Matematička analiza.

Radionica.

Za sveučilišne studente u specijalnosti:

"Državna i općinska uprava"

T.Z. Pavlova

Kolpaševo 2008

Poglavlje 1: Uvod u analizu

1.1 Funkcije. Opća svojstva

1.2 Teorija granica

1.3 Kontinuitet funkcije

2.1 Definicija derivacije

2.4 Istraživanje funkcija

2.4.1 Dizajn studije pune funkcije

2.4.2 Primjeri proučavanja funkcija

2.4.3. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

2.5 L'Hopitalovo pravilo

3.1 Neodređeni integral

3.1.1 Definicije i svojstva

3.1.2 Tablica integrala

3.1.3 Osnovne metode integracije

3.2 Određeni integral

3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala

Poglavlje 4. Funkcije više varijabli

4.1 Osnovni pojmovi

4.2 Granice i kontinuitet funkcija više varijabli

4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune

Poglavlje 5. Klasične metode optimizacije

6.1 Funkcija korisnosti.

6.2 Linije ravnodušnosti

6.3 Određeni proračun

Domaći ispitni zadaci

1.1 Funkcije. Opća svojstva

Numerička funkcija je definirana na skupu D realnih brojeva ako je svakoj vrijednosti varijable pridružena neka dobro definirana realna vrijednost varijable y, gdje je D domena definiranja funkcije.

Analitički prikaz funkcije:

izričito: ;

implicitno: ;

u parametarskom obliku:

različite formule u području definicije:

Svojstva.

Parna funkcija: . Na primjer, funkcija je parna, jer .

Čudna funkcija: . Na primjer, funkcija je neparna, jer .

Periodična funkcija: , gdje je T period funkcije, . Na primjer, trigonometrijske funkcije.

Monotona funkcija. Ako je za bilo koju domenu definicije funkcija rastuća, onda je ona padajuća. Na primjer, - raste, i - smanjuje.

Ograničena funkcija. Ako postoji broj M takav da je . Na primjer, funkcije i , jer .

Primjer 1. Odredite domenu definicije funkcija.

+ 2 – 3 +

1.2 Teorija granica

Definicija 1. Limit funkcije na je broj b ako se za bilo koji (je proizvoljno mali pozitivan broj) može pronaći vrijednost argumenta počevši od koje nejednakost vrijedi.

Oznaka: .

Definicija 2. Limit funkcije at je broj b ako za bilo koji (- proizvoljno mali pozitivan broj) postoji pozitivan broj takav da je za sve vrijednosti x koje zadovoljavaju nejednakost nejednakost zadovoljena.

Oznaka: .

Definicija 3. Za funkciju se kaže da je infinitezimalna za ili ako ili.

Svojstva.

1. Algebarski zbroj konačnog broja infinitezimalnih veličina je infinitezimalna veličina.

2. Umnožak infinitezimalne veličine i ograničene funkcije (konstante, druge infinitezimalne veličine) je infinitezimalna veličina.

3. Kvocijent dijeljenja infinitezimalne veličine s funkcijom čija je granica različita od nule je infinitezimalna veličina.

Definicija 4. Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako .

Svojstva.

1. Umnožak beskonačno velike veličine i funkcije čija je granica različita od nule je beskonačno velika veličina.

2. Zbroj beskonačno velike veličine i ograničene funkcije je beskonačno velika veličina.

3. Kvocijent dijeljenja beskonačno velike veličine s funkcijom koja ima limit je beskonačno velika veličina.

Teorema.(Odnos između infinitezimalne količine i beskonačno velike količine.) Ako je funkcija infinitezimalna u (), tada je funkcija beskonačno velika veličina u (). I obrnuto, ako je funkcija beskonačno velika na (), tada je funkcija infinitezimalna vrijednost na ().

Granični teoremi.

1. Funkcija ne može imati više od jednog limita.

2. Limes algebarskog zbroja više funkcija jednak je algebarskom zbroju limesa tih funkcija:

3. Limes umnoška više funkcija jednak je umnošku limesa tih funkcija:

4. Granica stupnja jednaka je stupnju granice:

5. Granica količnika jednaka je kvocijentu granica ako postoji granica djelitelja:

6. Prva divna granica.

Posljedice:

7. Drugo značajno ograničenje:

Posljedice:

Ekvivalentne infinitezimalne količine na:

Izračun granica.

Pri izračunavanju limesa koriste se osnovni teoremi o limesima, svojstvima neprekidnih funkcija i pravila koja proizlaze iz tih teorema i svojstava.

Pravilo 1. Da biste pronašli granicu u točki funkcije koja je kontinuirana u ovoj točki, trebate zamijeniti njezinu graničnu vrijednost u funkciju ispod znaka granice umjesto argumenta x.

Primjer 2. Pronađite

Pravilo 2. Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka nuli, a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka .

Primjer 3. Pronađite

Pravilo 3. Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka , a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka nuli.

Primjer 4. Nađi

Često zamjena granične vrijednosti argumenta rezultira nedefiniranim izrazima obrasca

Pronalaženje limita funkcije u tim slučajevima naziva se otkrivanje nesigurnosti. Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je transformirati ovaj izraz prije pomicanja do granice. Za otkrivanje nesigurnosti koriste se različite tehnike.

Pravilo 4. Neodređenost tipa otkriva se transformacijom podgranične funkcije, tako da u brojniku i nazivniku odaberemo faktor čija je granica nula, te smanjivanjem razlomka za nju nađemo granicu kvocijenta. Da biste to učinili, brojnik i nazivnik rastavljaju se na faktore ili množe s izrazima koji su konjugirani s brojnikom i nazivnikom.

