Matematiksel analiz.

Atölye.

Uzmanlık alanındaki üniversite öğrencileri için:

"Devlet ve belediye yönetimi"

T.Z. Pavlova

Kolpaşevo 2008

Bölüm 1: Analize Giriş

1.1 İşlevler. Genel Özellikler

1.2 Limitler Teorisi

1.3 Fonksiyonun sürekliliği

2.1 Türevin tanımı

2.4 Fonksiyon araştırması

2.4.1 Tam fonksiyonlu çalışma tasarımı

2.4.2 Fonksiyon çalışması örnekleri

2.4.3. Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değeri

2.5 L'Hopital kuralı

3.1 Belirsiz integral

3.1.1 Tanımlar ve özellikler

3.1.2 İntegral tablosu

3.1.3 Temel entegrasyon yöntemleri

3.2 Belirli integral

3.2.2 Belirli integrali hesaplama yöntemleri

Bölüm 4. Çeşitli Değişkenlerin Fonksiyonları

4.1 Temel kavramlar

4.2 Çok Değişkenli Fonksiyonların Limitleri ve Sürekliliği

4.3.3 Toplam diferansiyel ve bunun yaklaşık hesaplamalara uygulanması

Bölüm 5. Klasik optimizasyon yöntemleri

6.1 Yardımcı işlev.

6.2 Kayıtsızlık çizgileri

6.3 Bütçe seti

Evde test ödevleri

1.1 İşlevler. Genel Özellikler

Değişkenin her değeri, y değişkeninin iyi tanımlanmış bir gerçek değeriyle ilişkilendiriliyorsa, D, fonksiyonun tanım alanıdır, gerçek sayılar kümesi D üzerinde sayısal bir fonksiyon tanımlanır.

Bir fonksiyonun analitik gösterimi:

açıkça: ;

dolaylı olarak: ;

parametrik formda:

Tanım alanındaki farklı formüller:

Özellikler.

Çift işlev: . Örneğin fonksiyon çifttir çünkü .

Tek işlev: . Örneğin fonksiyon tektir çünkü .

Periyodik fonksiyon: burada T fonksiyonun periyodudur. Örneğin trigonometrik fonksiyonlar.

Monoton fonksiyon. Tanımın herhangi bir alanı için fonksiyon artıyorsa, azalıyor demektir. Örneğin - artan ve - azalan.

Sınırlı işlev. Eğer öyle bir M sayısı varsa . Örneğin, işlevler ve , çünkü .

Örnek 1. Fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun.

+ 2 – 3 +

1.2 Limitler Teorisi

Tanım 1. Herhangi bir (keyfi olarak küçük bir pozitif sayıdır) için eşitsizliğin sağlandığı argümanın değerini bulmak mümkünse, bir fonksiyonun limiti b sayısıdır.

Tanım: .

Tanım 2. Bir fonksiyonun limiti, herhangi biri için (keyfi olarak küçük bir pozitif sayıdır) pozitif bir sayı varsa, eşitsizliği karşılayan tüm x değerleri için eşitsizlik karşılanırsa b sayısıdır.

Tanım: .

Tanım 3. Bir fonksiyonun veya if veya için sonsuz küçük olduğu söylenir.

Özellikler.

1. Sonlu sayıda sonsuz küçük niceliğin cebirsel toplamı sonsuz küçük bir niceliktir.

2. Sonsuz küçük bir miktar ile sınırlı bir fonksiyonun (sabit, başka bir sonsuz küçük miktar) çarpımı sonsuz küçük bir miktardır.

3. Sonsuz küçük bir miktarı, limiti sıfır olmayan bir fonksiyona bölme bölümü sonsuz küçük bir miktardır.

Tanım 4. Bir fonksiyonun sonsuz büyük olduğu söylenir.

Özellikler.

