih je međunarodni simbol recikliranja. Stavlja se na ambalažu robe koja se može reciklirati ili je napravljena od recikliranih resursa.

Izvor kreativne inspiracije

Möbiusova traka i njezina svojstva bila su osnova za rad mnogih umjetnika, pisaca, kipara i filmaša. Najpoznatiji umjetnik koji je koristio vrpcu i njene značajke u djelima kao što su “Mobiusova traka II (Crveni mravi)”, “Jahači” i “Čvorovi” je Maurits Cornelis Escher.

Möbiusove trake, ili površine minimalne energije kako se još nazivaju, postale su izvor inspiracije za matematičke umjetnike i kipare kao što su Brent Collins i Max Bill. Najpoznatiji spomenik Mobiusovoj traci postavljen je na ulazu u Washingtonski muzej povijesti i tehnologije.

Ruski umjetnici također nisu ostali daleko od ove teme i stvorili su vlastita djela. Skulpture Mobiusove trake postavljene su u Moskvi i Jekaterinburgu.

Književnost i topologija

Neobična svojstva Möbiusovih površina inspirirala su mnoge pisce da stvaraju fantastična i nadrealna djela. Mobiusova petlja igra važnu ulogu u romanu R. Zelaznyja "Vrata u pijesku" i služi kao sredstvo kretanja kroz prostor i vrijeme za glavnog lika romana "Nekroskop" B. Lumleya

Također se pojavljuje u pričama “The Wall of Darkness” Arthura C. Clarkea, “On the Mobius Strip” M. Cliftona i “The Mobius Strip” A. J. Deitcha. Na temelju potonjeg redatelj Gustavo Mosquera snimio je fantastičan film “Mobius”.

Mi to radimo sami, svojim rukama!

Ako vas zanima Mobiusova traka, kako napraviti njen model, mala uputa će vam reći:

1. Za izradu modela trebat će vam:

List običnog papira;

Škare;

Vladar.

2. Izrežite traku s lista papira tako da je njegova širina 5-6 puta manja od duljine.

3. Položite dobivenu papirnatu traku na ravnu površinu. Jedan kraj držimo rukom, a drugi okrenemo za 1800 tako da se traka uvrne i pogrešna strana postane prednja strana.

4. Zalijepite krajeve upletene trake zajedno kao što je prikazano na slici.

Mobiusova traka je spremna.

5. Uzmite olovku ili marker i počnite crtati put po sredini trake. Ako ste sve napravili kako treba, vratit ćete se na istu točku gdje ste započeli crtanje linije.

Kako biste dobili vizualnu potvrdu da je Möbiusova traka jednostrani objekt, pokušajte olovkom ili perom prebojati jednu od njezinih strana. Nakon nekog vremena vidjet ćete da ste ga potpuno oslikali

Budarina Svetlana

Arndt Anastazija

U radu se govori o povijesti otkrića Möbiusove trake i pokusima koji se mogu izvesti s Möbiusovom trakom.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Općinska proračunska obrazovna ustanova

"Vesennenskaja srednja škola"

Božićna čitanja

Nominacija: “Egzaktne znanosti”

Tajne Mobiusove trake

Arndt Anastazija

Učenik 5. razreda

Nadglednik:

Arndt Irina

Vasiljevna,

Profesor matematike

S. Proljeće

godina 2014

Uvod. ………………………………………………………..…..…..… Sa. 3

Poglavlje I. Povijesna pozadina. .....………………………………....... Sa. 3-4

Poglavlje II. Möbiusova traka. ………………………………………….....…….S. 4-9 (prikaz, ostalo).

§1. Izrada Mobiusove trake. ………………………………........…..S. 4

§2. Eksperimenti s Möbiusovom trakom. ……..………………………........S. 4-6

§3. Primjena Mobiusove trake u životu. ……………………………..… str.7-9

Zaključak. ………………………………………..…………………........S. 9

Književnost. ……………………………………………………………..….S. 10

Uvod.

Svatko od nas ima intuitivnu ideju o tome što je "površina". Površina lista papira, površina zidova učionice, površina zemaljske kugle svima je poznata. Može li postojati nešto neočekivano, pa čak i tajanstveno u tako običnom konceptu? Moebiusov uzorak pokazuje da može. Mnogi ljudi znaju što je Möbiusova traka (traka). Za one koji još nisu upoznati s nevjerojatnim radnim listom koji spada u “matematička iznenađenja”, pozivamo vas da istražujete s nama i uronite u svijetli osjećaj znanja.

