التحليل الرياضي.

ورشة عمل.

لطلاب الجامعة في التخصص:

"إدارة الدولة والبلدية"

ت.ز. بافلوفا

كولباشيفو 2008

الفصل الأول: مقدمة في التحليل

1.1 الوظائف. الخصائص العامة

1.2 نظرية الحدود

1.3 استمرارية الوظيفة

2.1 تعريف المشتق

2.4 بحث الوظيفة

2.4.1 تصميم دراسة الوظائف الكاملة

2.4.2 أمثلة على دراسة الوظيفة

2.4.3. أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة

2.5 قاعدة لوبيتال

3.1 تكامل غير محدد

3.1.1 التعاريف والخصائص

3.1.2 جدول التكاملات

3.1.3 طرق التكامل الأساسية

3.2 التكامل المحدد

3.2.2 طرق حساب التكامل المحدد

الفصل 4. وظائف العديد من المتغيرات

4.1 المفاهيم الأساسية

4.2 حدود واستمرارية وظائف عدة متغيرات

4.3.3 التفاضل الإجمالي وتطبيقه على الحسابات التقريبية

الفصل 5. طرق التحسين الكلاسيكية

6.1 وظيفة المنفعة.

6.2 خطوط اللامبالاة

6.3 مجموعة الميزانية

واجبات الاختبار المنزلي

1.1 الوظائف. الخصائص العامة

يتم تعريف الدالة العددية على المجموعة D من الأرقام الحقيقية إذا كانت كل قيمة للمتغير مرتبطة ببعض القيمة الحقيقية المحددة جيدًا للمتغير y، حيث D هو مجال تعريف الدالة.

التمثيل التحليلي للوظيفة:

صراحة: ;

بشكل ضمني: ؛

في شكل بارامترية:

صيغ مختلفة في مجال التعريف:

ملكيات.

دالة زوجية: . على سبيل المثال، الدالة زوجية، لأن .

وظيفة غريبة: . على سبيل المثال، الدالة غريبة، لأن .

الوظيفة الدورية: ، حيث T هي فترة الدالة، . على سبيل المثال، الدوال المثلثية.

وظيفة رتيبة. إذا كانت الدالة تتزايد في أي مجال من مجالات التعريف، فإنها تتناقص. على سبيل المثال، - زيادة و - انخفاض.

وظيفة محدودة. إذا كان هناك رقم M بحيث يكون . على سبيل المثال، وظائف و، لأن .

مثال 1. ابحث عن مجال تعريف الوظائف.

+ 2 – 3 +

1.2 نظرية الحدود

التعريف 1. حد الدالة هو الرقم b إذا كان لأي (رقم موجب صغير بشكل تعسفي) فمن الممكن العثور على قيمة الوسيطة التي تبدأ منها عدم المساواة.

تعيين: .

التعريف 2. الحد الأقصى للدالة عند هو الرقم b إذا كان لأي ( - رقم موجب صغير بشكل تعسفي) رقم موجب بحيث يتم استيفاء عدم المساواة لجميع قيم x التي ترضي عدم المساواة.

تعيين: .

التعريف 3.يقال أن الدالة متناهية الصغر من أجل أو إذا أو.

ملكيات.

1. المجموع الجبري لعدد محدود من الكميات المتناهية الصغر هو كمية متناهية الصغر.

2. حاصل ضرب كمية متناهية الصغر ودالة محدودة (ثابت، وكمية متناهية الصغر أخرى) هو كمية متناهية الصغر.

3. حاصل قسمة كمية متناهية الصغر على دالة حدها غير الصفر هو كمية متناهية الصغر.

التعريف 4.يقال أن الدالة كبيرة بلا حدود إذا .

ملكيات.

1. حاصل ضرب كمية كبيرة بلا حدود ودالة حدها غير الصفر هو كمية كبيرة بلا حدود.

2. مجموع كمية كبيرة بلا حدود ودالة محدودة هو كمية كبيرة بلا حدود.

3. حاصل قسمة كمية كبيرة بلا حدود على دالة لها حد هو كمية كبيرة بلا حدود.

نظرية.(العلاقة بين كمية متناهية الصغر وكمية كبيرة بلا حدود.) إذا كانت الدالة متناهية الصغر عند ()، فإن الدالة تكون كمية كبيرة بلا حدود عند (). وعلى العكس من ذلك، إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند ()، فإن الدالة تكون قيمة متناهية الصغر عند ().

نظريات حول الحدود.

1. لا يمكن أن يكون للدالة أكثر من حد واحد.

2. الحد مجموع جبريعدة دوال تساوي المجموع الجبري لحدود هذه الدوال:

3. حد حاصل ضرب عدة دوال يساوي حاصل ضرب حدود هذه الدوال:

4. حد الدرجة يساوي درجة الحد:

5. نهاية القسمة تساوي خارج قسمة النهايتين إذا كانت نهاية المقسوم عليه موجودة:

6. الحد الأول الرائع.

عواقب:

7. الحد الملحوظ الثاني:

عواقب:

الكميات المتناهية الصغر المكافئة في:

حساب الحدود.

عند حساب النهايات، يتم استخدام النظريات الأساسية حول النهايات وخصائص الدوال المستمرة والقواعد الناشئة عن هذه النظريات والخصائص.

المادة 1.للعثور على النهاية عند نقطة من دالة متصلة عند هذه النقطة، تحتاج إلى استبدال قيمتها الحدية في الدالة تحت علامة الحد بدلاً من الوسيطة x.

مثال 2. البحث

القاعدة 2.إذا، عند إيجاد نهاية الكسر، كانت نهاية المقام تساوي صفرًا، وكانت نهاية البسط مختلفة عن الصفر، فإن نهاية هذه الدالة تساوي .

مثال 3. البحث

القاعدة 3.إذا، عند إيجاد نهاية الكسر، فإن نهاية المقام تساوي , ونهاية البسط تختلف عن الصفر، فإن نهاية هذه الدالة تساوي صفرًا.

مثال 4. البحث

في كثير من الأحيان، يؤدي استبدال القيمة الحدية للوسيطة إلى تعبيرات غير محددة للنموذج

ويسمى العثور على نهاية الدالة في هذه الحالات باكتشاف عدم اليقين. وللكشف عن عدم اليقين، من الضروري تحويل هذا التعبير قبل الانتقال إلى الحد الأقصى. يتم استخدام تقنيات مختلفة للكشف عن الشكوك.

القاعدة 4. يتم الكشف عن عدم اليقين في النوع عن طريق تحويل الدالة الفرعية بحيث يمكن عزل عامل في البسط والمقام يساوي الصفر، وتخفيض الكسر به، والعثور على نهاية الحاصل. للقيام بذلك، يتم تحليل البسط والمقام أو ضربهما في التعبيرات المرتبطة بالبسط والمقام.