1. Sonsuz büyük bir nicelik ile limiti sıfır olmayan bir fonksiyonun çarpımı sonsuz büyük bir niceliktir.

2. Sonsuz büyük bir nicelik ile sınırlı bir fonksiyonun toplamı sonsuz büyük bir niceliktir.

3. Sonsuz büyük bir niceliği limiti olan bir fonksiyona bölme bölümü sonsuz büyük bir niceliktir.

Teorem.(Sonsuz küçük bir miktar ile sonsuz büyük bir miktar arasındaki ilişki.) Bir fonksiyon () noktasında sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon () noktasında sonsuz büyük bir niceliktir. Ve bunun tersine, eğer fonksiyon () noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon () noktasında sonsuz küçük bir değerdir.

Sınır teoremleri.

1. Bir fonksiyonun birden fazla limiti olamaz.

2. Sınır cebirsel toplam birkaç fonksiyon, bu fonksiyonların limitlerinin cebirsel toplamına eşittir:

3. Çeşitli fonksiyonların çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir:

4. Derecenin sınırı, sınırın derecesine eşittir:

5. Bölenin limiti varsa, bölümün limiti limitlerin bölümüne eşittir:

6. İlk harika sınır.

Sonuçlar:

7. İkinci dikkat çekici sınır:

Sonuçlar:

Eşdeğer sonsuz küçük miktarlar:

Limitlerin hesaplanması.

Limit hesaplamalarında limitlerle ilgili temel teoremler, sürekli fonksiyonların özellikleri ve bu teorem ve özelliklerden kaynaklanan kurallar kullanılır.

Kural 1. Bu noktada sürekli olan bir fonksiyonun bir noktasındaki limiti bulmak için, limit değerini, x argümanı yerine limit işaretinin altındaki fonksiyonun yerine koymanız gerekir.

Örnek 2. Bul

Kural 2. Bir kesrin limitini bulurken paydanın limiti sıfıra eşitse ve payın limiti sıfırdan farklıysa, böyle bir fonksiyonun limiti eşittir.

Örnek 3. Bul

Kural 3. Bir kesrin limitini bulurken paydanın limiti eşitse ve payın limiti sıfırdan farklıysa, böyle bir fonksiyonun limiti sıfıra eşittir.

Örnek 4. Bul

Çoğu zaman, bir argümanın sınır değerinin değiştirilmesi, formun tanımsız ifadeleriyle sonuçlanır.

Bu durumlarda bir fonksiyonun limitini bulmaya belirsizlik keşfi denir. Belirsizliği ortaya çıkarmak için sınıra geçmeden önce bu ifadeyi dönüştürmek gerekir. Belirsizlikleri ortaya çıkarmak için çeşitli teknikler kullanılır.

Kural 4. Türün belirsizliği, alt sınır fonksiyonunun dönüştürülmesiyle ortaya çıkar, böylece pay ve paydada limiti sıfıra eşit olan bir faktör izole edilebilir ve kesir azaltılarak bölümün limiti bulunabilir. Bunu yapmak için pay ve payda ya çarpanlara ayrılır ya da pay ve paydaya eşlenik ifadelerle çarpılır.

Kural 5. Alt limit ifadesi trigonometrik fonksiyonlar içeriyorsa, formun belirsizliğini çözmek için ilk dikkate değer limit kullanılır.

Kural 6. Formun belirsizliğini ortaya çıkarmak için alt limit kesrin pay ve paydasının argümanın en büyük kuvvetine bölünmesi ve ardından bölümün limitinin bulunması gerekir.

Olası sonuçlar:

1) gerekli limit, eğer bu güçler aynı ise, pay ve payda argümanının en yüksek güçlerinin katsayılarının oranına eşittir;

2) pay argümanının derecesi payda argümanının derecesinden yüksekse limit sonsuza eşittir;

3) pay argümanının derecesi payda argümanının derecesinden düşükse limit sıfıra eşittir.