Jako me zanimala ova tema. Odlučio sam produbiti svoje znanje u ovoj oblasti.

Svrha mog rada: istražiti Mobiusovu traku kao jedan od objekata topologije.

Ciljevi: - prikupiti sve moguće informacije o Mobiusovoj traci;

Eksperimentalno istražiti svojstva Mobiusove trake;

Pokažite korištenje Mobiusove trake u životu.

Poglavlje I. Povijesna pozadina.

Tajanstvena i slavnaMöbiusovu traku neovisno su otkrili njemački matematičari August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing 1858. godine.

August Ferdinand Mobius(1790-1868), rođen u gradu Schulpforteu, njemački geometar, učenik “kralja matematičara” slavnog K.F. Gauss. Mobius je izvorno bio astronom. Od 1816. profesor na Sveučilištu u Leipzigu. Počeo je provoditi neovisna astronomska promatranja na zvjezdarnici u Pleisenburgu 1818. godine. postao njegov direktor. Radeći u tihoj osami, Möbius je došao do mnogih zanimljivih otkrića; postao je jedan od najvećih geometara 19. stoljeća. U dobi od 68 godina uspio je doći do otkrića nevjerojatne ljepote. Ovo je otkriće jednostranih ploha, od kojih je jedna Möbiusova traka. To je bio najznačajniji događaj u njegovom životu!

Kažu da je Mobiusu pomogla otvoriti svoj “list” sluškinja koja je krivo zašila krajeve vrpce.

Česti su slučajevi u povijesti kada jedna ideja pada na pamet nekoliko izumitelja u isto vrijeme. To se dogodilo s Mobiusovom trakom.

Iste godine, 1858., ideja o vrpci došla je drugom znanstveniku, učeniku K.F. Gauss -Johann Benedict Listing(1808.-1882.), njemački matematičar i fizičar, profesor na Sveučilištu u Göttingenu. Dao je ime znanosti koja proučava kontinuitet - topologija.

Topologija proučava svojstva geometrijskih oblika koji se ne mijenjaju ako se savijaju, istežu ili sabijaju. Prvenstvo u otkriću topološkog objekta - trake - pripalo je Augustu Moebiusu.

Što je pogodilo ova dva njemačka profesora? I činjenica da Mobiusova traka ima samo jednu stranu.

Poglavlje II. Möbiusova traka.

§1. Izrada Mobiusove trake.

Möbiusovu traku vrlo je jednostavno napraviti, držati u rukama, rezati, eksperimentirati na neki drugi način. Proučavanje Möbiusove trake dobar je uvod u elemente topologije.

Möbiusova traka jedno je od onih matematičkih iznenađenja. Da biste napravili Möbiusovu traku, uzmite pravokutnu traku ABB 1 A 1 , zavrnite ga za 180 stupnjeva i zalijepite suprotne stranice AB i A 1 u 1 , tj. tako da se točke A i B poklapaju 1 i točke A 1 i B.

Dobivamo upleteni prsten.I pitamo se: koliko strana ima ovaj komad papira? Dva, kao bilo tko drugi? Ne. Ima JEDNU stranu. Ne vjeruješ mi?

§2. Pokusi s Möbiusovom trakom.

Kako bih proučio njegova svojstva, proveo sam nekoliko eksperimenata, koje sam podijelio u dvije skupine:

Grupa I.

Iskustvo br. 1 . Počeo sam slikati Mobiusovu traku ne okrećući je.

Proizlaziti. Möbiusova traka bila je potpuno prefarbana.

“Ako netko odluči obojiti samo jednu stranu površine Möbiusove trake, neka smjesta cijelu uroni u kantu s bojom”, pišu Richard Courant i Herbert Robins u izvrsnoj knjizi “Što je matematika?”

Iskustvo br. 2.

Zamislite da mjenjač oblika putuje po Mobiusovoj traci i nakon što prijeđe cijeli put, vratit će se na početnu točku. Istovremeno će obilaziti obje površine - vanjsku i unutarnju, bez presijecanja rubova.Ovo to dokazujea Möbiusova traka je jednostrana ploha Vratio se na početnu točku. Ali u kojem obliku! Obrnuto!