Pravilo 5. Ako sublimit izraz sadrži trigonometrijske funkcije, tada se prva značajna granica koristi za rješavanje nesigurnosti oblika.

Pravilo 6. Da bi se otkrila nesigurnost oblika na , brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se podijeliti s najvećom potencijom argumenta, a zatim se mora pronaći granica kvocijenta.

Mogući rezultati:

1) tražena granica jednaka je omjeru koeficijenata najvećih potencija argumenta brojnika i nazivnika, ako su te potencije jednake;

2) granica je beskonačno jednaka ako je stupanj argumenta brojnika veći od stupnja argumenta nazivnika;

3) granica je jednaka nuli ako je stupanj argumenta brojnika manji od stupnja argumenta nazivnika.

jer

Potence su jednake, što znači da je granica jednaka omjeru koeficijenata viših potencija, tj. .

Stupanj brojnika i nazivnika je 1, što znači da je granica

Stupanj brojnika je 1, nazivnika je , što znači da je granica 0.

Pravilo 7. Da bi se otkrila nesigurnost oblika, brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se pomnožiti s konjugiranim izrazom.

Primjer 10.

Pravilo 8. Da bi se otkrila nesigurnost vrste, koristi se druga izvanredna granica i njezine posljedice.

Može se dokazati da

Primjer 11.

Primjer 12.

Primjer 13.

Pravilo 9. Kod otkrivanja nesigurnosti čija podgranična funkcija sadrži b.m.v., potrebno je zamijeniti granice tih b.m.v. do granica b.m. ekvivalentno njima.

Primjer 14.

Primjer 15.

Pravilo 10. L'Hopitalovo pravilo (vidi 2.6).

1.3 Kontinuitet funkcije

Funkcija je kontinuirana u točki ako granica funkcije, dok argument teži a, postoji i jednaka je vrijednosti funkcije u toj točki.

Ekvivalentni uvjeti:

1. ;

Klasifikacija točaka prekida:

1. vrsta rupture

Uklonjivi – jednostrana ograničenja postoje i jednaka su;

Nesvodljiv (skok) – jednostrane granice nisu jednake;

diskontinuitet druge vrste: limit funkcije u točki ne postoji.

Primjer 16. Utvrditi prirodu diskontinuiteta funkcije u točki ili dokazati neprekidnost funkcije u ovoj točki.

na funkcija nije definirana, stoga u ovoj točki nije kontinuirana. Jer i sukladno tome, , tada je točka uklonjivog diskontinuiteta prve vrste.

U usporedbi sa zadatkom (a), funkcija je dalje definirana u točki tako da , što znači da je ova funkcija kontinuirana u ovoj točki.

Kada funkcija nije definirana;

Jer jedna od jednostranih limesa je beskonačna, onda je to točka diskontinuiteta druge vrste.

Poglavlje 2. Diferencijalni račun

2.1 Definicija derivacije

Definicija derivata

Derivacija ili dane funkcije je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta argumenta, kada priraštaj argumenta teži nuli:

Ili .

Mehaničko značenje derivacije je brzina promjene funkcije. Geometrijsko značenje derivacije je tangens kuta nagiba tangente na graf funkcije:

2.2 Osnovna pravila razlikovanja

Ime	Funkcija	Izvedenica
Množenje konstantnim faktorom
Algebarski zbroj dviju funkcija
Proizvod dvije funkcije
Kvocijent dviju funkcija
Složena funkcija

Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija

Ne.	Naziv funkcije	Funkcija i njezina derivacija
1	konstantno
2	funkcija snage posebni slučajevi
3	eksponencijalna funkcija poseban slučaj
4	logaritamska funkcija poseban slučaj
5	trigonometrijske funkcije
6	obrnuti trigonometrijski

2.3 Izvodnice višeg reda

Derivacija funkcije drugog reda

Derivacija funkcije drugog reda:

Primjer 18.

a) Nađite derivaciju drugog reda funkcije.

Riješenje. Najprije pronađimo izvod prvog reda .

Iz derivacije prvog reda, uzmimo opet derivaciju.

Primjer 19. Naći derivaciju trećeg reda funkcije.

2.4 Istraživanje funkcija

2.4.1 Plan studije pune funkcije:

Puni funkcionalni plan studija:

1. Osnovna istraživanja:

Naći domenu definicije i raspon vrijednosti;

Upoznati opća svojstva: parnost (neparnost), periodičnost;

Pronađite točke sjecišta s koordinatnim osima;

Odredite područja konstantnog predznaka.

2. Asimptote:

Pronađite vertikalne asimptote ako je ;

Odredite kose asimptote: .

Ako bilo koji broj, onda – horizontalne asimptote.

3. Istraživanje pomoću:

Pronađite kritične točke, one. točke na kojima ili ne postoji;

Odredite intervale povećanja, one. intervali na kojima funkcija opada – ;

Odredite ekstreme: točke kroz koje se predznak mijenja od “+” do “–” su točke maksimuma, od “–” do “+” su točke minimuma.

4. Istraživanje pomoću:

Pronađite točke u kojima ili ne postoji;

Pronađite područja konveksnosti, tj. intervali na kojima i konkavnosti – ;

Pronađite točke infleksije, tj. točke pri prolasku kroz koje se mijenja predznak.