Çünkü

Güçler eşittir; bu, sınırın daha yüksek güçlerin katsayılarının oranına eşit olduğu anlamına gelir; .

Pay ve paydanın derecesi 1'dir, yani limit eşittir

Payın derecesi 1, paydası , yani limit 0'dır.

Kural 7. Formun belirsizliğini ortaya çıkarmak için alt sınır kesirin pay ve paydasının eşlenik ifadeyle çarpılması gerekir.

Örnek 10.

Kural 8. Türün belirsizliğini ortaya çıkarmak için dikkat çeken ikinci sınır ve sonuçlarından yararlanılmaktadır.

Kanıtlanabilir ki

Örnek 11.

Örnek 12.

Örnek 13.

Kural 9. Alt limit fonksiyonu b.m.v.'yi içeren belirsizlikler açıklanırken bu b.m.v.'nin limitlerinin değiştirilmesi gerekir. b.m'nin sınırlarına eşdeğerdir.

Örnek 14.

Örnek 15.

Kural 10. L'Hopital kuralı (bkz. 2.6).

1.3 Fonksiyonun sürekliliği

Bir fonksiyonun limiti, argüman a'ya göre mevcutsa ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse, bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Eşdeğer koşullar:

1. ;

Kırılma noktalarının sınıflandırılması:

birinci türden kopma

Çıkarılabilir – tek taraflı sınırlar mevcuttur ve eşittir;

İndirgenemez (atlama) – tek taraflı sınırlar eşit değildir;

İkinci türden süreksizlik: Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti yoktur.

Örnek 16. Bir fonksiyonun bir noktada süreksizliğinin doğasını belirleyin veya bir fonksiyonun bu noktada sürekliliğini kanıtlayın.

fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktada sürekli değildir. Çünkü ve buna bağlı olarak, O halde birinci türden çıkarılabilir bir süreksizlik noktasıdır.

Atama (a) ile karşılaştırıldığında, fonksiyon noktada daha ayrıntılı olarak tanımlanır, böylece Bu da bu fonksiyonun bu noktada sürekli olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon tanımlanmadığında;

Çünkü Tek taraflı sınırlardan biri sonsuz ise bu ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır.

Bölüm 2. Diferansiyel Hesap

2.1 Türevin tanımı

türevin tanımı

Belirli bir fonksiyonun türevi veya türevi, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun artışının argümanın karşılık gelen artışına oranının sınırıdır:

Veya .

Türevin mekanik anlamı, bir fonksiyonun değişim hızıdır. Türevin geometrik anlamı, teğetin eğim açısının fonksiyonun grafiğine teğetidir:

2.2 Farklılaşmanın temel kuralları

İsim	İşlev	Türev
Sabit bir faktörle çarpma
İki fonksiyonun cebirsel toplamı
İki fonksiyonun çarpımı
İki fonksiyonun bölümü
Karmaşık fonksiyon

Temel temel fonksiyonların türevleri

HAYIR.	Fonksiyon adı	Fonksiyon ve türevi
1	devamlı
2	güç fonksiyonu özel durumlar
3	üstel fonksiyon özel durum
4	logaritmik fonksiyon özel durum
5	trigonometrik fonksiyonlar
6	tersi trigonometrik

2.3 Yüksek dereceli türevler

Bir fonksiyonun ikinci dereceden türevi

Fonksiyonun ikinci dereceden türevi:

Örnek 18.

a) Fonksiyonun ikinci dereceden türevini bulun.

Çözüm. Önce birinci dereceden türevi bulalım .

Birinci dereceden türevden tekrar türev alalım.

Örnek 19. Fonksiyonun üçüncü dereceden türevini bulun.

2.4 Fonksiyon araştırması

2.4.1 Tam işlevli çalışma planı:

Tam fonksiyonlu çalışma planı:

1. Temel araştırma:

Tanım alanını ve değer aralığını bulun;

Genel özellikleri öğrenin: düzgünlük (tuhaflık), periyodiklik;

Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun;

Sabit işaretli alanları belirleyin.

