Методът се основава на математическия апарат на алгебрата на логиката. Изчисляването на надеждността на системата за управление включва определяне на връзката между сложно събитие (отказ на системата) и събитията, от които зависи (откази на елементи на системата). Следователно изчисленията за надеждност се основават на извършване на операции със събития и изявления, които се приемат като изявления за работоспособността или повредата на елемент (система). Всеки елемент от системата е представен от логическа променлива, която приема стойност 1 или 0.
Събитията и твърденията с помощта на операции на дизюнкция, конюнкция и отрицание се комбинират в логически уравнения, съответстващи на състоянието на работоспособността на системата. Компилира се логическа здравна функция. Изчислението, базирано на прякото използване на логически уравнения, се нарича логическо-вероятностно и се извършва на седем етапа:
1. Устно формулиране на условията за работоспособност на обекта. Описана е зависимостта на изправността на информационната система от състоянието на отделните й елементи.
2. Съставяне на логическа функция на здравето. Това е логическо уравнение, съответстващо на условието за работоспособност на системата за управление
което се изразява в дизюнктивна форма, например:
където x i е условието за работоспособност i - ти елемент Fl; X i = 1 е работещо състояние, X i = 0 е неработещо състояние.
3. Привеждане на логическата функция на здравето F L до ортогонална неповтаряща се форма F L . Сложна логическа функция на работоспособността трябва да бъде сведена до ортогонална неповтаряща се форма.
Функция от формата (2.2) се нарича ортогонална, ако всички нейни членове D i са ортогонални по двойки (т.е. тяхното произведение е равно на нула), и неповтаряща се, ако всеки от нейните членове D i се състои от букви x i , с различни числа (т.е. няма повтарящи се аргументи), например: произведението на елементарни връзки x 1, x 2, x 4 и x 3, x 2 е нула, тъй като един от тях съдържа x2, и другият x2, следователно те са ортогонални; D 1 \u003d x 1 ×x 2 ×x 2, където x2и x 2 имат едно и също число, така че членът D 1 не е неповтарящ се.
– ортогонална неповтаряща се форма;
- ортогонална, но не и неповтаряща се форма.
Функцията F l може да се трансформира в ортогонална неповтаряща се форма F lo, като се използват законите и правилата за трансформация на сложни твърдения. При изчисляването най-често срещаните правила са:
1) x 1 × x 2 \u003d x 2 × x 1;
4. Аритметизация F lo. Аритметичната функция F a (2.3) се определя от намерената ортогонална неповтаряща се логическа функция на работоспособността F LO.
където A i е аритметичната форма на членовете D i на функцията F lo.
Аритметизацията на термините D i , в общ вид, съдържащ операциите дизюнкция, конюнкция и отрицание, се извършва чрез заместване на логическите операции с аритметични според правилата:
5. Определяне на вероятността за безотказна работа на системата.
Вероятността за безотказно функциониране на системата се задава като вероятността за истинността на логическата функция на здравето, представена в ортогонална неповтаряща се форма, и се изчислява като сумата от вероятностите за истинност на всички ортогонални членове на тази функция на логическата алгебра. Всички събития (изявления) се заменят с техните вероятности (вероятности за безотказно функциониране на съответните елементи).
Упражнение
Изчислете вероятността за непрекъсната работа Настолен компютърсистеми със структурата и параметрите, посочени в точка 6.4, чрез логико-вероятностния метод. Сравнете получените резултат с граничните оценки, получени в раздел 6.
Елементи на теорията
Нека x=(x 1 ,..., x n) е n-мерен вектор, характеризиращ състоянието на системата, където x i- булева променлива: x i= 1 ако аз-та подсистема е работеща и,x i =0 в противен случай.
Като въведете подходящия критерий за повреда на системата, можете да дефинирате булева функция, която описва състоянието на изправност или повреда на системата:
R(x)=1, ако системата работи. R(x)=0, ако системата се повреди.
Ако системата е в състояние на повреда. ако системата работи.
Тук R(x) е функцията за работоспособност, е функцията на отказ в състоянието Х.
Нека да преминем към вероятностните функции:
Тук Р- вероятност за безотказно функциониране на системата И Q- вероятност за отказ на системата, определена за случая, когато x iотговаря на работното състояние аз-ти елемент (подсистема). РИ Qса определени тук за същия момент във времето като Р(x i) и р(x i) - вероятности за безотказна работа и отказ на елементи.
Структурата на системата се нарича монотонна, ако за функцията R(x) са изпълнени следните условия:
a) R(1)= 1, където 1 =(1,...,1);
b) R(0) = 0, където 0 = (0,...,0);
V) Р(Х) ≥R(y), Ако x ≥ y,
където условие (c) се разбира като набор Пусловия x i ≥y i.
За оценка на надеждността на такива системи се използват методът на минималните пътища и минималните участъци, методът на логическата вероятност и др.
Монотонните структури включват последователно-паралелни и паралелно-серийни структури, както и несводими към тях , като, например, "мост".
Пример за решение
Ще разгледаме приложението на логико-вероятностния метод, който позволява да се получи точната стойност на вероятността за безотказна работа, използвайки мостовата структура, показана на фиг. 1 като пример. 6.1.