1. Pojedinačni elementi studije ucrtavaju se na grafikon postupno, kako su pronađeni.

2. Ako se pojave poteškoće s izgradnjom grafa funkcije, tada se vrijednosti funkcije nalaze u nekim dodatnim točkama.

3. Svrha studije je opisati prirodu ponašanja funkcije. Stoga se ne gradi točan graf, već njegova aproksimacija, na kojoj su jasno označeni pronađeni elementi (ekstremumi, točke infleksije, asimptote itd.).

4. Nije potrebno strogo se pridržavati zadanog plana; Važno je ne propustiti karakteristične elemente ponašanja funkcije.

2.4.2 Primjeri istraživanja funkcija:

2) Neparna funkcija:

3) Asimptote.

– vertikalne asimptote, jer

Kosa asimptota.

– točka infleksije.

2) Neparna funkcija:

3) Asimptote: nema okomitih asimptota.

Koso:

– kose asimptote

4) – povećava se funkcija.

– točka infleksije.

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Opća funkcija

3) Asimptote

– nema kosih asimptota

– horizontalna asimptota pri

– točka infleksije

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Asimptote.

– vertikalna asimptota, jer

– nema kosih asimptota

, – horizontalna asimptota

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Asimptote

– vertikalna asimptota na , jer

– nema kosih asimptota

, – horizontalna asimptota

3) – funkcija opada na svakom od intervala.

Shematski grafikon ove funkcije:

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu, možete koristiti sljedeći dijagram:

1. Nađi izvod funkcije.

2. Pronađite kritične točke funkcije u kojoj ili ne postoji.

3. Odredite vrijednost funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju zadanom segmentu i na njegovim krajevima te od njih odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Odredi najmanju i najveću vrijednost funkcije na zadanom segmentu.

25. između

2) – kritične točke

26. u intervalu.

Derivacija ne postoji za , ali 1 ne pripada ovom intervalu. Funkcija opada na intervalu, što znači da ne postoji najveća vrijednost, već je najmanja vrijednost .

2.5 L'Hopitalovo pravilo

Teorema. Granica omjera dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija jednaka je granici omjera njihovih izvodnica (konačnih ili beskonačnih), ako potonje postoje u navedenom smislu.

Oni. kada otkrivate nesigurnosti tipa ili možete koristiti formulu:

27.

Poglavlje 3. Integralni račun

3.1 Neodređeni integral

3.1.1 Definicije i svojstva

Definicija 1. Funkcija se naziva antiderivacija za if .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih antiderivacija te funkcije.

Oznaka: , gdje je c proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivacija neodređenog integrala:

2. Diferencijal neodređenog integrala:

3. Neodređeni integral diferencijala:

4. Neodređeni integral zbroja (razlike) dviju funkcija:

5. Proširenje konstantnog faktora preko predznaka neodređenog integrala:

3.1.2 Tablica integrala

.1.3 Osnovne metode integracije

1. Korištenje svojstava neodređenog integrala.

Primjer 29.

2. Podnošenje predznaka razlike.

Primjer 30.

3. Metoda zamjene varijable:

a) zamjena u integralu

Gdje - funkcija koju je lakše integrirati od originalne; - funkcija inverzna funkciji; - antiderivat funkcije.

Primjer 31.

b) zamjena u integralu oblika:

Primjer 32.

Primjer 33.

4. Način integracije po dijelovima:

Primjer 34.

Primjer 35.

Uzmimo posebno integral

Vratimo se našem integralu:

3.2 Određeni integral

3.2.1 Pojam određenog integrala i njegova svojstva

Definicija. Neka je dana kontinuirana funkcija na nekom intervalu. Napravimo graf toga.

Lik omeđen gore krivuljom, lijevo i desno ravnim crtama, a dolje odsječkom apscisne osi između točaka a i b naziva se krivocrtni trapez.

S – površina – krivolinijski trapez.

Podijelite interval točkicama i dobijete:

Kumulativni zbroj:

Definicija. Određeni integral je limes integralnog zbroja.

Svojstva određenog integrala:

1. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:

2. Integral algebarskog zbroja dviju funkcija jednak je algebarskom zbroju integrala tih funkcija:

3. Ako se segment integracije podijeli na dijelove, tada je integral na cijelom segmentu jednak zbroju integrala za svaki od rezultirajućih dijelova, tj. za bilo koje a, b, c:

4. Ako je na segmentu , onda

5. Granice integracije se mogu mijenjati, a predznak integrala se mijenja:

7. Integral u točki jednak je 0:

9. (“o sredini”) Neka je y = f(x) funkcija integrabilna na . Zatim , gdje je , f(c) – prosječna vrijednost f(x) na:

10. Newton-Leibnizova formula

gdje je F(x) antiderivacija od f(x).

3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala.

1. Izravna integracija

Primjer 35.

2. Promjena varijabli pod određenim predznakom integrala .

Primjer 36.

2. Integracija po dijelovima u određenom integralu .

Primjer 37.

3.2.3 Primjene određenog integrala

Karakteristično	Vrsta funkcije	Formula
	u kartezijevim koordinatama
područje krivuljastog sektora	u polarnim koordinatama
površina zakrivljenog trapeza	u parametarskom obliku
dužina luka	u kartezijevim koordinatama
dužina luka	u polarnim koordinatama
dužina luka	u parametarskom obliku
volumen tijela rotacija	u kartezijevim koordinatama
obujam tijela sa zadanim poprečnim poprečni presjek

Primjer 38. Izračunajte površinu figure omeđene linijama: i .