2. Asimptotlar:

Aşağıdaki durumlarda dikey asimptotları bulun;

Eğik asimptotları bulun: .

Herhangi bir sayı varsa, o zaman yatay asimptotlar.

3. Aşağıdakileri kullanarak araştırma yapın:

Kritik noktaları bulun. mevcut olan veya bulunmayan noktalar;

Artış aralıklarını belirleyin. fonksiyonun azaldığı aralıklar – ;

Ekstremi belirle: İşaretin “+”dan “-”ye değiştiği noktalar maksimum noktalardır, “-”den “+”ya ise minimum noktalardır.

4. Aşağıdakileri kullanarak araştırma yapın:

Var olan veya olmayan noktaları bulun;

Dışbükey alanları bulun; hangi aralıklar ve içbükeylikler – ;

Bükülme noktalarını bulun; geçerken işaretin değiştiği noktalar.

1. Çalışmanın bireysel unsurları, bulundukları şekliyle aşamalı olarak grafik üzerinde işaretlenir.

2. Bir fonksiyonun grafiğini oluştururken zorluklar ortaya çıkarsa, fonksiyonun değerleri bazı ek noktalarda bulunur.

3. Çalışmanın amacı fonksiyonun davranışının doğasını tanımlamaktır. Bu nedenle, kesin bir grafik değil, bulunan öğelerin açıkça işaretlendiği (ekstremum, bükülme noktaları, asimptotlar vb.) Bunun bir tahmini oluşturulur.

4. Verilen plana sıkı sıkıya bağlı kalmak gerekli değildir; Fonksiyonun davranışının karakteristik unsurlarını gözden kaçırmamak önemlidir.

2.4.2 İşlev araştırması örnekleri:

2) Tek fonksiyon:

3) Asimptotlar.

– dikey asimptotlar, çünkü

Eğik asimptot.

- dönüm noktası.

2) Tek fonksiyon:

3) Asimptotlar: Dikey asimptot yoktur.

Eğik:

– eğik asimptotlar

4) – fonksiyon artar.

- dönüm noktası.

Bu fonksiyonun şematik grafiği:

2) Genel işlev

3) Asimptotlar

– eğimli asimptot yok

– yatay asimptot

- dönüm noktası

Bu fonksiyonun şematik grafiği:

2) Asimptotlar.

– dikey asimptot, çünkü

– eğimli asimptot yok

, - Yatay asimptot

Bu fonksiyonun şematik grafiği:

2) Asimptotlar

– dikey asimptot, çünkü

– eğimli asimptot yok

, - Yatay asimptot

3) – fonksiyon her aralıkta azalır.

Bu fonksiyonun şematik grafiği:

Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için aşağıdaki diyagramı kullanabilirsiniz:

1. Fonksiyonun türevini bulun.

2. Fonksiyonun var olduğu veya bulunmadığı kritik noktalarını bulun.

3. Verilen bir parçaya ait kritik noktalarda ve uçlarında fonksiyonun değerini bulun ve bunlardan en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Belirli bir segmentteki fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini bulun.

25. arasında

2) – kritik noktalar

26. aralıkta.

için türev mevcut değildir ancak 1 bu aralığa ait değildir. Fonksiyon aralıkta azalır; bu, en büyük değerin olmadığı, ancak en küçük değerin olduğu anlamına gelir.

2.5 L'Hopital kuralı

Teorem. İki sonsuz küçük veya sonsuz büyük fonksiyonun oranının limiti, eğer ikincisi belirtilen anlamda mevcutsa, türevlerinin (sonlu veya sonsuz) oranının limitine eşittir.

Onlar. Türdeki belirsizlikleri açıklarken veya aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

27.

Bölüm 3. İntegral hesap

3.1 Belirsiz integral

3.1.1 Tanımlar ve özellikler

Tanım 1. Bir fonksiyona if için antiderivatif denir.