функция Р (Х)представят в дизюнктивна нормална форма (DNF) чрез набор от минимални пътища (вижте раздел 6.2)
R(x) = x 1 x 4 V x 1 x 3 x 5 V х 2 х 5 V x 2 x 3 x 4,
Където x i -булева променлива, която определя здравословното състояние i-тоелемент. Матрична форма на булева функция R(x)показано на фигура 7.1.
Да изчисля R sнеобходимо R(x)представят в ортогонална форма R орт, тези. като набор от непресичащи се интервали.
И в съответствие с матрицата на фиг. 7.1 имаме:
За изчисление е достатъчно в (7.1) x iзамени с p i , чрез 1 -p i , конюнкция - чрез произведение и дизюнкция - чрез сума. Правейки това, получаваме:
Позволявам страз = стр=0,8 тогава,
Сравнение с резултата, получен в раздел 6.3. дава:
0,9069<0,9611<0,9692
Библиографски списък
1. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Ръководство за изчисляване на надеждността на радиоелектронната и автоматичната техника. - М.: Сов. радио, 1975. - 472 с.
2. Июду К.А. Надеждност, контрол и диагностика на компютри и системи. – М.: Vyssh.shk., 1989. – 216 с.
3. Надеждност на техническите системи: Справочник / Ю.К. Беляев, В.А. Богатирьов и др.; Изд. И.А. Ушаков. - М.: Радио и комуникации, 1985. - 608 с.
4. Дружинин Г.В. Надеждност на автоматизирани производствени системи. - 4-то изд. – М.: Енергоатом-издат, 1986. – 480 с.
5. Каган Б.М., Мкртумян И.Б. Основи на работа с компютър. – М.: Енергоатомиздат, 1988. – 432 с.
Лекция 9
Тема: Оценка на надеждността по метода на пътеки и участъци. Логико-вероятностни методи за анализ на сложни системи
Планирайте
1. Методът на минималните пътища и участъци за изчисляване на показателите за надеждност на системи с разклонена структура.
2. Основни дефиниции и понятия на логико-вероятностните методи за анализ и оценка на надеждността на ИС.
3. Същността на метода за най-краткия път на успешна работа и минималния участък от повреди.
4. Изчисляване на функцията на издръжливост и функцията на отказ за мостовата конструкция.
5. Области на приложение на тези методи. Статистическо моделиране за оценка на надеждността на ИС.
Ключови думи
Показатели за надеждност, разклонена структура на ИС, минимален път, участък, логико-вероятностен метод, мостова схема, здравна функция, най-кратък път на успешна работа, минимален участък на отказ, вероятност за безотказна работа, функция на логическата алгебра, структурна диаграма за изчисляване на надеждността .
Има структури и начини за организиране на ИС, когато има резервиране, но то не може да бъде представено чрез схемата на последователно и паралелно включване на елементи или подсистеми. За анализ на надеждността на такива структури се използва методът на минималните пътеки и секции, който се отнася до приблизителни методи и ви позволява да определите граничните оценки на надеждността отгоре и отдолу.
Пътят в сложна структура е последователност от елементи, които осигуряват функционирането (работоспособността) на системата.
Разделът е набор от елементи, чиито повреди водят до повреда на системата.
Вероятността за безотказна работа на последователно свързани паралелни вериги дава горната оценка за FBG на система с тази структура. Вероятността за безотказна работа на паралелно свързани последователни вериги на елементи на пътя дава по-ниска оценка за FBG на система с тази структура. Действителната стойност на показателя за надеждност е между горната и долната граница.
Помислете за мостова схема за свързване на елементите на система, състояща се от пет елемента (фиг. 1).
Ориз. 1. Мостова схема за свързващи елементи (подсистема)
Тук набор от елементи образува минимален път, ако изключването на който и да е елемент от набора доведе до неуспех на пътя. От това следва, че в рамките на един път елементите са в основната връзка, а самите пътища са свързани паралелно. Набор от минимални пътеки за преодоляванепредставени на фиг. 2. Пътищата образуват елемент 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.
Ориз. 2. Набор от минимални пътища.
За всички елементи на веригата са известни FBG Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 и съответните им вероятности за повреда от "отворен" типQЕдин час Q 5 , е необходимо да се определи вероятността за наличие на верига между точките АИ V. Тъй като един и същи елемент е включен в два паралелни пътя, резултатът от изчислението е горна оценка на надеждността.
R в = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-Р 1 Р 3)(1-Р 2 Р 4)(1-Р 1 Р 5 Р 4)(1-Р 2 Р 5 Р 3)
При определяне на минималните напречни сечения се извършва изборът на минималния брой елементи, прехвърлянето на които от работно състояние в неработоспособно причинява повреда на системата.
При правилен избор на елементите на сечението, връщането на който и да е от елементите в работно състояние възстановява работното състояние на системата.
Тъй като повредата на всяка от секциите причинява повреда на системата, първите са свързани последователно. В границите на всяка секция елементите са свързани паралелно, тъй като за да работи системата е достатъчно да има работоспособно състояние на който и да е от елементите на секция.
Диаграмата на минималните напречни сечения за мостовата верига е показана на фиг. 3. Тъй като един и същи елемент е включен в два раздела, получената оценка е по-ниска оценка.