Riješenje: Nađimo sjecišta grafova ovih funkcija. Da bismo to učinili, izjednačimo funkcije i riješimo jednadžbu

Dakle, točke presjeka i .

Pronađite površinu figure pomoću formule

U našem slučaju

Odgovor: Površina je (kvadratne jedinice).

4.1 Osnovni pojmovi

Definicija. Ako se svakom paru međusobno neovisnih brojeva iz određenog skupa, prema nekom pravilu, dodijeli jedna ili više vrijednosti varijable z, tada se varijabla z naziva funkcija dviju varijabli.

Definicija. Područje definiranja funkcije z je skup parova za koje funkcija z postoji.

Područje definiranja funkcije dviju varijabli je određeni skup točaka na Oxy koordinatnoj ravnini. Z koordinata se naziva aplikatom, a zatim se sama funkcija prikazuje kao ploha u prostoru E 3 . Na primjer:

Primjer 39. Odredi domenu funkcije.

Izraz s desne strane ima smisla samo kada . To znači da je područje definicije ove funkcije skup svih točaka koje leže unutar i na granici kružnice polumjera R sa središtem u ishodištu.

Područje definiranja ove funkcije su sve točke ravnine, osim točaka ravnih linija, tj. koordinatne osi.

Definicija. Pravci funkcionalne razine su skup krivulja na koordinatnoj ravnini, opisanih jednadžbama oblika.

Primjer 40. Pronađite crte razine funkcije .

Riješenje. Linije razine dane funkcije su skup krivulja na ravnini, opisanih jednadžbom

Posljednja jednadžba opisuje obitelj krugova sa središtem u točki O 1 (1, 1) polumjera . Okretna ploha (paraboloid) opisana ovom funkcijom postaje “strmija” kako se udaljava od osi, što je dano jednadžbama x = 1, y = 1. (Sl. 4)

4.2 Granice i kontinuitet funkcija više varijabli.

1. Granice.

Definicija. Broj A naziva se limitom funkcije dok točka teži točki ako za svaki proizvoljno mali broj postoji broj takav da je za bilo koju točku uvjet istinit, a uvjet je također istinit . Zapiši: .

Primjer 41. Pronađite granice:

oni. granica ovisi o , što znači da ne postoji.

2. Kontinuitet.

Definicija. Neka točka pripada domeni definiranosti funkcije. Tada se funkcija naziva kontinuiranom u točki ako

(1)

a točka teži točki na proizvoljan način.

Ako u bilo kojoj točki uvjet (1) nije zadovoljen, tada se ta točka naziva prijelomna točka funkcije. To može biti u sljedećim slučajevima:

1) Funkcija nije definirana u točki .

2) Nema ograničenja.

3) Ova granica postoji, ali nije jednaka .

Primjer 42. Odredite je li zadana funkcija kontinuirana u točki ako je .

Kužim to To znači da je ova funkcija kontinuirana u točki.

granica ovisi o k, tj. ne postoji u ovoj točki, što znači da funkcija ima diskontinuitet u ovoj točki.

4.3. Derivacije i diferencijali funkcija više varijabli

4.3.1 Parcijalne derivacije prvog reda

Parcijalna derivacija funkcije s obzirom na argument x obična je derivacija funkcije jedne varijable x za fiksnu vrijednost varijable y i označava se:

Parcijalna derivacija funkcije s obzirom na argument y obična je derivacija funkcije jedne varijable y za fiksnu vrijednost varijable x i označava se:

Primjer 43. Odredi parcijalne derivacije funkcija.

4.3.2 Parcijalne derivacije drugog reda

Parcijalne derivacije drugog reda su parcijalne derivacije parcijalnih derivacija prvog reda. Za funkciju dviju varijabli oblika moguće su četiri vrste parcijalnih derivacija drugog reda:

Parcijalne derivacije drugog reda, kod kojih se diferencijacija provodi s obzirom na različite varijable, nazivaju se mješovite derivacije. Mješovite derivacije drugog reda dvaput diferencijabilne funkcije su jednake.

Primjer 44. Odredi parcijalne derivacije drugog reda.

4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune.

Definicija. Diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli nalazi se formulom

Primjer 45. Nađi potpuni diferencijal za funkciju.

Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije:

Za male inkremente argumenata x i y, funkcija dobiva inkrement približno jednak dz, tj. .

Formula za pronalaženje približne vrijednosti funkcije u točki ako je poznata njezina točna vrijednost u točki:

Primjer 46. Nađi .

Riješenje. Neka,

Zatim koristimo formulu

Odgovor. .

Primjer 47. Izračunaj približno .

Riješenje. Razmotrimo funkciju. Imamo

Primjer 48. Izračunaj približno .

Riješenje. Razmotrite funkciju . Dobivamo:

Odgovor. .

4.3.4 Diferenciranje implicitne funkcije

Definicija. Funkcija se naziva implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije rješiva u odnosu na z.

Parcijalne derivacije takve funkcije nalaze se formulama:

Primjer 49: Odredite parcijalne derivacije funkcije z dane jednadžbom .

Riješenje.

Definicija. Funkcija se naziva implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije rješiva u odnosu na y.

Derivat takve funkcije nalazi se formulom:

Primjer 50. Odredite izvodnice ovih funkcija.

5.1 Lokalni ekstrem funkcije više varijabli

Definicija 1. Funkcija ima maksimum u točki if

Definicija 2. Funkcija ima minimum u točki if za sve točke dovoljno blizu točke i različite od nje.