Tanım 2. Bir f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesidir.

Tanım: burada c keyfi bir sabittir.

Belirsiz integralin özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi:

2. Belirsiz integralin diferansiyeli:

3. Diferansiyelin belirsiz integrali:

4. İki fonksiyonun toplamının (farkının) belirsiz integrali:

5. Sabit faktörü belirsiz integralin işaretinin ötesine genişletmek:

3.1.2 İntegral tablosu

.1.3 Temel entegrasyon yöntemleri

1. Belirsiz integralin özelliklerini kullanma.

Örnek 29.

2. Diferansiyel işaretinin gönderilmesi.

Örnek 30.

3. Değişken değiştirme yöntemi:

a) integralin değiştirilmesi

Nerede - entegre edilmesi orijinalinden daha kolay olan bir işlev; - fonksiyonun tersi fonksiyon; - fonksiyonun antiderivatifi.

Örnek 31.

b) formun integralindeki yerine koyma:

Örnek 32.

Örnek 33.

4. Parçalara göre entegrasyon yöntemi:

Örnek 34.

Örnek 35.

İntegrali ayrı ayrı ele alalım

İntegralimize dönelim:

3.2 Belirli integral

3.2.1 Belirli integral kavramı ve özellikleri

Tanım. Belirli bir aralıkta sürekli bir fonksiyon verilsin. Bunun bir grafiğini oluşturalım.

Üstte bir eğriyle, solda ve sağda düz çizgilerle ve altta a ve b noktaları arasındaki apsis ekseninin bir parçasıyla sınırlanan şekle eğrisel yamuk denir.

S – alan – eğrisel yamuk.

Aralığı noktalarla bölün ve şunu elde edin:

Kümülatif toplam:

Tanım. Belirli bir integral, bir integral toplamının limitidir.

Belirli integralin özellikleri:

1. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:

2. İki fonksiyonun cebirsel toplamının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

3. İntegrasyon segmenti parçalara bölünmüşse, tüm segmentteki integral, sonuçta ortaya çıkan parçaların her biri için integrallerin toplamına eşittir; herhangi bir a, b, c için:

4. Segmentte ise, o zaman

5. İntegral limitleri değiştirilebilir ve integralin işareti değişir:

7. Bu noktadaki integral 0'a eşittir:

9. (“ortalama hakkında”) y = f(x) üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Daha sonra , burada , f(c) – f(x)'in ortalama değeri:

10. Newton-Leibniz formülü

burada F(x), f(x)'in terstürevidir.

3.2.2 Belirli integrali hesaplama yöntemleri.

1. Doğrudan entegrasyon

Örnek 35.

2. Belirli İntegral İşareti Altında Değişkenlerin Değişimi .

Örnek 36.

2. Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon .

Örnek 37.

3.2.3 Belirli integralin uygulamaları

karakteristik	İşlev türü	Formül
	Kartezyen koordinatlarda
eğrisel sektör alanı	kutupsal koordinatlarda
kavisli bir yamuğun alanı	parametrik formda
yay uzunluğu	Kartezyen koordinatlarda
yay uzunluğu	kutupsal koordinatlarda
yay uzunluğu	parametrik formda
vücut hacmi rotasyon	Kartezyen koordinatlarda
Belirli bir enine sahip bir cismin hacmi enine kesit

Örnek 38. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: Ve .

Çözüm: Bu fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım. Bunu yapmak için fonksiyonları eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz

Yani kesişme noktaları ve .

Formülü kullanarak şeklin alanını bulun

Bizim durumumuzda

Cevap: Alan (birim kare)'dir.

4.1 Temel kavramlar

Tanım. Belirli bir kümedeki karşılıklı bağımsız sayıların her bir çifti, bazı kurallara göre z değişkeninin bir veya daha fazla değerine atanırsa, z değişkenine iki değişkenin bir fonksiyonu denir.