القاعدة 5.إذا كان التعبير الفرعي يحتوي على دوال مثلثية، فسيتم استخدام النهاية الملحوظة الأولى لحل عدم اليقين في النموذج.

القاعدة 6. للكشف عن عدم اليقين في النموذج عند ، يجب قسمة البسط والمقام للكسر الفرعي على أعلى قوة للوسيطة ومن ثم يجب العثور على نهاية القسمة.

النتائج المحتملة:

1) الحد المطلوب يساوي نسبة معاملات القوى العليا لحجة البسط والمقام، إذا كانت هذه القوى هي نفسها؛

2) النهاية تساوي اللانهاية إذا كانت درجة وسيطة البسط أعلى من درجة وسيطة المقام؛

3) النهاية تساوي صفراً إذا كانت درجة وسيطة البسط أقل من درجة وسيطة المقام.

أ)

لأن

القوى متساوية، مما يعني أن الحد يساوي نسبة معاملات القوى العليا، أي. .

ب)

درجة البسط والمقام هي 1، مما يعني أن النهاية هي

الخامس)

درجة البسط هي 1، والمقام هو، مما يعني أن النهاية هي 0.

القاعدة 7. للكشف عن عدم اليقين في النموذج، يجب ضرب البسط والمقام للكسر الفرعي بالتعبير المترافق.

مثال 10.

القاعدة 8. وللكشف عن عدم اليقين في الأنواع، يتم استخدام الحد الملحوظ الثاني وعواقبه.

يمكن إثبات ذلك

مثال 11.

مثال 12.

مثال 13.

القاعدة 9. عند الكشف عن أوجه عدم اليقين التي تحتوي وظيفتها الفرعية على b.m.v.، فمن الضروري استبدال حدود هذه b.m.v. إلى حدود b.m مكافئة لهم.

مثال 14.

مثال 15.

القاعدة 10. قاعدة لوبيتال (انظر 2.6).

1.3 استمرارية الوظيفة

تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا كانت نهاية الدالة، كما يميل الوسيط إلى a، موجودة وتساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة.

الشروط المعادلة:

1. ;

تصنيف نقاط التوقف:

تمزق من النوع الأول

قابلة للإزالة – الحدود من جانب واحد موجودة ومتساوية؛

غير قابلة للاختزال (القفز) - الحدود من جانب واحد ليست متساوية؛

النوع الثاني: عدم وجود نهاية الدالة عند نقطة ما.

مثال 16. حدد طبيعة انقطاع دالة عند نقطة ما أو أثبت استمرارية دالة عند هذه النقطة.

في الدالة لم يتم تعريفها، وبالتالي فهي ليست مستمرة في هذه المرحلة. لأن وبالمقابل، إذن هي نقطة انقطاع قابلة للإزالة من النوع الأول.

ب)

بالمقارنة مع المهمة (أ)، يتم تعريف الوظيفة بشكل أكبر عند النقطة بحيث مما يعني أن هذه الدالة مستمرة عند هذه النقطة.

عندما لا يتم تعريف الوظيفة؛

لأن فإذا كانت إحدى النهايتين من جهة واحدة لا نهاية لها، فهذه نقطة انقطاع من النوع الثاني.

الفصل 2. حساب التفاضل والتكامل

2.1 تعريف المشتق

تعريف المشتقة

مشتق أو دالة معينة هو الحد الأقصى لنسبة زيادة الدالة إلى الزيادة المقابلة للوسيطة، عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر:

أو .

المعنى الميكانيكي للمشتق هو معدل تغير الوظيفة. المعنى الهندسي للمشتق هو ظل زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة:

2.2 القواعد الأساسية للتمايز

اسم	وظيفة	المشتق
الضرب بعامل ثابت
المجموع الجبري لوظيفتين
منتج من وظيفتين
حاصل وظيفتين
وظيفة معقدة

مشتقات الوظائف الأولية الأساسية

لا.	اسم وظيفة	الدالة ومشتقاتها
1	ثابت
2	وظيفة الطاقة حالات خاصة
3	وظيفة الأسية حالة خاصة
4	وظيفة لوغاريتمية حالة خاصة
5	الدوال المثلثية
6	يعكس حساب المثاثات

ب)

2.3 المشتقات ذات الترتيب العالي

مشتقة من الدرجة الثانية للدالة

المشتقة الثانية للدالة:

مثال 18.

أ) أوجد المشتقة الثانية للدالة.

حل. دعونا أولًا نوجد المشتقة من الدرجة الأولى .

من المشتقة من الدرجة الأولى، دعونا نأخذ المشتقة مرة أخرى.

مثال 19. أوجد المشتقة الثالثة للدالة.

2.4 بحث الوظيفة

2.4.1 خطة الدراسة الكاملة للوظائف:

خطة دراسة الوظيفة الكاملة:

1. البحث الأولي:

ابحث عن مجال التعريف ونطاق القيم؛

تعرف على الخصائص العامة: التساوي (الغرابة)، الدورية؛

أوجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات؛

تحديد مناطق الإشارة الثابتة.

2. الخطوط المقاربة:

ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية إذا ;

ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة: .

إذا كان أي رقم، ثم - الخطوط المقاربة الأفقية.

3. البحث باستخدام:

العثور على النقاط الحرجة، تلك. النقاط التي أو لا توجد فيها؛

تحديد فترات الزيادة، تلك. الفواصل الزمنية التي تقل فيها الدالة - ;

تحديد النقاط القصوى: النقاط التي تتغير من خلالها الإشارة من "+" إلى "-" هي نقاط الحد الأقصى، ومن "-" إلى "+" هي نقاط الحد الأدنى.

4. البحث باستخدام:

البحث عن النقاط التي أو لا توجد؛

البحث عن مناطق التحدب، أي. الفترات التي فيها والتقعرات - ;

البحث عن نقاط انعطاف، أي. نقاط عند المرور من خلالها تتغير الإشارة.

1. يتم رسم العناصر الفردية للدراسة على الرسم البياني تدريجيا، كما هي موجودة.

2. إذا ظهرت صعوبات في إنشاء رسم بياني للدالة، فسيتم العثور على قيم الدالة في بعض النقاط الإضافية.

3. الغرض من الدراسة هو وصف طبيعة سلوك الوظيفة. لذلك، لم يتم بناء رسم بياني دقيق، ولكن تم رسم تقريبي له، حيث تم تحديد العناصر الموجودة بوضوح (النقاط القصوى، نقاط الانعطاف، الخطوط المقاربة، وما إلى ذلك).

4. ليس من الضروري الالتزام الصارم بالخطة المحددة؛ من المهم عدم تفويت العناصر المميزة لسلوك الوظيفة.

2.4.2 أمثلة على البحوث الوظيفية:

2) الدالة الفردية:

3) الخطوط المقاربة.

- الخطوط المقاربة العمودية، لأن

الخط المقارب.

- نقطة الأنحراف.