Nužan uvjet za ekstrem. Ako funkcija dosegne ekstrem u nekoj točki, tada parcijalne derivacije funkcije nestaju ili ne postoje u toj točki.

Točke u kojima parcijalne derivacije nestaju ili ne postoje nazivaju se kritičnim.

Dovoljan znak ekstrema. Neka je funkcija definirana u nekoj okolini kritične točke i neka ima kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda u ovoj točki

1) ima lokalni maksimum u točki ako je i ;

2) ima lokalni minimum u točki ako je i ;

3) nema lokalni ekstrem u točki ako ;

Shema istraživanja ekstremuma funkcije dviju varijabli.

1. Odredite parcijalne derivacije funkcija: i.

2. Riješite sustav jednadžbi i pronađite kritične točke funkcije.

3. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda, izračunajte njihove vrijednosti u kritičnim točkama i, koristeći dovoljan uvjet, izvucite zaključak o prisutnosti ekstrema.

4. Pronađite ekstreme funkcije.

Primjer 51. Pronađite ekstreme funkcije .

1) Nađimo parcijalne derivacije.

2) Riješimo sustav jednadžbi

4) Nađimo parcijalne derivacije drugog reda i njihove vrijednosti u kritičnim točkama: . U trenutku dobivamo:

To znači da u točki nema ekstrema. U trenutku dobivamo:

To znači da u točki postoji minimum.

5.2 Globalni ekstrem (najveća i najmanja vrijednost funkcije)

Najveće i najmanje vrijednosti funkcije više varijabli, kontinuirane na nekom zatvorenom skupu, postižu se ili u točkama ekstrema ili na granici skupa.

Shema za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

1) Pronađite kritične točke koje leže unutar regije, izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama.

2) Istražiti funkciju na granici regije; ako se granica sastoji od nekoliko različitih linija, tada se studija mora provesti za svaki odjeljak zasebno.

3) Usporedite dobivene vrijednosti funkcije i odaberite najveću i najmanju.

Primjer 52. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u pravokutniku.

Riješenje. 1) Nađimo kritične točke funkcije, za to ćemo pronaći parcijalne derivacije: , i riješimo sustav jednadžbi:

Dobili smo kritičnu točku A. Rezultirajuća točka leži unutar zadane regije,

Granica regije sastoji se od četiri segmenta: i. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na svakom segmentu.

4) Usporedimo dobivene rezultate i utvrdimo da u točkama .

Poglavlje 6. Model potrošačkog izbora

Pretpostavit ćemo da postoji n različitih dobara. Zatim ćemo određeni skup dobara označiti n-dimenzionalnim vektorom , gdje je količina i-tog proizvoda. Skup svih skupova dobara X naziva se prostor.

Izbor pojedinog potrošača karakterizira odnos preferencija: smatra se da potrošač za bilo koja dva skupa može reći koji je poželjniji ili ne vidi razliku među njima. Relacija preferencija je tranzitivna: ako je skup bolji od skupa, a skup je bolji od skupa, tada je skup bolji od skupa. Pretpostavit ćemo da je ponašanje potrošača u potpunosti opisano aksiomom individualnog potrošača: svaki pojedinačni potrošač donosi odluke o potrošnji, kupnji itd., na temelju svog sustava preferencija.

6.1 Funkcija korisnosti

Funkcija je definirana na skupu potrošačkih skupova X , čija je vrijednost na skupu potrošača jednaka procjeni potrošača pojedinca za ovaj skup. Funkcija se naziva funkcija potrošačeve korisnosti ili funkcija preferencija potrošača. Oni. Svaki potrošač ima svoju funkciju korisnosti. Ali cijeli skup potrošača može se podijeliti u određene klase potrošača (po dobi, imovinskom statusu itd.) i svakoj klasi može se pripisati određena, možda prosječna, funkcija korisnosti.

Dakle, funkcija je procjena potrošača ili razina zadovoljenja potreba pojedinca pri kupnji određenog seta. Ako je skup bolji od skupa za danog pojedinca, tada .

Svojstva funkcije korisnosti.

Prve parcijalne derivacije funkcije korisnosti nazivaju se granične korisnosti proizvoda. Iz ovog svojstva proizlazi da povećanje potrošnje jednog proizvoda, dok potrošnja ostalih proizvoda ostaje nepromijenjena, dovodi do povećanja ocjene potrošača. Vektor je gradijent funkcije, pokazuje smjer najvećeg rasta funkcije. Za funkciju, njezin gradijent je vektor graničnih korisnosti proizvoda.

Oni. Granična korisnost svakog dobra opada kako se potrošnja povećava.

Oni. Granična korisnost svakog proizvoda raste kako se povećava količina drugog proizvoda.

Neke vrste funkcija korisnosti.

1) Neoklasični: .

2) Kvadratni: , gdje je matrica negativno određena i za .

3) Logaritamska funkcija: .

6.2 Linije ravnodušnosti

U primijenjenim problemima i modelima izbora potrošača često se koristi poseban slučaj skupa od dva dobra, tj. kada funkcija korisnosti ovisi o dvije varijable. Crta ravnodušnosti je linija koja povezuje potrošačke skupove koji imaju istu razinu zadovoljenja potreba pojedinca. U biti, linije indiferencije su linije funkcionalne razine. Jednadžbe linija indiferencije: .

Osnovna svojstva linija indiferencije.