Tanım. Bir z fonksiyonunun tanım alanı, z fonksiyonunun mevcut olduğu çiftlerin kümesidir.

İki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı, Oksi koordinat düzlemindeki belirli bir nokta kümesidir. Z koordinatına uygulama adı verilir ve ardından fonksiyonun kendisi E3 uzayındaki bir yüzey olarak gösterilir. Örneğin:

Örnek 39. Fonksiyonun tanım kümesini bulun.

Sağ taraftaki ifade ancak şu durumlarda anlamlıdır. Bu, bu fonksiyonun tanım alanının, merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir dairenin içinde ve sınırında yer alan tüm noktaların kümesi olduğu anlamına gelir.

Bu fonksiyonun tanım alanı, düz çizgilerin noktaları hariç, düzlemin tüm noktalarıdır; eksenleri koordine edin.

Tanım. Fonksiyon seviyesi çizgileri, formun denklemleriyle tanımlanan, koordinat düzlemindeki bir eğri ailesidir.

Örnek 40. Fonksiyon seviyesi çizgilerini bulun .

Çözüm. Belirli bir fonksiyonun seviye çizgileri, denklemle tanımlanan, düzlemdeki bir eğri ailesidir.

Son denklem, merkezi yarıçapı O 1 (1, 1) olan bir daire ailesini tanımlar. Bu fonksiyonun tanımladığı dönme yüzeyi (paraboloit), x = 1, y = 1 denklemleriyle verilen eksenden uzaklaştıkça “dikleşir”. (Şekil 4)

4.2 Çok değişkenli fonksiyonların limitleri ve sürekliliği.

1. Sınırlar.

Tanım. Her keyfi küçük sayı için, herhangi bir nokta için koşulun doğru olduğu ve koşulun da doğru olduğu bir sayı varsa, bir nokta bir noktaya yöneldiğinden, A sayısına bir fonksiyonun limiti denir. . Yazın: .

Örnek 41. Limitleri bulun:

onlar. sınır bağlıdır, yani mevcut değildir.

2. Süreklilik.

Tanım. Noktanın fonksiyonun tanım alanına ait olmasına izin verin. O zaman bir fonksiyona bir noktada sürekli denirse,

(1)

ve nokta keyfi bir şekilde noktaya yönelir.

Herhangi bir noktada (1) koşulu sağlanmıyorsa bu noktaya fonksiyonun kırılma noktası denir. Bu aşağıdaki durumlarda olabilir:

1) Fonksiyon noktasında tanımlı değil.

2) Sınır yoktur.

3) Bu limit mevcuttur ancak eşit değildir.

Örnek 42. Belirli bir fonksiyonun if noktasında sürekli olup olmadığını belirleyin.

Anladım Bu, bu fonksiyonun o noktada sürekli olduğu anlamına gelir.

limit k'ye bağlıdır, yani. bu noktada mevcut değildir, yani fonksiyon bu noktada süreksizliğe sahiptir.

4.3 Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri ve Diferansiyelleri

4.3.1 Birinci Dereceden Kısmi Türevler

Bir fonksiyonun x argümanına göre kısmi türevi, y değişkeninin sabit bir değeri için bir x değişkenine sahip bir fonksiyonun sıradan türevidir ve şöyle gösterilir:

Bir fonksiyonun y argümanına göre kısmi türevi, x değişkeninin sabit bir değeri için bir y değişkenli fonksiyonun olağan türevidir ve şöyle gösterilir:

Örnek 43. Fonksiyonların kısmi türevlerini bulun.

4.3.2 İkinci Dereceden Kısmi Türevler

İkinci dereceden kısmi türevler, birinci dereceden kısmi türevlerin kısmi türevleridir. Formdaki iki değişkenli bir fonksiyon için dört tür ikinci dereceden kısmi türev mümkündür:

Farklı değişkenlere göre türevin alındığı ikinci dereceden kısmi türevlere karışık türevler denir. İki kere türevlenebilir bir fonksiyonun ikinci dereceden karışık türevleri eşittir.