A da bi se vratio na start u normalan položaj, treba napraviti još jedan "okrugli list". Möbiusova traka ima samo jednu stranu!

Grupa II pokusi vezani uz rezanje Mobiusove trake.

Proveo sam niz eksperimenata čiji su rezultati uneseni u tablicu.

Ovo su neočekivane stvari koje se dogode jednostavnoj traci papira ako je zalijepite zajedno u Möbiusovu traku.

§3. Primjena Mobiusove trake u životu.

Radeći ovaj rad, došao sam do zaključka da iako je Möbiusova traka otkrivena još u 19. stoljeću, ona je relevantna iu 20. iu 20. stoljeću.

Nevjerojatna svojstva Möbiusove trake korištena su i koriste se u tehnologiji, fizici i optici. Inspirirao je stvaralaštvo mnogih književnika i umjetnika.

Zanimljivo je da Mobiusova traka čak i sada uzbuđuje umove izumitelja. U mnogim zemljama svijeta patentirani su nevjerojatni mehanizmi koji se temelje na njemu.

Möbiusova traka u tehnici i fizici

Na magnetskim vrpcama koje vrti Mobius, volumen snimljenih informacija se udvostručuje isvira dvostruko duže.Stvorene su posebne kasete koje su omogućile njihovo slušanje s “obje strane” bez mijenjanja mjesta.

Ova traka izvrsno funkcionira za vezivanje i nošenje tereta u lukama. Transportne trake za premještanje vrućih materijala, ako se okrenu prema Möbiusu, naizmjenično će se “odmarati” od vrućih materijala. Kao rezultat toga, hlađenje remena se poboljšava, a remen se ravnomjerno troši, što znači da će trajati duže.To omogućuje značajne uštede.

Möbiusova traka u prirodi i životu.

Postoji hipoteza da je sama DNK spirala također fragment Mobiusove trake i da je to jedini razlog zašto je genetski kod tako teško dešifrirati i percipirati. Štoviše, takva struktura sasvim logično objašnjava razlog za početak biološke smrti - spirala se zatvara u sebe i dolazi do samouništenja.

Möbiusova traka u umjetnosti.

Tajanstvena Mobiusova traka oduvijek je uzbuđivala umove pisaca, umjetnika i kipara. Möbiusova traka poslužila je kao inspiracija za skulpture i grafiku. Escher je bio jedan od umjetnika koji ga je posebno volio i posvetio je nekoliko svojih litografija ovom matematičkom objektu. Jedna poznata prikazuje mrave kako gmižu po površini Möbiusove trake.

Nadaleko su poznati i njegovi crteži s prikazom Möbiusove trake.

Vrlo su zanimljivi spomenici posvećeni Möbiusovoj traci.

Ulice mnogih gradova ukrašene su skulpturama na temu Mobiusove trake.

Zlatari su svoja djela posvetili Möbiusovoj traci.

Möbiusova traka prikazana je na raznim amblemima, a prikazana je i na znački Fakulteta mehanike i matematike Moskovskog sveučilišta.

Međunarodni simbol za recikliranje je i Möbiusova traka.

Osim toga, po Möbiusu je nazvan krater na suprotnoj strani Mjeseca.

Arhitekti koriste Möbiusovu traku na inovativan način. Tako, primjerice, izgleda nevjerojatan projekt nove knjižnice u Astani (Kazahstan).

Zaključak.

Möbiusova traka ima mnogo zanimljivih svojstava.

1. Möbiusova traka ima jedan rub.
2. Möbiusova traka ima jednu stranu.
3. Möbiusova traka je topološki objekt. Kao i svaka topološka figura, Möbiusova traka ne mijenja svoja svojstva sve dok se ne izreže, potrga ili njezini pojedinačni dijelovi ne zalijepe.
4. Jedan rub i jedna strana Mobiusove trake nisu povezani s njezinim položajem u prostoru, niti su povezani s pojmovima udaljenosti.

Möbiusova traka je prva otkrivena jednostrana ploha. Kasnije su matematičari otkrili cijeli niz jednostranih površina. U ovom radu pokušao sam opisati svojstva lijepe plohe - Mobiusove trake, prikazati njezino značenje u praksi, te dokazati da je Mobiusova traka topološka figura.