1. Linije ravnodušnosti koje odgovaraju različitim razinama zadovoljenja potreba ne dodiruju se niti sijeku.

2. Linije ravnodušnosti se smanjuju.

3. Linije ravnodušnosti su konveksne prema dolje.

Svojstvo 2 implicira važnu približnu jednakost.

Ovaj omjer pokazuje koliko bi pojedinac trebao povećati (smanjiti) potrošnju drugog proizvoda pri smanjenju (povećanju) potrošnje prvog proizvoda za jednu jedinicu bez promjene razine zadovoljenja svojih potreba. Omjer se naziva stopa zamjene prvog proizvoda drugim, a vrijednost granična stopa zamjene prvog proizvoda drugim.

Primjer 53. Ako je granična korisnost prvog dobra 6, a drugog 2, tada ako se potrošnja prvog dobra smanji za jednu jedinicu, potrošnja drugog dobra mora se povećati za 3 jedinice na istoj razini zadovoljenja potreba.

6.3 Određeni proračun

Neka – vektor cijena za skup od n proizvoda; I je prihod pojedinca koji je spreman potrošiti na kupnju skupa proizvoda. Skup skupova dobara koji koštaju ne više od I po danim cijenama naziva se proračunski skup B. Štoviše, skup skupova koji košta I naziva se granica G proračunskog skupa B. Dakle. skup B je omeđen granicom G i prirodnim ograničenjima.

Proračunski skup je opisan sustavom nejednakosti:

Za slučaj skupa od dva dobra, proračunski skup B (slika 1) je trokut u koordinatnom sustavu, ograničen koordinatnim osima i ravnom linijom.

6.4 Teorija potrošačke potražnje

U teoriji potrošnje smatra se da potrošač uvijek teži maksimiziranju svoje korisnosti i jedino ograničenje za njega je ograničeni dohodak I koji može potrošiti na kupnju skupa dobara. Općenito, problem izbora potrošača (problem racionalnog ponašanja potrošača na tržištu) formulira se na sljedeći način: pronađite potrošački skup , koji maksimizira svoju funkciju korisnosti pod određenim proračunskim ograničenjem. Matematički model ovog problema:

U slučaju skupa od dva proizvoda:

Geometrijski, rješenje ovog problema je dodirna točka između granice proračunskog skupa G i linije indiferencije.

Rješenje ovog problema svodi se na rješavanje sustava jednadžbi:

(1)

Rješenje ovog sustava je rješenje problema izbora potrošača.

Rješenje problema potrošačevog izbora naziva se točka potražnje. Ova točka potražnje ovisi o cijenama i dohotku I. tj. točka potražnje je funkcija potražnje. Zauzvrat, funkcija potražnje je skup od n funkcija, od kojih svaka ovisi o argumentu:

Te se funkcije nazivaju funkcijama potražnje za odgovarajućom robom.

Primjer 54. Za skup od dva dobra na tržištu, poznate cijene za njih i prihod I, pronaći funkcije potražnje ako funkcija korisnosti ima oblik .

Riješenje. Razlikujmo funkciju korisnosti:

Zamijenimo dobivene izraze u (1) i dobijemo sustav jednadžbi:

U tom će slučaju trošak za svaki proizvod biti polovica dohotka potrošača, a količina kupljenog proizvoda jednaka je iznosu koji je na njega potrošen podijeljen s cijenom proizvoda.

Primjer 55. Neka korisnost funkcionira za prvo dobro, drugo,

cijena prvog proizvoda, cijena drugog. Prihodi . Koliko bi potrošač trebao kupiti dobra da bi povećao korisnost?

Riješenje. Nađimo derivacije funkcija korisnosti, zamijenimo ih u sustav (1) i riješimo ga:

Ovaj skup dobara je optimalan za potrošača sa stajališta maksimiziranja korisnosti.

Test se mora ispuniti prema odabranoj opciji posljednjom znamenkom broja razredne knjige u posebnoj bilježnici. Svaki zadatak mora sadržavati uvjet, detaljno rješenje i zaključak.

1. Uvod u matematičku analizu

Zadatak 1. Naći domenu definicije funkcije.

Zadatak 2. Odredi limese funkcija.

Zadatak 3. Pronađite točke diskontinuiteta funkcije i odredite njihovu vrstu.

1. 2. 3.

Poglavlje 2. Diferencijalni račun funkcije jedne varijable

Zadatak 4. Naći derivacije ovih funkcija.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x ;

e) y = 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6 ; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.

5. a) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; e) y = .

8. a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6 ; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x ; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6 ; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.

Zadatak 5. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

1. a) b) c) .

2. a) b) V) .

3. a) b) V) .

4. b) V)

5. a) b) V) .

6. a) b) V) .

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V) .

Zadatak 6. Odredi najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom segmentu.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Poglavlje 3. Integralni račun

Zadatak 7. Naći neodređene integrale.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d) .

4. G)

5. a) ; b); V) ; G).

6. a) ; b); V); G)

7. a) ; b) ; V) ; G)

8. a) ; b); V) ; G) .

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) V) ; G) .

Zadatak 8. Izračunajte određene integrale.

7. .

10.

Zadatak 9. Pronađite neprave integrale ili dokažite da divergiraju.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadatak 10. Nađite površinu područja ograničenog krivuljama

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Poglavlje 4. Diferencijalni račun funkcija više varijabli.

Zadatak 11. Nađi domenu definiranosti funkcije (prikaži na crtežu).