2) الدالة الفردية:

3) الخطوط المقاربة: لا توجد خطوط مقاربة رأسية.

منحرف - مائل:

- الخطوط المقاربة المائلة

4) - تزداد الوظيفة.

- نقطة الأنحراف.

رسم بياني تخطيطي لهذه الوظيفة:

2) الوظيفة العامة

3) الخطوط المقاربة

– لا توجد خطوط مقاربة مائلة

- الخط المقارب الأفقي عند

- نقطة الأنحراف

رسم بياني تخطيطي لهذه الوظيفة:

2) الخطوط المقاربة.

- الخط المقارب العمودي، لأن

– لا توجد خطوط مقاربة مائلة

، - الخط المقارب الأفقي

رسم بياني تخطيطي لهذه الوظيفة:

2) الخطوط المقاربة

- الخط المقارب العمودي عند ، لأن

– لا توجد خطوط مقاربة مائلة

، - الخط المقارب الأفقي

3) - تتناقص الدالة في كل فترة من الفترات.

رسم بياني تخطيطي لهذه الوظيفة:

للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة ما، يمكنك استخدام الرسم البياني التالي:

1. أوجد مشتقة الدالة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة التي أو لا توجد فيها.

3. أوجد قيمة الدالة عند النقاط الحرجة التابعة لقطعة معينة وعند أطرافها واختيار الأكبر والأصغر منها.

مثال. أوجد أصغر وأكبر قيمة للدالة في قطعة معينة.

25. ما بين أثنين

2) – النقاط الحرجة

26. في الفاصل.

المشتق غير موجود لـ لكن 1 لا ينتمي إلى هذا الفاصل الزمني. تتناقص الدالة على الفاصل الزمني، مما يعني أنه لا توجد قيمة أكبر، ولكن القيمة الأصغر هي .

2.5 قاعدة لوبيتال

نظرية. إن حد النسبة بين وظيفتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي يساوي حد نسبة مشتقاتهما (المحدودة أو اللانهائية) إذا كانت الأخيرة موجودة بالمعنى المشار إليه.

أولئك. عند الكشف عن الشكوك من النوع أو يمكنك استخدام الصيغة:

27.

الفصل 3. حساب التفاضل والتكامل

3.1 تكامل غير محدد

3.1.1 التعاريف والخصائص

التعريف 1. تسمى الدالة مشتق عكسي لـ if .

التعريف 2. التكامل غير المحدد للدالة f(x) هو مجموعة جميع المشتقات العكسية لهذه الوظيفة.

تعيين: ، حيث c هو ثابت تعسفي.

خصائص التكامل غير المحدد

1. مشتقة التكامل غير المحدد:

2. تفاضل التكامل غير المحدد:

3. التكامل غير المحدد للتفاضل:

4. التكامل غير المحدد لمجموع (الفرق) بين وظيفتين:

5. مد العامل الثابت إلى ما بعد إشارة التكامل غير المحدد:

3.1.2 جدول التكاملات

.1.3 طرق التكامل الأساسية

1. استخدام خصائص التكامل غير المحدد.

مثال 29.

2. تقديم العلامة التفاضلية.

مثال 30.

3. طريقة الاستبدال المتغيرة:

أ) الاستبدال في التكامل

أين - وظيفة أسهل في التكامل من الوظيفة الأصلية؛ - وظيفة عكسية للوظيفة؛ - المشتقة العكسية للدالة.

مثال 31.

ب) الاستبدال في تكامل النموذج:

مثال 32.

مثال 33.

4. طريقة التكامل بالأجزاء:

مثال 34.

مثال 35.

دعونا نأخذ التكامل بشكل منفصل

دعنا نعود إلى تكاملنا:

3.2 التكامل المحدد

3.2.1 مفهوم التكامل المحدد وخصائصه

تعريف.دع وظيفة مستمرة تعطى في فترة زمنية معينة. دعونا نبني رسما بيانيا لذلك.

الشكل الذي يحده من الأعلى منحنى، ومن اليسار واليمين بخطوط مستقيمة، ومن الأسفل بجزء من محور الإحداثي المحوري بين النقطتين a وb، يسمى شبه منحرف منحني الخطوط.

S - المنطقة - شبه منحرف منحني الأضلاع.

اقسم الفاصل الزمني بالنقاط واحصل على:

المبلغ التراكمي:

تعريف. التكامل المحدد هو نهاية مجموع متكامل.

خصائص التكامل المحدد:

1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

2. تكامل المجموع الجبري للدالتين يساوي المجموع الجبري لتكاملات هذه الوظائف:

3. إذا تم تقسيم قطعة التكامل إلى أجزاء، فإن التكامل على القطعة بأكملها يساوي مجموع التكاملات لكل جزء من الأجزاء الناتجة، أي. لأي أ، ب، ج:

4. إذا كان على هذا الجزء، ثم

5. يمكن تبديل حدود التكامل وتغير إشارة التكامل:

7. التكامل عند النقطة يساوي 0:

9. ("حول المتوسط") دع y = f(x) تكون دالة قابلة للتكامل. ثم ، حيث ، f(c) – متوسط قيمة f(x) على:

10. صيغة نيوتن-لايبنتز

حيث F(x) هو المشتق العكسي لـ f(x).

3.2.2 طرق حساب التكامل المحدد.

1. التكامل المباشر

مثال 35.

أ)

ب)

الخامس)

د)

2. تغيير المتغيرات تحت علامة التكامل المحددة .

مثال 36.

2. التكامل بالأجزاء في تكامل محدد .

مثال 37.

أ)

ب)

د)

3.2.3 تطبيقات التكامل المحدد

صفة مميزة	نوع الوظيفة	معادلة
	في الإحداثيات الديكارتية
منطقة القطاع المنحني	في الإحداثيات القطبية
مساحة شبه منحرف منحني	في شكل بارامترية
طول القوس	في الإحداثيات الديكارتية
طول القوس	في الإحداثيات القطبية
طول القوس	في شكل بارامترية
حجم الجسم دوران	في الإحداثيات الديكارتية
حجم الجسم مع عرضية معينة المقطع العرضي

مثال 38. احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط: و .

حل:دعونا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية لهذه الوظائف. للقيام بذلك، نحن نساوي الدوال ونحل المعادلة

إذن نقاط التقاطع و .

أوجد مساحة الشكل باستخدام الصيغة

في حالتنا هذه

الجواب: المساحة (وحدات مربعة).

4.1 المفاهيم الأساسية

تعريف. إذا تم تعيين كل زوج من الأرقام المستقلة المتبادلة من مجموعة معينة، وفقا لقاعدة ما، قيمة واحدة أو أكثر للمتغير z، فإن المتغير z يسمى دالة لمتغيرين.

تعريف. مجال تعريف الدالة z هو مجموعة الأزواج التي توجد بها الدالة z.