Пн = П 12 ∙ П 34 ∙ П 154 ∙ П 253 = (1- р 1 р 2 )∙ (1- р 3 р 4 )∙ (1- р 1 р 5 р 4 )∙ (1- р 2 р 5 р 3 )
Ориз. 3. Набор от минимални секции
Вероятност за работа на системата R sслед това се оценява чрез двойното неравенство
R n ≤R с ≤R инч
По този начин този метод дава възможност да се представи система с произволна структура под формата на паралелни и последователни вериги. (При съставянето на минималните пътища и участъци всяка система се трансформира в структура с паралелно-последователно или последователно-паралелно свързване на елементи). Методът е прост, но изисква точно дефиниране на всички пътища и участъци. Той се използва широко при изчисляване на надеждността на подсистемите на APCS, особено във връзка със системите за защита и логически контрол. Използва се в системи за управление на мощността на реактора, които осигуряват възможност за превключване от една повредена управляваща верига към друга, която е в режим на готовност.
Логически и вероятностни методи за анализ на надеждността на системите
Същността на логико-вероятностните методи се състои в използването на функции на логическата алгебра (FAL) за аналитично записване на условията за работа на системата и прехода от FAL към вероятностни функции (WF), които обективно изразяват надеждността на системата. Тези. използвайки логико-вероятностния метод, е възможно да се опишат IC вериги за изчисляване на надеждността с помощта на апарата на математическата логика, последвано от използването на теорията на вероятностите при определяне на показателите за надеждност.
Системата може да бъде само в две състояния: в състояние на пълна работоспособност ( при= 1) и в състояние на пълна повреда ( при= 0). Приема се, че действието на системата е детерминирано зависимо от действието на нейните елементи, т.е. прие функция х 1 , Х 2 , … , x i, … , x n. Предметите могат също така да бъде само в две несъвместими състояния: пълна работоспособност (x i = 1) и пълен отказ (x i = 0).
Функция от алгебрата на логиката, която свързва състоянието на елементите със състоянието на системата при (х 1 , Х 2 ,…, x n) са наречени здравна функциясистемиЕ(г) = 1.
За оценка на работните състояния на системата се използват две концепции:
1) най-краткият път на успешна работа (KPUF), който е такава връзка на неговите елементи, нито един от компонентите на който не може да бъде премахнат, без да се наруши функционирането на системата. Такава връзка се записва като следния FAL:
Където аз- принадлежи на множество числа
съответстващи на това
л-му начин.
С други думи, KPUF на системата описва едно от нейните възможни работни състояния, което се определя от минималния набор от работещи елементи, които са абсолютно необходими за изпълнение на функциите, определени за системата.
2) минималното напречно сечение на повреда на системата (MSF), което е такава връзка на отрицанията на нейните елементи, нито един от компонентите на които не може да бъде отстранен, без да се нарушат условията за неработоспособност на системата. Такава връзка може да бъде написана като следния FAL:
Където означава набор от числа, съответстващи на дадения раздел.
С други думи, MCO на системата описва един от възможните начини за прекъсване на системата с помощта на минимален набор от повредени елементи.
Всяка резервна система има краен брой най-кратки пътища (л= 1, 2,…, м ) и минимални напречни сечения (й= 1, 2,…, м).
Използвайки тези концепции, можем да запишем условията за работа на системата.
1) под формата на дизюнкция на всички налични най-кратки пътища за успешно функциониране.
;
2) под формата на съвкупност от отрицания на всички MCO
;
По този начин условията за работа на реална система могат да бъдат представени като условията за работа на някаква еквивалентна (по отношение на надеждността) система, чиято структура е паралелна връзка на най-кратките пътища на успешна работа, или друга еквивалентна система, структура от които е комбинация от отрицания на минимални секции.
Например, за мостовата структура на IC, функцията за изправност на системата, използваща KPUF, ще бъде написана както следва:
;
функцията за работоспособност на същата система чрез MCO може да бъде написана в следната форма:
При малък брой елементи (не повече от 20) може да се използва табличен метод за изчисляване на надеждността, който се основава на използването на теоремата за добавяне на вероятностите от съвместни събития.
Вероятността за безотказна работа на системата може да се изчисли по формулата (чрез вероятностна функция на формата):
Логико-вероятностните методи (методи: рязане, табличен, ортогонализиране) се използват широко в диагностични процедурипри конструиране на дървета на грешки и определяне на основните (първоначални) събития, които причиняват отказ на системата.
За надеждността на компютърна система със сложна структура на резервиране може да се използва метод за статистическо моделиране.
Идеята на метода е да генерира булеви променливиx i° С дадена вероятностпи поява на единица, които се заместват в логическата структурна функция на симулираната система в произволна форма и след това резултатът се изчислява.
Агрегат х 1 , Х 2 ,…, Х ннезависими случайни събития, които образуват пълна група, се характеризира с вероятностите за възникване на всяко от събитиятастр(x i), и .
За да се симулира този набор от случайни събития, се използва генератор на случайни числа, равномерно разпределени в интервала
Значение пи се избира равна на вероятността за безотказна работаазта подсистема. В този случай процесът на изчисление се повтарян 0 пъти с нови, независими стойности на произволен аргументx i(това брои числотон(T) единични стойности на логическата структурна функция). Поведениен(T)/ н 0 е статистическа оценка на вероятността за непрекъсната работа
Където н(T) - броят на безупречно работещите до моментаTобекти, с оригиналния им номер.
Генериране на случайни булеви променливиx iс дадена вероятност за поява на един Р азсе извършва на базата на случайни величини, равномерно разпределени в интервала, получени с помощта на стандартни програми, включени в математическия софтуер на всички съвременни компютри.