Zadatak 12. Istražite neprekidnost funkcije at

Zadatak 13. Naći derivaciju implicitno zadane funkcije.

Zadatak 14. Izračunaj približno

1. a) ;b) ; V)

2. a) ; b) ; V) .

3. a) ; b) ; V) .

4. a) ; b) ; V) .

5. a); b) ; V) .

6. a); b) ; V) .

7. a); b) ; V) .

8. a) ;b) ; V)

9. a) ; b) ; V) .

10. a) ;b) ; V)

Zadatak 15. Istražite funkciju za ekstreme.

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadatak 16. Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom zatvorenom području.

1. u pravokutniku

3. u pravokutniku

4. u području ograničenom parabolom

I x-os.

5. na kvadrat

6. u trokutu ograničenom koordinatnim osima i pravcem

7. u trokutu ograničenom koordinatnim osima i pravcem

8. u trokutu omeđenom koordinatnim osima i pravcem

9. u području ograničenom parabolom

I x-os.

10. u području ograničenom parabolom

I x-os.

Glavni

1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Osnove matematike i njezina primjena u ekonomskom obrazovanju: Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomske specijalnosti: Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomskog prvostupnika. Udžbenik. – 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2005.

4. Viša matematika za ekonomiste. Udžbenik za sveučilišta / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; ur. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izdanje, revidirano. i dodatni – M: JEDINSTVO, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Viša matematika za ekonomske specijalnosti. Udžbenik i radionica (I. i II. dio) / Ured. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izdanje, revidirano. i dodatni – M: Visoko obrazovanje, 2007. – 893 str. – (Osnove znanosti)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. M. Viša škola. 1999. godine.

Dodatni

1. I.I. Bavrin, V.L. Mornari. Viša matematika. "Humanitarno izdavački centar Vlados", 2002.

2. I.A. Zajcev. Viša matematika. "Viša škola", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika u ekonomiji /u dva dijela/. M. Financije i statistika. 1999. godine.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

za studente medicinski, pedijatrijski, stomatološki

te medicinski i preventivni fakulteti

na laboratorijski rad

"Osnovni pojmovi matematičke analize"

1. Znanstvena i metodološka utemeljenost teme:

Pojmovi derivacije i diferencijala među temeljnim su pojmovima matematičke analize. Izračunavanje derivacija potrebno je pri rješavanju mnogih problema u fizici i matematici (pronalaženje brzine, ubrzanja, tlaka itd.). Važnost pojma derivacije, posebice, određena je činjenicom da derivacija funkcije karakterizira brzinu promjene te funkcije kada se njezin argument promijeni.

Korištenje diferencijala omogućuje približne izračune, kao i procjenu pogreške.

Metode za pronalaženje derivacija i diferencijala funkcija i njihova primjena glavni su zadatak diferencijalnog računa. Potreba za konceptom derivacije javlja se u vezi s formulacijom problema izračuna brzine kretanja i pronalaženja kuta tangente na krivulju. Moguć je i obrnuti problem: pomoću brzine odrediti prijeđeni put, a pomoću tangensa tangentnog kuta pronaći odgovarajuću funkciju. Ovaj inverzni problem dovodi do koncepta neodređenog integrala.

Pojam određenog integrala koristi se u brojnim praktičnim problemima, posebice u problemima izračunavanja površina ravnih figura, izračunavanja rada promjenljive sile i nalaženja prosječne vrijednosti funkcije.

Pri matematičkom opisivanju različitih fizikalnih, kemijskih, bioloških procesa i pojava često se koriste jednadžbe koje sadrže ne samo veličine koje se proučavaju, već i njihove izvodnice različitih redova tih veličina. Na primjer, prema najjednostavnijoj verziji zakona o razmnožavanju bakterija, brzina razmnožavanja proporcionalna je broju bakterija u određenom trenutku. Ako ovu veličinu označimo s N(t), tada je, sukladno fizikalnom značenju derivacije, brzina razmnožavanja bakterija derivacija N(t), a na temelju navedenog zakona možemo napisati relaciju N "(t)=k∙N, gdje je k>0 - koeficijent proporcionalnosti. Rezultirajuća jednadžba nije algebarska, jer sadrži ne samo nepoznatu funkciju N(t), već i njenu derivaciju prvog reda.

2. Kratka teorija:

1. Problemi koji dovode do pojma derivacije

1. Problem određivanja brzine v materijalne točke. Neka neka materijalna točka izvodi pravocrtno gibanje. U trenutku u vremenu t 1 stvar je u poziciji M 1. U trenutku u vremenu t 2 trudna M 2 . Označimo interval M 1 , M 2 kroz ΔS; t 2 – t 1 =Δt. Vrijednost se naziva prosječna brzina kretanja. Da biste pronašli trenutnu brzinu točke na poziciji M 1 potrebno Δt juriti prema nuli. Matematički to znači

, (1)

Dakle, da bismo pronašli trenutnu brzinu materijalne točke, potrebno je izračunati granicu omjera prirasta funkcije ΔS na povećanje argumenta Δt, pod uvjetom da Δt→0.

2. Problem određivanja kuta nagiba tangente na graf funkcije.

Sl. 1

Razmotrimo graf neke funkcije y=f(x). Koliki je kut nagiba?
tangenta povučena u točku M 1 ? U točki M 1 Povucimo tangentu na graf funkcije. Odaberite proizvoljnu točku na grafikonu M 2 i nacrtaj sekantu. Nagnut je prema osi OH pod kutom α 1 . Razmotrimo ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Ako je točka M 1 popraviti i poentirati M 2 približiti M 1 , zatim sekans M 1 M 2 ići će tangentno na graf funkcije u točki M 1 i možemo napisati:

, (3)

Dakle, potrebno je izračunati granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta ako prirast argumenta teži nuli.