مجال تعريف دالة لمتغيرين هو مجموعة معينة من النقاط على مستوى إحداثيات أوكسي. يسمى الإحداثي z تطبيقًا، ثم يتم تصوير الوظيفة نفسها كسطح في الفضاء E 3 . على سبيل المثال:

مثال 39. أوجد مجال الوظيفة.

أ)

التعبير الموجود على الجانب الأيمن يكون منطقيًا فقط عندما . وهذا يعني أن مجال تعريف هذه الدالة هو مجموعة جميع النقاط الواقعة داخل وعلى حدود دائرة نصف قطرها R ومركزها عند نقطة الأصل.

مجال تعريف هذه الدالة هو جميع نقاط المستوى، ما عدا نقاط الخطوط المستقيمة، أي. محاور الإحداثيات.

تعريف. خطوط مستوى الوظيفة هي مجموعة من المنحنيات الموجودة على المستوى الإحداثي، والتي يتم وصفها بواسطة معادلات النموذج.

مثال 40. ابحث عن خطوط مستوى الوظيفة .

حل. خطوط المستوى لدالة معينة هي مجموعة من المنحنيات على المستوى، والتي تصفها المعادلة

تصف المعادلة الأخيرة مجموعة من الدوائر التي مركزها عند النقطة O 1 (1, 1) من نصف القطر . يصبح سطح الدوران (القطع المكافئ) الموصوف بهذه الدالة "أكثر انحدارًا" عندما يتحرك بعيدًا عن المحور، وهو ما تعطى بواسطة المعادلات x = 1، y = 1. (الشكل 4)

4.2 حدود واستمرارية وظائف عدة متغيرات.

1. الحدود.

تعريف. يُطلق على الرقم A نهاية الدالة حيث تتجه النقطة إلى نقطة إذا كان هناك رقم لكل رقم صغير عشوائيًا، بحيث يكون الشرط صحيحًا لأي نقطة، ويكون الشرط صحيحًا أيضًا . اكتب: .

مثال 41. البحث عن الحدود:

أولئك. يعتمد الحد على، مما يعني أنه غير موجود.

2. الاستمرارية.

تعريف. دع النقطة تنتمي إلى مجال تعريف الوظيفة. ثم تسمى الدالة مستمرة عند نقطة if

(1)

والنقطة تميل إلى النقطة بطريقة تعسفية.

إذا لم يتم استيفاء الشرط (1) في أي نقطة، فإن هذه النقطة تسمى نقطة فاصل الدالة. وقد يكون ذلك في الحالات التالية:

1) لم يتم تعريف الدالة عند النقطة .

2) ليس هناك حد.

3) هذا الحد موجود ولكنه لا يساوي .

مثال 42. حدد ما إذا كانت دالة معينة متصلة عند النقطة if .

تلقيت ذلك وهذا يعني أن هذه الدالة مستمرة عند هذه النقطة.

الحد يعتمد على ك، أي. أنها غير موجودة في هذه المرحلة، مما يعني أن الدالة لديها انقطاع في هذه المرحلة.

4.3 المشتقات والتفاضلات لدوال عدة متغيرات

4.3.1 المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى

المشتق الجزئي للدالة بالنسبة للوسيطة x هو المشتق العادي لدالة لمتغير واحد x لقيمة ثابتة للمتغير y ويشار إليه:

المشتق الجزئي للدالة بالنسبة للوسيطة y هو المشتق العادي لدالة لمتغير واحد y لقيمة ثابتة للمتغير x ويشار إليه:

مثال 43. أوجد المشتقات الجزئية للدوال.

4.3.2 المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية

المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية هي مشتقات جزئية من المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. بالنسبة لدالة ذات متغيرين من النموذج، هناك أربعة أنواع من المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية ممكنة:

تسمى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية، والتي يتم فيها التمايز فيما يتعلق بمتغيرات مختلفة، بالمشتقات المختلطة. المشتقات المختلطة من الدرجة الثانية لدالة قابلة للتفاضل مرتين متساوية.

مثال 44. أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.

4.3.3 التفاضل الإجمالي وتطبيقه على الحسابات التقريبية.

تعريف. تم العثور على التفاضل من الدرجة الأولى لدالة ذات متغيرين بواسطة الصيغة

مثال 45. أوجد التفاضل الكامل للدالة.

حل. لنجد المشتقات الجزئية:

بالنسبة للزيادات الصغيرة للوسائط x وy، تتلقى الدالة زيادة تساوي تقريبًا dz، أي. .

صيغة لإيجاد القيمة التقريبية للدالة عند نقطة ما إذا كانت قيمتها الدقيقة عند نقطة ما معروفة:

مثال 46. البحث .

حل. يترك ،

ثم نستخدم الصيغة

إجابة. .

مثال 47. احسب تقريبًا.

حل. دعونا نفكر في الوظيفة. لدينا

مثال 48. احسب تقريبًا.

حل. النظر في الوظيفة . نحن نحصل:

إجابة. .

4.3.4 التمايز بين دالة ضمنية

تعريف. تسمى الدالة ضمنية إذا تم إعطاؤها بواسطة معادلة غير قابلة للحل بالنسبة إلى z.

تم العثور على المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة بواسطة الصيغ:

مثال 49: أوجد المشتقات الجزئية للدالة z المعطاة في المعادلة .

حل.

تعريف. تسمى الدالة ضمنية إذا تم إعطاؤها بواسطة معادلة غير قابلة للحل بالنسبة إلى y.

تم العثور على مشتق هذه الوظيفة بالصيغة:

مثال 50. ابحث عن مشتقات هذه الوظائف.

5.1 الحد الأقصى المحلي لدالة متعددة المتغيرات

التعريف 1. الدالة لها قيمة عظمى عند النقطة if

التعريف 2. الدالة لها حد أدنى عند النقطة if لجميع النقاط القريبة بدرجة كافية من النقطة والمختلفة عنها.

شرط ضروري للأقصى. إذا وصلت الدالة إلى الحد الأقصى عند نقطة ما، فإن المشتقات الجزئية للدالة تختفي أو لا توجد عند تلك النقطة.

تسمى النقاط التي تختفي عندها المشتقات الجزئية أو لا توجد بالحرجة.

علامة كافية على الحد الأقصى. دع الدالة يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة للنقطة الحرجة ولها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية عند هذه النقطة

1) له قيمة عظمى محلية عند النقطة if و ؛

2) لديه الحد الأدنى المحلي عند النقطة if و ;

3) لا يوجد حد أقصى محلي عند النقطة if ؛

مخطط البحث عن أقصى دالة لمتغيرين.

1. أوجد المشتقات الجزئية للدوال: و.

2. حل نظام المعادلات وإيجاد النقاط الحرجة للدالة.

3. ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية، واحسب قيمها عند النقاط الحرجة، وباستخدام الشرط الكافي، استنتج وجود النقاط القصوى.

4. أوجد الحد الأقصى للدالة.