Контролни въпроси и задачи
1. Какъв е методът за оценка на надеждността на ИС, при който вероятността за безотказно функциониране на системата се определя като R n ≤R с ≤R инч.
2. За изчисляване на надеждността на кои системи се използва методът на пътищата и участъците?
3. Какъв метод може да се използва за оценка на надеждността на мостови устройства?
4. Какви методи за определяне на показателите за надеждност на възстановими системи са известни?
5. Представете структурно мостова верига като набор от минимални пътеки и секции.
6. Определете минималния път и минималния участък.
7. Напишете здрава функция за разклонено устройство?
8. Какво е функция на изпълнение?
9. Какъв е най-краткият път към успешна операция (KPUF). Запишете условията на труд под формата на KPUF.
10. Къде се използва логико-вероятностният метод за оценка на надеждността?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНИ МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ НА НАДЕЖДНОСТТА
Всеки метод за анализ на надеждността изисква описание на условията за работа на системата. Такива условия могат да бъдат формулирани въз основа на:
Структурна схема на функциониране на системата (схема за изчисление на надеждността);
Словесно описание на функционирането на системата;
Графични схеми;
Функции на алгебрата на логиката.
Логико-вероятностният метод за анализ на надеждността дава възможност да се формализира определението и значението на благоприятните хипотези. Същността на този метод е следната.
Състоянието на всеки елемент е кодирано с нула и едно:
Във функциите на алгебрата на логиката състоянията на елементите са представени в следната форма:
х аз- добро състояние на елемента, отговарящ на код 1;
Състоянието на повреда на елемента, съответстващо на код 0.
Използвайки функциите на алгебрата на логиката, условието за работоспособност на системата се записва чрез работоспособността (състоянието) на нейните елементи. Получената функция за изправност на системата е двоична функция от двоични аргументи.
Полученият FAL се трансформира по такъв начин, че съдържа термини, съответстващи на благоприятни хипотези за правилната работа на системата.
В FAL вместо двоични променливи x iи вероятностите се заместват, съответно, за безаварийна работа p iи вероятност за неуспех q i .Знаците на конюнкция и дизюнкция се заменят с алгебрично умножение и събиране.
Полученият израз е вероятността за безпроблемна работа на системата Pc(t).
Разгледайте логико-вероятностния метод с примери.
ПРИМЕР 5.10.Блоковата схема на системата е основното (последователно) свързване на елементи (фиг. 5.14).
На блоковата схема x i , i = 1, 2,..., П- състояние аз-ти елемент от системата, кодиран с 0, ако елементът е в неизправно състояние, и 1, ако е изправен. В този случай системата е работоспособна, ако всички нейни елементи работят. Тогава FAL е конюнкция на логически променливи, т.е. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p,което е идеална дизюнктивно нормална форма на системата.
Замествайки вместо логически променливи вероятностите за добро състояние на елементите и замествайки връзката с алгебрично умножение, получаваме:
ПРИМЕР 5.11.Блоковата схема на системата е дублирана система с нееквивалентни, постоянно включени подсистеми (фиг. 5.15).
На фиг. 5.15 х 1И х 2- състояния на елементите на системата. Нека направим таблица на истината от две двоични променливи (Таблица 5.2).
В таблицата 0 е състоянието на повреда на елемента, 1 е доброто състояние на елемента. В този случай системата е работеща, ако работят и двата елемента (1,1) или един от тях ((0,1) или (1,0)). След това работоспособното състояние на системата се описва със следната логическа алгебрична функция:
Тази функция е идеална дизюнктивна нормална форма. Заменяйки операциите на дизюнкция и конюнкция с алгебричните операции на умножение и събиране и логическите променливи със съответните вероятности за състоянието на елементите, получаваме вероятността за безотказната работа на системата:
ПРИМЕР 5.12.Блоковата схема на системата има вида, показан на фиг. 5.16.
Нека направим таблица на истината (Таблица 53).
В този пример системата е работеща, ако всички нейни елементи работят или ако елементът работи x iи един от елементите на дублираната двойка (х 2, х 3). Въз основа на таблицата на истината, SDNF ще изглежда така:
Замествайки съответните вероятности вместо двоични променливи и алгебрично умножение и събиране вместо конюнкции и дизюнкции, получаваме вероятността за безопасна работа на системата:
Функцията на алгебрата на логиката може да бъде представена в минимална форма, като се използват следните трансформации:
Операциите поглъщане и слепване не са приложими в алгебрата. В тази връзка е невъзможно да се минимизира получената FAL и след това да се заменят стойностите на вероятностите вместо логическите променливи. Вероятностите на състоянията на елементите трябва да бъдат заменени в SDNF и опростени според правилата на алгебрата.
Недостатъкът на описания метод е необходимостта от съставяне на таблица на истината, което изисква изброяване на всички работещи състояния на системата.
5.3.2. Метод на най-кратките пътища и минималните участъци
Този метод е обсъден по-рано. в раздел 5.2.3.Нека го формулираме от гледна точка на алгебрата на логиката.
Функцията за работоспособност може да се опише с помощта на най-кратките пътища на движение на системата и минималните участъци на нейния отказ.
Най-краткият път е минималната връзка от работещи: станции от елементи, които образуват работеща система.
Минималната секция е минималната връзка на неработещите състояния на елементите, които формират неработоспособното състояние на системата.