Granica omjera prirasta Δy funkcije y=f(x) prema prirastu argumenta Δx u danoj točki x 0 dok Δx teži nuli, naziva se derivacija funkcije u danoj točki.

Izvedeni zapis: y", f "(x), . A-priorat

, (4)

gdje je Δx=h 2 -h 1 inkrement argumenta (razlika između dvije uzastopne prilično bliske vrijednosti argumenta), Δy=y 2 -y 1 je inkrement funkcije (razlika između vrijednosti funkcije koja odgovara tim vrijednostima argumenta).

Pronalaženje derivacije zadane funkcije naziva se njenim diferencijacija. Diferencijacija glavnih elementarnih funkcija provodi se pomoću gotovih formula (vidi tablicu), kao i pomoću pravila:

Derivacija algebarske sume funkcije jednaka je zbroju derivacija ovih funkcija:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka druge funkcije i derivacije prve i prve funkcije i derivacije druge:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Derivacija kvocijenta dvije funkcije jednake su razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nazivnika:

Fizičko značenje izvedenice. Iz usporedbe (4) i (1) proizlazi da je trenutna brzina pravocrtnog gibanja materijalne točke jednaka derivaciji ovisnosti njezine koordinate o vremenu.

Opće značenje izvoda funkcije je da karakterizira stopa (brzina) promjene funkcije za datu promjenu argumenta. Izvedenicom se izražava i brzina fizikalnih, kemijskih i drugih procesa, primjerice brzina hlađenja tijela, brzina kemijske reakcije, brzina razmnožavanja bakterija i sl.

Geometrijsko značenje derivacije. Vrijednost tangensa kuta nagiba tangente povučene na graf funkcije naziva se u matematici tangentni kutni koeficijent.

Kutni koeficijent tangente povučene na graf diferencijabilne funkcije u određenoj točki brojčano je jednak derivaciji funkcije u toj točki.

Ova izjava se zove geometrijsko značenje izvedenice.

Na kojem smo ispitivali najjednostavnije izvodnice, a također se upoznali s pravilima diferenciranja i nekim tehničkim tehnikama pronalaženja izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili vam neke točke u ovom članku nisu posve jasne, prvo pročitajte gornju lekciju. Molim vas da se malo uozbiljite - gradivo nije jednostavno, ali ću ga ipak pokušati iznijeti jednostavno i jasno.

U praksi se s izvodom složene funkcije morate susresti vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kada dobijete zadatak pronaći izvode.

Gledamo u tablici pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajdemo shvatiti. Prije svega, obratimo pozornost na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena unutar funkcije . Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretske i ne bi se trebale pojavljivati u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje derivata odmah iz tablice neće uspjeti. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može “rastrgati”:

U ovom primjeru je već iz mojih objašnjenja intuitivno jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom unutarnja funkcija (ugrađivanje), a vanjska funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronalazite izvod složene funkcije je razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom umetnut ispod sinusa. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da na kalkulatoru trebamo izračunati vrijednost izraza at (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvršiti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti unutarnja funkcija:

Drugo morat će se pronaći, pa će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon što smo PRODANO s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila razlikovanja složenih funkcija .

Počnimo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus) pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice također su primjenjive ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenio, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule u konačnom obliku izgleda ovako:

Konstantni faktor obično se nalazi na početku izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvijek, zapisujemo:

Idemo shvatiti gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Što trebate učiniti prvo? Prije svega, morate izračunati čemu je jednaka baza: dakle, polinom je unutarnja funkcija:

I tek tada se vrši potenciranje, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći izvod vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Traženu formulu tražimo u tablici: . Opet ponavljamo: svaka tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat je primjene pravila za razlikovanje složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo izvod vanjske funkcije, naša unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što preostaje je pronaći vrlo jednostavnu derivaciju interne funkcije i malo dotjerati rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili svoje razumijevanje izvoda složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte to sami shvatiti, zaključite gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Pronađite izvod funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo razlikovali korijen, on mora biti predstavljen kao moć. Dakle, prvo dovodimo funkciju u oblik prikladan za diferenciranje:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a dizanje na potenciju vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija :

Stupanj ponovno predstavljamo kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo diferenciranja zbroja:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i zapisati sve kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu pogrešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo će rješenje izgledati kao neobična izopačenost. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali mnogo je isplativije pronaći derivaciju pomoću pravila diferenciranja složene funkcije:

Funkciju pripremimo za diferenciranje - iz predznaka izvoda izbacimo minus, a kosinus podignemo u brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, potenciranje je vanjska funkcija.
Iskoristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod interne funkcije i vraćamo kosinus natrag prema dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zbuniti se u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno gniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje su, poput lutkica, jedna u drugoj, ugniježđene 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajdemo razumjeti priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arkusinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arkusinus od jedan treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najunutarnja funkcija arkus, a najunutarnja funkcija je eksponencijalna funkcija.

Počnimo odlučivati

Prema pravilu Prvo morate uzeti izvod vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i pronalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina je razlika što umjesto “x” imamo složeni izraz, što ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat je primjene pravila za diferenciranje složene funkcije Sljedeći.