مثال 51. إيجاد الحدود القصوى للدالة .

1) إيجاد المشتقات الجزئية.

2) دعونا نحل نظام المعادلات

4) دعونا نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية وقيمها عند النقاط الحرجة : . عند النقطة نحصل على:

وهذا يعني أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة. عند النقطة نحصل على:

وهذا يعني أن هناك حد أدنى عند هذه النقطة.

5.2 الحد الأقصى الشامل (القيمة الأكبر والأصغر للدالة)

يتم تحقيق القيم الأكبر والأصغر لدالة ذات عدة متغيرات مستمرة في بعض المجموعات المغلقة إما عند النقاط القصوى أو عند حدود المجموعة.

مخطط للعثور على أكبر وأصغر القيم.

1) أوجد النقاط الحرجة الموجودة داخل المنطقة، واحسب قيمة الدالة عند هذه النقاط.

2) التحقيق في الوظيفة على حدود المنطقة؛ وإذا كان الحد يتكون من عدة خطوط مختلفة فيجب إجراء الدراسة لكل قسم على حدة.

3) قارن قيم الوظائف التي تم الحصول عليها وحدد الأكبر والأصغر.

مثال 52. أوجد القيم الأكبر والأصغر لدالة في المستطيل.

حل. 1) لنجد النقاط الحرجة للدالة، لذلك سنجد المشتقات الجزئية: ونحل نظام المعادلات:

لقد حصلنا على النقطة الحرجة A. النقطة الناتجة تقع داخل المنطقة المعطاة،

وتتكون حدود المنطقة من أربعة أجزاء: i. دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في كل قطعة.

4) دعونا نقارن النتائج التي تم الحصول عليها ونجد ذلك عند النقاط .

الفصل 6. نموذج اختيار المستهلك

سنفترض أن هناك سلعًا مختلفة. بعد ذلك سوف نشير إلى مجموعة معينة من البضائع بواسطة ناقل ذو أبعاد n ، أين هي كمية المنتج رقم i. مجموعة جميع مجموعات البضائع X تسمى مسافة.

يتميز اختيار المستهلك الفردي بعلاقة تفضيلية: حيث يعتقد أنه يمكن للمستهلك أن يقول عن أي مجموعتين أكثر رغبة، أو أنه لا يرى الفرق بينهما. علاقة التفضيل متعدية: إذا كانت المجموعة مفضلة على مجموعة، ومجموعة مفضلة على مجموعة، فإن المجموعة أفضل من مجموعة. سنفترض أن سلوك المستهلك موصوف بالكامل من خلال بديهية المستهلك الفردي: يتخذ كل مستهلك فردي قرارات بشأن الاستهلاك والمشتريات وما إلى ذلك، بناءً على نظام تفضيلاته.

6.1 وظيفة المنفعة

يتم تعريف الوظيفة على مجموعة مجموعات المستهلك X والتي تساوي قيمتها على مجموعة المستهلك تقييم المستهلك الفردي لهذه المجموعة. تسمى الوظيفة وظيفة فائدة المستهلك أو وظيفة تفضيل المستهلك. أولئك. كل مستهلك لديه وظيفة المرافق الخاصة به. ولكن يمكن تقسيم مجموعة المستهلكين بأكملها إلى فئات معينة من المستهلكين (حسب العمر، وحالة الملكية، وما إلى ذلك) ويمكن تخصيص وظيفة منفعة معينة، وربما متوسطة، لكل فئة.

وبالتالي، فإن الوظيفة هي تقييم المستهلك أو مستوى رضا احتياجات الفرد عند شراء مجموعة معينة. إذا كانت المجموعة مفضلة على مجموعة لفرد معين، إذن .

خصائص وظيفة المنفعة.

تسمى المشتقات الجزئية الأولى لوظيفة المنفعة بالمرافق الهامشية للمنتجات. ويترتب على هذه الخاصية أن الزيادة في استهلاك منتج واحد مع بقاء استهلاك المنتجات الأخرى دون تغيير يؤدي إلى زيادة في تقييم المستهلك. المتجه هو تدرج الدالة، فهو يوضح اتجاه النمو الأكبر للدالة. بالنسبة للوظيفة، فإن تدرجها هو ناقل للمرافق الهامشية للمنتجات.

أولئك. تنخفض المنفعة الحدية لأي سلعة مع زيادة الاستهلاك.

أولئك. وتزداد المنفعة الحدية لكل منتج مع زيادة كمية المنتج الآخر.

بعض أنواع الوظائف المساعدة.

1) الكلاسيكية الجديدة : .

2) التربيعية: ، حيث تكون المصفوفة سالبة ومحددة ل .

3) الدالة اللوغاريتمية : .

6.2 خطوط اللامبالاة

في المسائل التطبيقية ونماذج اختيار المستهلك، غالبًا ما يتم استخدام حالة خاصة لمجموعة من سلعتين، أي: عندما تعتمد وظيفة الأداة المساعدة على متغيرين. خط اللامبالاة هو خط يربط بين مجموعات المستهلكين التي تتمتع بنفس مستوى إشباع احتياجات الفرد. في جوهرها، خطوط اللامبالاة هي خطوط مستوى الوظيفة. معادلات خطوط اللامبالاة: .

الخصائص الأساسية لخطوط اللامبالاة.

1. خطوط اللامبالاة المقابلة لمستويات مختلفة من إشباع الحاجة لا تتلامس أو تتقاطع.

2. انخفاض خطوط اللامبالاة.

3. خطوط اللامبالاة محدبة للأسفل.

الخاصية 2 تعني مساواة تقريبية مهمة.

توضح هذه النسبة إلى أي مدى ينبغي للفرد أن يزيد (ينقص) استهلاك المنتج الثاني عند خفض (زيادة) استهلاك المنتج الأول بمقدار وحدة واحدة دون تغيير في مستوى إشباع احتياجاته. وتسمى النسبة معدل استبدال المنتج الأول بالثاني، وتسمى القيمة المعدل الهامشي لاستبدال المنتج الأول بالثاني.

مثال 53. إذا كانت المنفعة الحدية للسلعة الأولى 6، والثانية 2، فإذا انخفض استهلاك السلعة الأولى بمقدار وحدة واحدة، يجب زيادة استهلاك السلعة الثانية بمقدار 3 وحدات على نفس المستوى من إشباع الاحتياجات.

6.3 مجموعة الميزانية

يترك - متجه الأسعار لمجموعة من المنتجات n؛ أنا هو دخل الفرد الذي يرغب في إنفاقه على شراء مجموعة من المنتجات. مجموعة مجموعات السلع التي لا تكلف أكثر من I بأسعار معينة تسمى مجموعة الميزانية B. علاوة على ذلك، فإن مجموعة المجموعات التي تكلف I تسمى حدود G لمجموعة الميزانية B. وهكذا. المجموعة B يحدها الحد G والقيود الطبيعية.