ПРИМЕР 5.13.Необходимо е да се формира функцията за работоспособност на системата, чиято блок-схема е показана на фиг. 5.17 използване на метода на най-кратките пътища и минималните участъци.
Решение.В този случай най-кратките пътища, които формират работеща система, ще бъдат: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2.Тогава функцията здраве може да бъде написана като следната функция на логическата алгебра:
В съответствие с този FAL, блоковата схема на системата на фиг. 5.17 може да се представи чрез блоковата схема на фиг. 5.18.
Минималните секции, които образуват неработеща система, ще бъдат: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2.Тогава функцията за неработоспособност може да бъде написана като следната функция на логическата алгебра:
В съответствие с този FAL, блоковата схема на системата ще бъде представена във формата, показана на фиг. 5.19.
Трябва да се има предвид, че блоковите схеми на фиг. 5.18 и фиг. 5.19 не са схеми за изчисляване на надеждността и изразите за FAL на работещите и неработоспособните състояния не са изрази за определяне на вероятността за безотказна работа и вероятността от повреда:
Основните предимства на FAL са, че те позволяват да се получат формално, без да се съставя таблица на истината, PDNF и CKNF (перфектна конюнктивна нормална форма), което прави възможно получаването на вероятността за безотказна работа (вероятност за повреда) на системата чрез заместване в FAL вместо логически променливи на съответните стойности на вероятностите за безотказна работа, замествайки операциите на връзка и дизюнкция с алгебричните операции на умножение и събиране.
За да се получи SDNF, е необходимо да се умножи всеки дизюнктивен член на FAL по, където x i- липсващият аргумент и разширете скобите. Отговорът е SDNF. Нека разгледаме този метод с пример.
ПРИМЕР 5.14.Необходимо е да се определи вероятността за безотказна работа на системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 5.17. Вероятностите за безотказна работа на елементите са равни на стр. 1, стр. 2, стр. 3, стр. 4, r 5 .
Решение.Нека използваме метода на най-краткия път. Функцията на логическата алгебра, получена чрез метода на най-краткия път, има формата:
Получаваме SDNF на системата. За да направим това, умножаваме дизюнктивните членове по липсващите:
Разширявайки скобите и извършвайки трансформации според правилата на алгебрата на логиката, получаваме SDNF:
Заместване в SDNF вместо х 1, х 2, х 3 , х 4, х 5вероятности за ъптайм стр. 1, стр. 2, стр. 3, стр. 4, стр. 5и използване на съотношенията ци = 1–p i, получаваме следния израз за вероятността за безотказна работа на системата.
От горния пример се вижда, че методът на най-кратките пътища ни освободи от дефиницията на благоприятни хипотези. Същият резултат може да се получи с помощта на метода на минималните секции.
5.3.3. Алгоритъм за нарязване
Алгоритъмът за рязане позволява да се получи FAL, замествайки в които, вместо логически променливи, вероятността за безотказна работа (вероятност от повреда) на елементите, може да се намери вероятността за безотказна работа на системата. За тази цел не е необходимо да получавате CDNF.
Алгоритъмът за разделяне се основава на следната теорема на логическата алгебра: функцията на логическата алгебра y(x b x 2,...,x n)може да се представи в следната форма:
Нека покажем приложимостта на тази теорема на три примера:
Прилагайки втория закон за разпределение на алгебрата на логиката, получаваме:
ПРИМЕР 5.15.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 5.16 с помощта на алгоритъма за нарязване.
Решение.Използвайки метода на най-краткия път, получаваме следния FAL:
Нека приложим алгоритъма за рязане:
Замествайки вместо логическите променливи вероятностите и заменяйки операциите на свързване и дизюнкция с алгебрично умножение и събиране, получаваме:
ПРИМЕР 5.16.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 5.17. Използвайте алгоритъма за рязане.
Решение.Функцията на логическата алгебра, получена по метода на минималните сечения, има формата:
Изпълняваме алгоритъма за рязане по отношение на х 5:
Ние опростяваме получения израз, като използваме правилата на алгебрата на логиката. Ние опростяваме израза в първите скоби, като използваме правилото за поставяне в скоби:
Тогава FAL ще изглежда така:
Този израз съответства на блоковата диаграма на фиг. 5.20.
Получената схема също е схема за изчисление на надеждността, ако логическите променливи се заменят с вероятностите за безотказна работа p 1, p 2, p 3, p 4, p 5,а променливата е вероятността от повреда q 5 .От фиг. 5.20 се вижда, че блоковата схема на системата е сведена до последователно-паралелна верига. Вероятността за безотказна работа се изчислява по следната формула:
Формулата не се нуждае от обяснение, тя се записва директно според блоковата схема.
5.3.4. Алгоритъм за ортогонализиране
Алгоритъмът за ортогонализиране, подобно на алгоритъма за рязане, позволява на формалните процедури да образуват функция на алгебрата на логиката, замествайки в нея вместо логически променливи вероятности, а вместо дизюнкции и конюнкции - алгебрично събиране и умножение, за да се получи вероятността за проблем- безплатна работа на системата. Алгоритъмът се основава на трансформацията на функциите на логическата алгебра в ортогонална дизюнктивна нормална форма (ODNF), която е много по-кратка от SDNF. Преди да опишем методологията, формулираме редица определения и даваме примери.
две съюзиНаречен ортогонален,ако произведението им е идентично нула. Дизюнктивна нормална формаНаречен ортогонален,ако всички негови членове са по двойки ортогонални. SDNF е ортогонална, но най-дългата от всички ортогонални функции.