Unatoč činjenici da je Möbius davno došao do svog nevjerojatnog otkrića, ono je i danas vrlo popularno:

• Matematičari su podvrgnuti daljnjim istraživanjima;
• za školarce je vrlo zanimljivo eksperimentirati s Möbiusovom trakom;
• u tehnologiji – otkrivaju se novi načini korištenja Möbiusove trake.

Nisam iscrpio eksperimente s Möbiusovom trakom. Oni su beskrajni, zanimljivi i ovise o vlastitom strpljenju. U budućnosti planiram nastaviti istraživati ​​ovaj nepredvidivi list.

Književnost.

1. Voloshinov A.V., “Matematika i umjetnost” M.: “Prosvjetljenje”, 1996.
2. List "Matematika" prilog izdavačke kuće "Prvi rujan", broj 14 1999., broj 24 2006.
3. Gardner M. “Matematička čuda i misterije”, “Znanost” 1978.
4. Gusev V.A., Kombarov A.P. “Matematičko zagrijavanje” M.: “Prosvjetljenje”, 1986.
5. Resursi internetske stranice:http://ru.wikipedia.
6. Kordemsky B. A. Topološki eksperimenti "uradi sam". Kvant, 1974, br.3.

Jedan od najjednostavnijih i ujedno najsloženijih i najčudnijih objekata je Möbiusova traka. Unatoč svoj originalnosti ove figure, lako je možete napraviti sami i provesti sve eksperimente koji su opisani u ovom članku.

Möbiusova traka je najjednostavnija neorijentirana ploha koja je jednostrana u trodimenzionalnom prostoru. Često se naziva Möbiusova površina i klasificira se kao kontinuirani (topološki) objekt.

Prema legendi, njemački astronom, matematičar i mehaničar August Ferdinand Möbius otkrio je ovaj predmet nakon što je sluškinja koja je radila u njegovoj kući sašila vrpcu od tkanine u prsten, nemarno okrećući jedan njen kraj. Vidjevši rezultat, umjesto da grdi nesretnu djevojku, Mobius je rekao: “O da, Marta! Djevojka nije toliko glupa. Uostalom, ovo je jednostrana prstenasta površina. Vrpca nema poleđinu!”

August Ferdinand Mobius.

Proučivši svojstva vrpce, Mobius je napisao članak o njoj i poslao ga na Parišku akademiju znanosti, ali nikada nije doživio njegovu objavu. Njegovi su materijali objavljeni nakon matematičareve smrti, a neobična topološka površina nazvana je u njegovu čast.

Izrada Möbiusove trake vrlo je jednostavna: uzmite traku ABCD i presavijte je tako da se točke A i D spajaju s B i C.

Izrada Mobiusove trake. Rezultat je naizgled obična figura koja ima vrlo zanimljiva svojstva.

Neobična svojstva Möbiusove trake

Unilateralizam
Svi smo navikli na činjenicu da površine svih predmeta koje susrećemo u stvarnom svijetu(na primjer, komad papira) dvije strane. Ali površina Möbiusove trake je jednostrana. To se lako može provjeriti slikanjem preko trake. Ako uzmete olovku i počnete bojati traku s bilo kojeg mjesta, a da je ne okrenete, tada će traka na kraju biti potpuno prefarbana.

Ako netko pokuša slikati samo jednu stranu površine Möbiusove trake, onda je bolje da je odmah uronite u kantu s bojom, površina Möbiusove trake je kontinuirana

To se lako može provjeriti na sljedeći način: ako stavite točku bilo gdje na vrpcu, tada se ona može povezati s bilo kojom drugom točkom na površini vrpce bez prelaska ruba. Dakle, ispada da je površina ovog objekta kontinuirana.

Möbiusova traka nema orijentaciju
Kad biste uspjeli proći kroz cijelu Mobiusovu traku, onda biste se u trenutku kada se vratite na početnu točku putovanja pretvorili u zrcalnu sliku sebe.

Ako se traka prereže uzdužno po sredini, onda u ovom slučaju dobijete samo jednu traku, iako logika kaže da bi ih trebale biti dvije, a ako je prerežete, odmaknuvši se od ruba za trećinu širine trakom, dobit ćete dva prstena povezana zajedno - mali i veliki. Nakon što smo napravili uzdužni presjek malog prstena u sredini, na kraju ćemo dobiti dva isprepletena prstena iste veličine, ali različite širine.