يتم وصف الميزانية المحددة بنظام عدم المساواة:

في حالة مجموعة من سلعتين، تكون مجموعة الميزانية B (الشكل 1) عبارة عن مثلث في نظام الإحداثيات، محدود بمحاور الإحداثيات والخط المستقيم.

6.4 نظرية طلب المستهلك

في نظرية الاستهلاك، يُعتقد أن المستهلك يسعى دائمًا إلى تعظيم منفعته وأن القيد الوحيد بالنسبة له هو الدخل المحدود I، الذي يمكنه إنفاقه على شراء مجموعة من السلع. بشكل عام، يتم صياغة مشكلة اختيار المستهلك (مشكلة سلوك المستهلك العقلاني في السوق) على النحو التالي: العثور على مجموعة المستهلك ، مما يزيد من وظيفة المنفعة إلى الحد الأقصى في ظل قيود ميزانية معينة. نموذج رياضيهذه المهمة:

في حالة وجود مجموعة من منتجين:

هندسيًا، الحل لهذه المشكلة هو نقطة التماس بين حدود مجموعة الموازنة G وخط اللامبالاة.

يأتي حل هذه المشكلة في حل نظام المعادلات:

(1)

الحل لهذا النظام هو الحل لمشكلة اختيار المستهلك.

يسمى حل مشكلة اختيار المستهلك بنقطة الطلب. تعتمد نقطة الطلب هذه على الأسعار والدخل. نقطة الطلب هي وظيفة الطلب. في المقابل، دالة الطلب هي مجموعة من الوظائف n، كل منها يعتمد على وسيطة:

تسمى هذه الوظائف وظائف الطلب للسلع المقابلة.

مثال 54. بالنسبة لمجموعة من سلعتين في السوق، الأسعار المعروفة لهما والدخل I، أوجد دوال الطلب إذا كانت دالة المنفعة لها الشكل .

حل. دعونا نفرق بين وظيفة الأداة المساعدة:

دعونا نستبدل التعبيرات الناتجة في (1) ونحصل على نظام المعادلات:

وفي هذه الحالة تكون تكلفة كل منتج نصف دخل المستهلك، وكمية المنتج المشتراة تساوي المبلغ الذي أنفق عليه مقسوما على سعر المنتج.

مثال 55. دع المنفعة تعمل للسلعة الأولى، الثانية،

سعر المنتج الأول وسعر الثاني. دخل . ما هي كمية السلعة التي يجب على المستهلك شراؤها لتحقيق أقصى قدر من المنفعة؟

حل. لنجد مشتقات الدوال المساعدة ونعوض بها في النظام (1) ونحلها:

تعتبر هذه المجموعة من السلع مثالية للمستهلك من وجهة نظر تعظيم المنفعة.

يجب إكمال الاختبار وفق الخيار المحدد بالرقم الأخير من رقم دفتر التقديرات في دفتر منفصل. يجب أن تحتوي كل مشكلة على شرط وحل مفصل وخاتمة.

1. مقدمة في التحليل الرياضي

المهمة 1. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.

المهمة 2. ابحث عن حدود الوظائف.

المهمة 3. ابحث عن نقاط انقطاع الوظيفة وحدد نوعها.

1. 2. 3.

الفصل 2. حساب التفاضل والتكامل لدالة متغير واحد

المهمة 4. ابحث عن مشتقات هذه الوظائف.

1. أ)؛ ب) ج) ص = ؛

د) ص = س 6 + + + 5؛ ه) y = x tan x + ln sin x + e 3x ;

ه) ص = 2 س - أركسين س.

2. أ) ; ب) ص = ; ج) ص = ؛ د) ص = س 2 –+ 3؛ ه) ص = ه كوس؛ ه) ذ = .

3. أ) ذ = lnx؛ ب) ص =؛ ج) ص = قانون الجنسية؛

4. أ) ص = ; ب) ص = (ه 5 س – 1) 6 ; ج) ص = ؛ د) ص = ؛ ه) ص = س 8 ++ + 5؛ ه) ص = 3 س - أركسين س.

5. أ) ص = 2س 3 - + ه س ; ب) ص = ; ج) ص = ؛

د) ص = ؛ ه) ص = 2 كوس؛ ه) ذ = .

6. أ) ذ = lnx؛ ب) ص =؛ ج) ص = قانون الجنسية؛

د) ص = ؛ ه) ص = س 7 + + 1؛ ه) ص = 2.

7. أ) ; ب) ص = ; ج)ص = ؛ د)y = x 2 + xsinx + ; ه) ص = ه كوس؛ ه) ذ = .

8. أ) ص = ; ب) ص = (3 س – 4) 6 ; ج) ص = سينتج؛

د) ص = 3س 4 - - 9+ 9؛ ه) ص =؛

ه)ص = س 2 + أركسين س - س.

9. أ)؛ ب) ; ج) ص = ؛ د) ص = 5 خطيئة 3 س ; ه) ص = س 3 - - 6+ 3؛ ه) ص = 4س 4 + قانون الجنسية.

10. أ) ب) ص = ; ج) ص = (3 س – 4) 6؛ د) ص = ؛ ه)ص = س 2 - س؛ ه) ص = ه الخطيئة 3 س + 2.

المهمة 5. استكشاف الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.

1. أ) ب) ج) .

2. أ) ب) الخامس) .

3. أ) ب) الخامس) .

4. ب) الخامس)

5. أ) ب) الخامس) .

6. أ) ب) الخامس) .

7. أ) ب) ج) .

8. أ) ب) ج) .

9. أ) ب) ج) .

10. أ) ب) الخامس) .

المهمة 6. ابحث عن أكبر وأصغر قيمة للدالة في مقطع معين.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

الفصل 3. حساب التفاضل والتكامل

المشكلة 7. ابحث عن التكاملات غير المحددة.

1. أ) ب)؛

2. أ) ؛ ب) ج) د) .

4. ز)

5. أ) ; ب)؛ الخامس) ؛ ز).

6. أ) ; ب)؛ الخامس)؛ ز)

7. أ) ; ب) ; الخامس) ؛ ز)

8. أ) ; ب)؛ الخامس) ; ز) .

9. أ) ; ب) ج)؛ ز).

10. أ) ب) الخامس) ؛ ز) .

المشكلة 8. حساب التكاملات المحددة.

7. .

10.

المشكلة 9. ابحث عن التكاملات غير الصحيحة أو أثبت أنها متباعدة.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

المشكلة 10. أوجد مساحة المنطقة المحصورة بالمنحنيات

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

الفصل 4. حساب التفاضل والتكامل لوظائف عدة متغيرات.

المهمة 11. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة (أظهر في الرسم).

المشكلة 12. التحقيق في استمرارية الوظيفة في

المشكلة 13. أوجد مشتقة دالة معينة ضمنيًا.

المشكلة 14. احسب تقريبًا

1. أ) ؛ب) ; الخامس)

2. أ) ; ب) ؛ الخامس) .