Ортогоналната DNF може да се получи с помощта на следните формули:
Тези формули са лесни за доказване с помощта на втория закон за разпределение на алгебрата на логиката и теоремата на Де Морган. Алгоритъмът за получаване на ортогонална дизюнктивна нормална форма е следната процедура за трансформация на функцията y(x 1, x 2,..., x n)в ODNF:
функция y(x 1, x 2,..., x n)преобразувани в DNF чрез метода на най-кратките пътища или минималните участъци;
Ортогоналната дизюнктивно-нормална форма се намира с помощта на формули (5.10) и (5.11);
Функцията се минимизира чрез приравняване на нула на ортогоналните членове на ODNF;
Булевите променливи се заменят с вероятностите за безотказна работа (вероятности за отказ) на елементите на системата;
Крайното решение се получава след опростяване на израза, получен в предишната стъпка.
Нека разгледаме техниката с пример.
ПРИМЕР 5.17.Определете вероятността за безотказна работа на системата, чиято блокова схема е показана на фиг. 5.17. Приложете метода на ортогонализиране.
Решение.В този случай функционирането на системата се описва със следната функция на логическата алгебра (метод на минималните сечения):
Обозначете К 1= x 1 x 2, K 2= х 3 х 4, К 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Тогава ODNF ще бъде написан в следната форма:
Стойности , т.е= 1,2,3, въз основа на формула (5.10) ще има формата:
Замествайки тези изрази в (5.12), получаваме:
Заменяйки логическите променливи в този израз със съответните вероятности и изпълнявайки алгебричните операции на събиране и умножение, получаваме вероятността за безопасното функциониране на системата:
Отговорът е същият като в пример 5.14.
Примерът показва, че алгоритъмът за ортогонализиране е по-продуктивен от методите, обсъдени по-рано. По-подробно логико-вероятностните методи за анализ на надеждността са описани в. Логико-вероятностният метод, както всеки друг, има своите предимства и недостатъци. Заслугите му са споменати и преди. Нека посочим недостатъците му.
Изходните данни в логико-вероятностния метод са вероятностите за безотказно функциониране на елементите на структурната схема на системата. В много случаи обаче тези данни не могат да бъдат получени. И не защото надеждността на елементите е неизвестна, а защото времето на работа на елемента е случайна величина. Това се случва при резервиране чрез подмяна, наличие на последействие от повреда, неодновременна работа на елементи, наличие на възстановяване с различна дисциплина на обслужване и в много други случаи.
Нека дадем примери, илюстриращи тези недостатъци. Блоковата схема на системата има вида, показан на фиг. 5.21, където се приемат следните обозначения: x i- логически променливи със стойности 0 и 1, съответстващи на повредата и правилната работа на елемента, x i = 1, 2, 3.
В този случай логическата променлива ds 3 е 0 до момента на повреда τ на основния елемент и 1 през времето (t-τ),Където T- времето, през което се определя вероятността за безотказна работа на системата. време τ е произволна стойност, така че стойността р(τ)неизвестен. В този случай е невъзможно да се компилира FAL и още повече SDNF. Нито един от логико-вероятностните методи, които разгледахме, не ни позволява да намерим вероятността системата да работи безопасно.
Ето още един типичен пример. Енергийната система се състои от регулатор на напрежението Р n и два паралелни генератора G 1 и G 2 . Блоковата схема на системата е показана на фиг. 5.22.
Ако един от генераторите се повреди, останалият работещ генератор работи с един общ товар. Процентът му на отказ нараства. Ако преди момента τ на повреда на един от генераторите, интензивността на повредата му беше равна на λ , след това след отказ λ1 > λ2. От времето τ тогава е произволно Р(τ)неизвестен. Тук, както и в случая на резервиране чрез заместване, логико-вероятностните методи са безсилни. По този начин тези недостатъци на логико-вероятностните методи намаляват практическото им приложение при изчисляване на надеждността на сложни системи.
5.4. Топологични методи за анализ на надеждността
Ще наречем топологични методи, които ви позволяват да определите показателите за надеждност или чрез графиката на състоянието, или чрез структурната диаграма на системата, без да компилирате или решавате уравнения. На топологичните методи са посветени редица работи, които описват различни начини за тяхното практическо прилагане. Този раздел очертава методи за определяне на индикаторите за надеждност от графиката на състоянието.
Топологичните методи позволяват да се изчислят следните показатели за надеждност:
- P(t)- вероятност за безотказна работа през време T;
- T1, - средно време на безотказна работа;
- K g (t)- функция за готовност (вероятност системата да работи във всеки произволен момент от време T);
- Килограма= - коефициент на готовност;
T- време между отказите на възстановената система.
Топологичните методи имат следните характеристики:
Простота на изчислителните алгоритми;
Висока яснота на процедурите за определяне на количествените характеристики на надеждността;
Възможност за приблизителни оценки;
Няма ограничения за вида на блоковата диаграма (системи, възстановими и невъзстановими, нередундантни и резервирани с всякакъв вид резервиране и всякаква множественост).
Тази глава ще обсъди ограниченията на топологичните методи:
Степента на отказ и възстановяване на елементите на сложна система са постоянни величини”;
Времевите показатели за надеждност, като вероятността за безотказна работа и функцията за наличност, се определят в трансформации на Лаплас;
Трудности, в някои случаи непреодолими, при анализа на надеждността на сложни системи, описани от многосвързана графа на състоянието.