Praktična uporaba Möbiusove trake
Već ima dosta izuma temeljenih na svojstvima ovog neobičnog topološkog objekta. Na primjer, vrpca s tintom u matričnim pisačima, uvijena u Mobiusovu traku, traje mnogo duže, jer se u ovom slučaju trošenje događa ravnomjerno po cijeloj površini. A lopatice kuhinjske miješalice ili miješalice za beton uvijene u obliku ovog geometrijskog objekta smanjuju troškove energije za 20%, a ujedno se poboljšava kvaliteta dobivene mješavine.

Postoji hipoteza da je DNK polimer, koji je dvostruka spirala, fragment Mobiusove trake i da je zbog toga DNK kod tako teško dešifrirati i razumjeti.

Neki fizičari kažu da se optički efekti temelje na istim svojstvima koja ima ovaj paradoksalni objekt, pa je naš odraz u zrcalu poseban slučaj jednog od svojstava Mobiusove trake.

Još jedna hipoteza povezana s ovim matematičkim objektom je da bi sam naš Svemir mogao biti zatvoren u takvu traku i da ima svoju vlastitu zrcalnu kopiju. Jer ako se Mobiusovom trakom uvijek krećemo u jednom smjeru, onda ćemo se na kraju naći na početnoj točki našeg puta, ali u vlastitom zrcalu.

Tajanstvena bočica Klein
Na temelju Möbiusove trake postoji još jedna nevjerojatna figura - Kleinova boca. To je boca s rupom na dnu. Grlo boce je izduženo i zakrivljeno, prelazi u jednu od stijenki same boce.

Klein boca

Takav se lik ne može reproducirati u običnom trodimenzionalnom prostoru, jer grlić ne smije dodirivati ​​stijenku boce i treba biti povezan s rupom na njezinu dnu. To rezultira površinom koja ima samo jednu stranu. Kleinova boca i Möbiusova traka i danas privlače pozornost znanstvenika i pisaca.

A. Deitch je u jednoj od svojih priča napisao kako su se jednog dana u njujorškoj podzemnoj željeznici ukrstile tračnice te je cijela podzemna željeznica počela sličiti na Mobiusovu traku, a električni vlakovi koji su vozili po tračnicama počeli su nestajati, a pojavili su se tek nakon nekoliko mjeseci kasnije.

U knjizi The Giveaway Game Alexandera Mitcha likovi se nalaze u prostoru koji podsjeća na Klein bocu.

Svijet nam i dalje ostaje golema misterija, a tko zna koje će još hirove svemirskih znanstvenika otkriti u bliskoj budućnosti.

Zamislimo površinu i mrava kako sjedi na njoj. Hoće li mrav moći otpuzati na drugu stranu površine – slikovito rečeno, na njenu donju stranu – a da se ne popne preko ruba? Naravno da ne!

Prvi primjer jednostrane plohe, do kojeg mrav može dopuzati bez da se popne preko ruba, dao je Mobius 1858. godine.

M. Escher "Mobiusova traka II" "Tranzicija" kroz Mobiusovu traku u drugu dimenziju

August Ferdinand Möbius (1790.-1868.) - učenik "kralja" matematičara Gaussa. Möbius je izvorno bio astronom, poput Gaussa i mnogih drugih kojima matematika duguje svoj razvoj. U to vrijeme matematika nije bila podržana, a astronomija je davala dovoljno novca da se o njoj ne razmišlja, a ostavljala je vremena za vlastita razmišljanja. A Möbius je postao jedan od najvećih geometara 19. stoljeća.

U dobi od 68 godina Möbius je došao do otkrića nevjerojatne ljepote. Ovo je otkriće jednostranih ploha, od kojih je jedna Möbiusova traka (ili traka). Möbius je došao na ideju vrpce kada je promatrao sluškinju koja je pogrešno nosila šal oko vrata.

M. Escher "Möbiusova traka"

Napravimo Mobiusovu traku: uzmite papirnatu traku - dugi uski pravokutnik ABCD (prikladne dimenzije: duljina 30 cm, širina 3 cm). Zakrenuvši jedan kraj trake za 180º, zalijepite prsten od njega (točke A i C, B i D).