3. أ) ; ب) ; الخامس) .

4 ا) ; ب) ; الخامس) .

5. أ)؛ ب) ; الخامس) .

6. أ)؛ ب) ؛ الخامس) .

7. أ)؛ ب) ; الخامس) .

8. أ) ؛ب) ; الخامس)

9. أ) ; ب) ؛ الخامس) .

10. أ) ؛ب) ; الخامس)

المشكلة 15. التحقق من وظيفة القيم القصوى.

7. .

8. .

9. .

10. .

المشكلة 16. أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في منطقة مغلقة معينة.

1. في مستطيل

3. في مستطيل

4. في المنطقة المحدودة بالقطع المكافئ

ومحور الإحداثي.

5. تربيع

6. في مثلث محدود بالمحاور الإحداثية والخط المستقيم

7. في مثلث محدود بالمحاور الإحداثية والخط المستقيم

8. في مثلث يحده محاور الإحداثيات والخط المستقيم

9. في المنطقة المحدودة بالقطع المكافئ

ومحور الإحداثي.

10. في المنطقة المحدودة بالقطع المكافئ

ومحور الإحداثي.

رئيسي

1. م.س. كراس، ب.ب. تشوبرينوف. أساسيات الرياضيات وتطبيقها في التعليم الاقتصادي: كتاب مدرسي. - الطبعة الرابعة، الإسبانية. - م: ديلو، 2003.

2. م.س. كراس، ب.ب. تشوبرينوف. الرياضيات للتخصصات الاقتصادية: كتاب مدرسي. - الطبعة الرابعة، الإسبانية. - م: ديلو، 2003.

3. م.س. كراس، ب.ب. تشوبرينوف. الرياضيات لدرجة البكالوريوس الاقتصادية. كتاب مدرسي. - الطبعة الرابعة، الإسبانية. - م: ديلو، 2005.

4. الرياضيات العليا للاقتصاديين. كتاب مدرسي للجامعات / N.Sh. كريمر، ب.أ. بوتكو، آي إم. تريشين، م. فريدمان؛ إد. البروفيسور ن.ش. كريمر، - الطبعة الثانية، المنقحة. وإضافية – م: الوحدة، 2003.

5. كريمر إن.إس.، بوتكو بكالوريوس، تريشين آي إم، فريدمان إم إن.. الرياضيات العليا للتخصصات الاقتصادية. الكتاب المدرسي وورشة العمل (الجزء الأول والثاني) / إد. البروفيسور ن.ش. كريمر، - الطبعة الثانية، المنقحة. وإضافية – م: التعليم العالي، 2007. – 893 ص. – (أساسيات العلوم)

6. دانكو بي.إي.، بوبوف إيه جي.، كوزيفنيكوفا تي.يا. الرياضيات العليا في التمارين والمسائل. م.المدرسة العليا. 1999.

إضافي

1. أنا. بافرين، ف.ل. البحارة. الرياضيات العليا. "مركز النشر الإنساني فلادوس"، 2002.

2. أ. زايتسيف. الرياضيات العليا. "الثانوية العامة"، 1998.

3. أ.س. سولودوفنيكوف، ف. بابايتسيف، أ.ف. برايلوف ، آي جي. شاندرا. الرياضيات في الاقتصاد / في جزأين/. م. المالية والإحصاء. 1999.

إن حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات أمر مستحيل تمامًا دون معرفة المشتقة وطرق حسابها. المشتق هو أحد أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تخصيص مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي، وكيفية حساب مشتق الدالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب أن تكون هناك وظيفة و (خ) ، محددة في فترة زمنية معينة (أ، ب) . تنتمي النقطتان x وx0 إلى هذا الفاصل الزمني. عندما يتغير x، تتغير الدالة نفسها. تغيير الحجة - الفرق في قيمها x-x0 . يتم كتابة هذا الاختلاف كما دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في الدالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف المشتق:

مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيط عندما يميل الأخير إلى الصفر.

وإلا فإنه يمكن كتابتها مثل هذا:

ما الفائدة من إيجاد مثل هذا الحد؟ وهنا ما هو عليه:

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX ومماس الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع، منذ أيام المدرسة يعلم الجميع أن السرعة هي طريق معين س = و (ر) و الوقت ر . السرعة المتوسطة خلال فترة زمنية معينة:

لمعرفة سرعة الحركة في لحظة زمنية ما ر0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: تعيين ثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتقة. علاوة على ذلك، يجب القيام بذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات، خذها كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط تعبير ما، فتأكد من تبسيطه .

مثال. دعونا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتقة مجموع الدوال

مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتقة اختلاف الوظائف.

ولن نقدم برهانًا على هذه النظرية، بل سنأخذ مثالًا عمليًا.

العثور على مشتق من وظيفة:

القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب الدوال

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: إيجاد مشتقة الدالة:

حل:

من المهم الحديث عن حساب مشتقات الدوال المعقدة هنا. مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتقة الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل.

في المثال أعلاه نواجه التعبير:

في هذه الحالة، الوسيطة الوسيطة هي 8x مرفوعة للقوة الخامسة. من أجل حساب مشتقة مثل هذا التعبير، نحسب أولاً مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة، ثم نضرب في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل قسمة دالتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل وظيفتين:

حاولنا التحدث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بسيطًا كما يبدو، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

إذا كانت لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير، سنساعدك على حل أصعب اختبار وفهم المهام، حتى لو لم تقم بإجراء حسابات مشتقة من قبل.

للطلاب الطب، الأطفال، طب الأسنان

والكليات الطبية والوقائية

للعمل المختبري

"المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي"

1. الإثبات العلمي والمنهجي للموضوع:

يعد مفهوما المشتقة والتفاضلية من المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي. يعد حساب المشتقات ضروريًا عند حل العديد من المشكلات في الفيزياء والرياضيات (إيجاد السرعة والتسارع والضغط وما إلى ذلك). وتتحدد أهمية مفهوم المشتقة، على وجه الخصوص، من خلال حقيقة أن مشتقة دالة تحدد معدل تغير هذه الوظيفة عندما تتغير حجتها.

إن استخدام التفاضل يجعل من الممكن إجراء حسابات تقريبية، فضلا عن تقدير الأخطاء.

تشكل طرق العثور على المشتقات والتفاضلات للوظائف وتطبيقها المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكامل. تنشأ الحاجة إلى مفهوم المشتق فيما يتعلق بصياغة مشكلة حساب سرعة الحركة وإيجاد زاوية المماس للمنحنى. المشكلة العكسية ممكنة أيضًا: استخدام السرعة لتحديد المسافة المقطوعة، واستخدام ظل زاوية الظل للعثور على الدالة المقابلة. هذه المشكلة العكسية تؤدي إلى مفهوم التكامل غير المحدد.