Идеята на топологичните методи е следната.
Графиката на състоянието е един от начините за описание на функционирането на системата. Той определя вида на диференциалните уравнения и техния брой. Интензитетите на преходите, които характеризират надеждността на елементите и тяхната възстановимост, определят коефициентите на диференциалните уравнения. Началните условия се избират чрез кодиране на възлите на графиката.
Графиката на състоянието съдържа цялата информация за надеждността на системата. И това е причината да се смята, че показателите за надеждност могат да бъдат изчислени директно от графиката на състоянието.
5.4.1. Определяне на вероятностите за състояния на системата
Вероятност за намиране на възстановимата система в състояние азвъв фиксиран момент от време Tв преобразуването на Лаплас може да се запише в следната форма:
Където ∆(s)- основната детерминанта на системата от диференциални уравнения, написани с трансформации на Лаплас; Δi(s)е частна детерминанта на системата.
От израза (5.13) се вижда, че пи(и)ще се определи, ако градусите се намерят от графиката на състоянието Типполиноми на числителя и знаменателя, както и коефициентите Бидж (й = 0,1,2,..., м) И A i(аз = 0,1, 2,..., н-1).
Нека първо разгледаме метода за определяне пи(и)графиката на състоянията само на такива системи, в чиято графика на състоянията няма преходи през състояния. Те включват всички нерезервирани системи, резервирани системи с общо резервиране с цяло число и дробна кратност, резервни системи от произволна структура с поддръжка на повредени устройства в обратния ред на постъпването им за ремонт. Този клас системи включва и някои резервирани системи с еднакво надеждни устройства с различни дисциплини за тяхната поддръжка.
Функционирането на системата се описва с диференциални уравнения, чийто брой е равен на броя на възлите на графа. Това означава, че основната детерминанта на системата ∆(s)като цяло ще бъде полином нстепен, където не броят на възлите на графиката на състоянието. Лесно е да се покаже, че полиномът на знаменателя не съдържа пресечна точка. Наистина, тъй като след това знаменателя на функцията пи(и)трябва да съдържа скато фактор, в противен случай крайната вероятност Пи (∞)ще бъде равно на нула. Изключение е, когато броят на ремонтите е ограничен.
Степен на полинома на числителя∆ i намира се от израза:
m i \u003d n - 1 - l i,
Където н- брой възли на графа на състоянието; аз- броят на преходите от първоначалното състояние на системата, определено от началните условия на нейното функциониране, към състоянието азпо най-краткия път.
Ако първоначалното състояние на системата е състоянието, когато всички устройства работят, тогава аз- номер на държавно ниво аз, т.е. азе равен на минималния брой повредени системни устройства в състоянието аз. По този начин степента на полинома на числителя на вероятността P i (s)оставане на системата вътре аз-то състояние зависи от номера на състоянието ази от началните условия. Тъй като броят на преходите азможе би 0,1,2,..., н-1, тогава степента на полиномаΔi(s) въз основа на (5.14) също може да приеме стойностите m i = 0,1,2,..., н-1.
Класически методи за изчисляване на надеждността на системите
Класическите методи включват модели на надеждност с последователни, паралелни, паралелно-последователни връзки на елементи, техните различни модификации.
Модел с последователно свързване на елементи.При изчисляване на надеждността връзката на елементите се нарича последователна, при която повредата на поне един от тях води до повреда на цялата връзка като цяло. Серийната връзка в горния смисъл не винаги е същата като физическата последователна връзка на елементи. Отказите на елементите се приемат за независими, т.е. отказът на която и да е група елементи не влияе по никакъв начин на вероятностните характеристики на останалите елементи. Елементът се разбира като един от независимите участъци на серийната връзка.
Последователно свързване на елементи
В този случай вероятността за безотказна работа на системата може да се изчисли по формулата:
където Рс е вероятността за безотказна работа на системата; Р i (t) – вероятност за безотказна работа i - ти елемент на системата
Модел с успоредно свързване на елементи(фиг. 2.2). При изчисляване на надеждността, паралелна (излишна) е такава връзка на елементи, при която повредата на цялата връзка възниква, когато всички елементи на системата се повредят (елементите се дублират взаимно).
Паралелно свързване на елементи
В този случай надеждността на системата Настолен компютърсе определя чрез вероятностите за повреда на елемента q 1 , q 2 , …, q n, които са свързани с вероятността за безотказна работа с отношения от вида q i (t) = 1 – P i (t)
Вероятността от повреда на цялата система е равна на:
Тогава вероятността за безотказна работа на системата с паралелно свързване на елементи q 1 , q 2 , …, q n има формата
Модел с паралелно-последователно свързване на елементи. При изчисляване на надеждността паралелно-серийната връзка е такава връзка на елементи, при която е възможно да се съставят блокови схеми на секции както с последователно, така и с паралелно свързване на елементи
Паралелно-последователно свързване на елементи
За системата първо се изчислява вероятността за безотказна работа на раздел 23:
P 23 \u003d 1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 (t)),
след това - раздел 123: P 123 (t) \u003d P 1 (t) × P 23 (t) \u003d P 1 (t) × (1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 ( т) )).
Крайната формула за изчисление има формата P с (t) \u003d 1 - (1 - P 123 (t)) × (1 - P 4 (t)).