Model Möbiusove trake može se jednostavno izraditi od trake papira okretanjem jednog kraja trake za pola kruga i spajanjem s drugim krajem u zatvoreni oblik. Ako počnete crtati liniju olovkom na površini trake, linija će ići duboko u lik i proći ispod početne točke linije, kao da ide na "drugu stranu" trake. Ako nastavite liniju, ona će se vratiti na početnu točku. U ovom slučaju, duljina nacrtane linije bit će dvostruko veća od duljine trake papira. Ovaj primjer pokazuje da Möbiusova traka ima samo jednu stranu i jednu granicu.

U euklidskom prostoru, zapravo, postoje dvije vrste poluokrenutih Mobiusovih traka: jedna okrenuta u smjeru kazaljke na satu, druga u suprotnom smjeru.

Mobiusova traka će vas iznenaditi ako je pokušate prerezati. Izrežite list duž središnje linije. Što si dobio? Umjesto da se raspadne na dva dijela, traka se razvija u dugu, spojenu, zatvorenu traku. Traku dobivenu nakon prvog rezanja ponovno prerežite po središnjoj liniji. Prije posljednjeg stiska škara pokušajte pogoditi što će se dogoditi?

Da bismo dobili Möbiusovu traku, okrenuli smo traku papira za 180º, pola kruga. Sada zakrenite traku za 360º, puni krug. Zalijepite ga zajedno, a zatim ga izrežite duž središnje linije. Teško je predvidjeti kakav će rezultat biti.

Pokušajmo sada napraviti takav model: izrežite prorez na ABCD traci i provucite jedan kraj kroz njega. Okrenite ga za pola kruga i zalijepite zajedno kao što je prikazano na slici.

Sada nastavite rez duž cijele vrpce. Što si dobio?

Tajanstvena i poznata Mobiusova traka, koja se pojavila 1858., zabrinula je umjetnike i kipare. Mnoge crteže koji prikazuju Möbiusovu traku ostavio je poznati nizozemski umjetnik Maurice Escher (vidi članak).

U kiparstvu se može naći cijeli niz varijanti Mobiusove trake.

Romansa s kamenom. Mobiusova praćka. S. Karpikov Spomenik Mobiusovoj traci u Moskvi. A. Nalich

Paradoks i savršenstvo. A. Etkalo Geometrijske skulpture Merit Rasmussen

Minsk. Trg u blizini Središnje znanstvene knjižnice nazvane po Yakubu Kolasu.

Arhitektonska rješenja po ideji Mobiusove trake:

Nevjerojatan novi projekt knjižnice u Astani, Kazahstan

Sastav stola:

Postoji čak i namještaj u obliku Mobiusove trake

Nakit u obliku Mobiusove trake:

Postoji hipoteza da je sama ljudska DNK spirala također fragment Mobiusove trake.

Međunarodni simbol za recikliranje je Möbiusova traka.

Möbiusova traka također je stalna tema u znanstvenoj fantastici., primjerice u priči Arthura C. Clarkea "Zid tame". Ponekad znanstvenofantastične priče (na tragu teoretskih fizičara) sugeriraju da bi naš svemir mogao biti neka vrsta generalizirane Möbiusove trake. Također, Mobiusov prsten stalno se spominje u djelima uralskog pisca Vladislava Krapivina, ciklusu "U dubinama Velikog kristala" (na primjer, "Predstraža na sidrenom polju. Priča"). U priči "Mobiusova traka" A. J. Deitcha, bostonska podzemna željeznica gradi novu liniju čija ruta postaje toliko zbunjujuća da postaje Mobiusova traka, zbog čega vlakovi nestaju s pruge. Po priči je snimljen znanstvenofantastični film “Mobius” redatelja Gustava Mosquere. Također, ideja Mobiusove trake koristi se u priči M. Cliftona "Na Mobiusovoj traci". Tijek romana suvremenog ruskog pisca Alekseja A. Šepeljeva “Eho” (Sankt Peterburg: Amfora, 2003.) uspoređuje se s Möbiusovom trakom. Iz napomene za knjigu: ““Eho” je književna analogija Mobiusovog prstena: dvije priče – “dječaci” i “djevojčice” – isprepletene su, teku jedna u drugu, ali se ne sijeku.”