يُستخدم مفهوم التكامل المحدد في عدد من المسائل العملية، خاصة في مسائل حساب مساحات الأشكال المستوية، وحساب الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة، وإيجاد القيمة المتوسطة للدالة.

عند الوصف الرياضي لمختلف العمليات والظواهر الفيزيائية والكيميائية والبيولوجية، غالبًا ما تستخدم المعادلات التي لا تحتوي على الكميات التي تتم دراستها فحسب، بل تحتوي أيضًا على مشتقاتها ذات أوامر مختلفة من هذه الكميات. على سبيل المثال، وفقًا لأبسط نسخة من قانون تكاثر البكتيريا، فإن معدل التكاثر يتناسب مع عدد البكتيريا في وقت معين. إذا تم الإشارة إلى هذه الكمية بواسطة N(t)، فإنه وفقًا للمعنى الفيزيائي للمشتق، فإن معدل التكاثر البكتيري هو مشتق من N(t)، وبناءً على القانون المذكور، يمكننا كتابة العلاقة N "(t)=k∙N، حيث k>0 - معامل التناسب. المعادلة الناتجة ليست جبرية، لأنها لا تحتوي فقط على الدالة غير المعروفة N(t)، ولكن أيضًا مشتقتها من الدرجة الأولى.

2. نظرية مختصرة:

1. المشكلات التي تؤدي إلى مفهوم المشتقة

1. مشكلة إيجاد السرعة v لنقطة مادية. دع بعض النقاط المادية تؤدي حركة مستقيمة. في لحظة من الزمن ر 1 النقطة في موضعها م 1. في لحظة من الزمن ر 2 حامل م 2 . دعونا نشير إلى الفاصل الزمني م 1 ، م 2 خلال ΔS; ر 2 -ر 1 =Δt. تسمى القيمة متوسط سرعة الحركة. للعثور على السرعة اللحظية لنقطة في موضع ما م 1 ضروري Δtالاندفاع نحو الصفر. رياضيا هذا يعني ذلك

, (1)

وبالتالي، للعثور على السرعة اللحظية لنقطة مادية، من الضروري حساب حد نسبة زيادة الدالة ΔSلزيادة الوسيطة Δt، بشرط ذلك Δt→0.

2. مشكلة إيجاد زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة.

رسم بياني 1

النظر في الرسم البياني لبعض الوظائف ص = و (س).لماذا الزاوية متساويةإمالة
المماس المرسوم عند نقطة ما م 1 ؟ عند هذه النقطة م 1 لنرسم مماسًا للرسم البياني للدالة. حدد نقطة تعسفية على الرسم البياني م 2 ورسم القاطع. إنه مائل إلى المحور أوهبزاوية α 1 . دعونا نفكر ΔM 1 م 2 أ:

, (2)

إذا كانت النقطة م 1 الإصلاح والنقطة م 2 تقرب ل م 1 ، ثم القاطع م 1 م 2 سوف تذهب الظل إلى الرسم البياني للوظيفة عند هذه النقطة م 1 ويمكنك الكتابة:

, (3)

وبالتالي، من الضروري حساب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة إذا كانت زيادة الوسيطة تميل إلى الصفر.

حد نسبة الزيادة Δy للدالة y=f(x) إلى زيادة الوسيطة Δx عند نقطة معينة x 0 عندما تقترب Δx من الصفر، تسمى مشتقة الدالة عند نقطة معينة.

تدوين مشتق: ذ"، و "(خ)، . أ-بريوري

, (4)

حيث Δx=x 2 -x 1 هي زيادة الوسيطة (الفرق بين قيمتين متتاليتين قريبتين إلى حد ما للوسيطة)، Δy=y 2 -y 1 هي زيادة الدالة (الفرق بين القيمتين للوظيفة المقابلة لقيم الوسيطة هذه).

العثور على مشتقة دالة معينة يسمى لها التفاضل. يتم التمييز بين الوظائف الأولية الرئيسية باستخدام الصيغ الجاهزة (انظر الجدول)، وكذلك استخدامها قواعد:

مشتق من مجموع جبري الدوال تساوي مجموع مشتقات هذه الدوال:

(ش+ υ )"= ش" + υ "

2. مشتقة حاصل ضرب دالتين تساوي مجموع حاصل ضرب الدالة الثانية ومشتقة الأولى والدالة الأولى ومشتقة الثانية:

(ش∙υ )"=ش"υ +شυ "

3. مشتق الحاصل دالتان تساويان كسرًا، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط والبسط ومشتقة المقام، والمقام هو مربع المقام:

المعنى المادي للمشتق. من المقارنة بين (4) و (1) يترتب على ذلك أن السرعة اللحظية للحركة المستقيمة لنقطة مادية تساوي مشتق اعتماد إحداثياتها على الزمن.

المعنى العام لمشتق الدالة هو أنه يميز معدل (سرعة) تغيير الوظيفةلتغيير معين في الحجة. كما يتم التعبير عن سرعة العمليات الفيزيائية والكيميائية وغيرها، على سبيل المثال، معدل تبريد الجسم، ومعدل التفاعل الكيميائي، ومعدل تكاثر البكتيريا، وما إلى ذلك، باستخدام مشتق.

المعنى الهندسي للمشتق.تسمى قيمة ظل زاوية ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة في الرياضيات معامل الزاوية المماس.

المعامل الزاوي للظل المرسوم على الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل عند نقطة معينة يساوي عدديًا مشتقة الدالة عند هذه النقطة.

ويسمى هذا البيان المعنى الهندسي للمشتق.

والتي درسنا فيها أبسط المشتقات، وتعرفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات الفنية لإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو إذا كانت بعض النقاط في هذه المقالة غير واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل وظيفة واحدة داخل أخرى) بوظيفة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أستخدم التعبيرات غير الرسمية مثل "وظيفة خارجية" و"وظيفة داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن أن "يتمزق إلى أجزاء":

في هذا المثال، أصبح من الواضح بالفعل من خلال شرحي أن الدالة هي دالة معقدة، وأن كثير الحدود هو دالة داخلية (تضمين)، ودالة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت جيب الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة .

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيفية العثور على المشتقة؟ نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، وننظر إلى جدول مشتقات الدوال الأولية ونلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

نتيجة تطبيق الصيغة في شكله النهائي يبدو مثل هذا:

عادةً ما يتم وضع العامل الثابت في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم إجراء الأس، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقا للصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "X"، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي نتيجة تطبيق قاعدة التفريق بين دالة معقدة التالي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا اختصار التعبير إلى قاسم مشترك بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تشعر بالارتباك، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة ولكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف غير عادي. هنا هو مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من المربح أكثر العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم القاعدة لدينا :

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاث دوال مختلفة واثنين من التضمينات، في حين أن الدالة الأعمق هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقا للقاعدة عليك أولاً أن تأخذ مشتق الوظيفة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير معقد، وهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.