Модели, които не могат да бъдат сведени до паралелно-последователни връзки. Този клас включва системи с мостови и дори по-сложни връзки на елементи (фиг. 2.4).
Пример за свързване на елементи
Системата е работеща, ако функционират елементите:
Целесъобразно е да се оцени надеждността на системи от този клас чрез логико-вероятностния метод, като се използва апаратът на алгебрата на логиката.
Модел, използващ марковски процеси.Моделът е специфициран под формата на състояния, в които системата може да бъде, и възможни преходи от едно състояние в друго (фиг. 2.5).
При представяне на ИС чрез този модел се използва теорията на марковските процеси, ако местоположението на системата не зависи от състоянието, в което ИС е била в миналото.
Вероятностната графика на състоянията на системата има следните състояния:
1. И двата елемента на системата работят.
2. Повреда на един от елементите.
3. Повреда на два елемента.
Вероятностна графика на състоянията на системата
Ако са дадени вероятностите за преминаване на системата от състояние i към състояние j b ij, тогава е възможно да се определят вероятностите системата да бъде в i - m състояние P i (t), а оттам и показателите за надеждност, съставяне и решаване на уравнението на Колмогоров-Смирнов.
Производната на вероятността системата да е в i-то състояние е равна на алгебричната сума от произведенията на интензитетите на прехода и вероятностите на съответните състояния. Творбите, които съответстват на стрелките, излизащи от това състояние, получават знак "-", а входящите - "+".
Така за тази примерна система имаме:
След като решим системата от уравнения, ще определим вероятностите за намиране на системата в i-то състояние P i (t).
Вероятностната функция на безотказната работа на системата в този случай е равна на вероятността системата да бъде в 1-во състояние: P c (t) = P 1 (t).
Методът се основава на математическия апарат на алгебрата на логиката. Изчисляването на надеждността на системата за управление включва определяне на връзката между сложно събитие (отказ на системата) и събитията, от които зависи (откази на елементи на системата). Следователно изчисленията за надеждност се основават на извършване на операции със събития и изявления, които се приемат като изявления за работоспособността или повредата на елемент (система). Всеки елемент от системата е представен от логическа променлива, която приема стойност 1 или 0.
Събитията и твърденията с помощта на операции на дизюнкция, конюнкция и отрицание се комбинират в логически уравнения, съответстващи на състоянието на работоспособността на системата. Компилира се логическа здравна функция. Изчислението, базирано на прякото използване на логически уравнения, се нарича логическо-вероятностно и се извършва на седем етапа:
1. Устно формулиране на условията за работоспособност на обекта. Описана е зависимостта на изправността на информационната система от състоянието на отделните й елементи.
2. Съставяне на логическа функция на здравето. Това е логическо уравнение, съответстващо на условието за работоспособност на системата за управление
което се изразява в дизюнктивна форма, например:
където x i е условието за работоспособност i - ти елемент Fl; X i = 1 е работещо състояние, X i = 0 е неработещо състояние.
3. Привеждане на логическата функция на здравето F L до ортогонална неповтаряща се форма F L . Сложна логическа функция на работоспособността трябва да бъде сведена до ортогонална неповтаряща се форма.
Функция от формата (2.2) се нарича ортогонална, ако всички нейни членове D i са ортогонални по двойки (т.е. тяхното произведение е равно на нула), и неповтаряща се, ако всеки от нейните членове D i се състои от букви x i , с различни числа (т.е. няма повтарящи се аргументи), например: произведението на елементарни връзки x 1, x 2, x 4 и x 3, x 2 е нула, тъй като един от тях съдържа x2, и другият x2, следователно те са ортогонални; D 1 \u003d x 1 ×x 2 ×x 2, където x2и x 2 имат едно и също число, така че членът D 1 не е неповтарящ се.
– ортогонална неповтаряща се форма;
- ортогонална, но не и неповтаряща се форма.
Функцията F l може да се трансформира в ортогонална неповтаряща се форма F lo, като се използват законите и правилата за трансформация на сложни твърдения. При изчисляването най-често срещаните правила са:
4. Аритметизация F lo. Аритметичната функция F a (2.3) се определя от намерената ортогонална неповтаряща се логическа функция на работоспособността F LO.
където A i е аритметичната форма на членовете D i на функцията F lo.
Аритметизацията на термините D i , в общ вид, съдържащ операциите дизюнкция, конюнкция и отрицание, се извършва чрез заместване на логическите операции с аритметични според правилата:
5. Определяне на вероятността за безотказна работа на системата.
Вероятността за безотказно функциониране на системата се задава като вероятността за истинността на логическата функция на здравето, представена в ортогонална неповтаряща се форма, и се изчислява като сумата от вероятностите за истинност на всички ортогонални членове на тази функция на логическата алгебра. Всички събития (изявления) се заменят с техните вероятности (вероятности за безотказно функциониране на съответните елементи).
6. Изчисляване на необходимите показатели за надеждност на системата за управление според намерения показател P c (t):
Вероятност за безотказна работа P c (t);
Вероятност за повреда Q c (t) = 1 – P c (t);
Процент на неуспех
MTBF
7. Анализ на съответствието на получените показатели за надеждност със зададените технически изисквания на системата.
Допускания, приети от логико-вероятностния метод: за елементите на системата са възможни само две състояния; методът е приложим за невъзстановими системи; повреди на системните елементи трябва да бъдат независими.