Örnek 44. İkinci dereceden kısmi türevleri bulun.

4.3.3 Toplam diferansiyel ve bunun yaklaşık hesaplamalara uygulanması.

Tanım. İki değişkenli bir fonksiyonun birinci dereceden diferansiyeli aşağıdaki formülle bulunur:

Örnek 45. Fonksiyonun tam diferansiyelini bulun.

Çözüm. Kısmi türevleri bulalım:

x ve y argümanlarının küçük artışları için, işlev yaklaşık olarak dz'ye eşit bir artış alır; .

Bir fonksiyonun bir noktadaki kesin değeri biliniyorsa, bir noktadaki yaklaşık değerini bulma formülü:

Örnek 46. Bul .

Çözüm. İzin vermek ,

Daha sonra formülü kullanırız

Cevap. .

Örnek 47. Yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm. Fonksiyonu ele alalım. Sahibiz

Örnek 48. Yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm. İşlevi düşünün . Şunu elde ederiz:

Cevap. .

4.3.4 Örtülü bir fonksiyonun farklılaşması

Tanım. Bir fonksiyon z'ye göre çözülemeyen bir denklemle veriliyorsa örtülü fonksiyon olarak adlandırılır.

Böyle bir fonksiyonun kısmi türevleri aşağıdaki formüllerle bulunur:

Örnek 49: Denklemde verilen z fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun .

Çözüm.

Tanım. Bir fonksiyon, y'ye göre çözülemeyen bir denklemle veriliyorsa, örtülü fonksiyon olarak adlandırılır.

Böyle bir fonksiyonun türevi aşağıdaki formülle bulunur:

Örnek 50. Bu fonksiyonların türevlerini bulun.

5.1 Çok değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremumu

Tanım 1. Bir fonksiyonun şu noktada maksimumu vardır:

Tanım 2. Bir fonksiyonun şu noktada minimumu vardır: noktaya yeterince yakın ve ondan farklı tüm noktalar için.

Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir fonksiyon bir noktada ekstrema ulaşırsa, fonksiyonun kısmi türevleri bu noktada yok olur veya mevcut değildir.

Kısmi türevlerin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.

Bir ekstremumun yeterli işareti. Fonksiyonun kritik noktanın bir komşuluğunda tanımlı olmasına ve bu noktada sürekli ikinci dereceden kısmi türevlere sahip olmasına izin verin.

1) if ve noktasında yerel maksimum vardır;

2) if ve noktasında yerel minimum vardır;

3) eğer noktada yerel bir ekstremum yoktur;

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu üzerine araştırma şeması.

1. Fonksiyonların kısmi türevlerini bulun: ve.

2. Denklem sistemini çözün ve fonksiyonun kritik noktalarını bulun.

3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulun, kritik noktalardaki değerlerini hesaplayın ve yeterli bir koşulu kullanarak ekstremumun varlığı hakkında bir sonuç çıkarın.

4. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.

Örnek 51. Bir fonksiyonun ekstremumunu bulun .

1) Kısmi türevleri bulalım.

2) Denklem sistemini çözelim

4) İkinci dereceden kısmi türevleri ve kritik noktalardaki değerlerini bulalım: . Geldiğimiz noktada:

Bu, noktada hiçbir ekstremum olmadığı anlamına gelir. Geldiğimiz noktada:

bu, bu noktada bir minimumun olduğu anlamına gelir.

5.2 Global ekstremum (fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri)

Bazı kapalı kümelerde sürekli olan birkaç değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, ya uç noktalarda ya da kümenin sınırında elde edilir.

En büyük ve en küçük değerleri bulma şeması.

1) Bölge içinde kalan kritik noktaları bulun ve bu noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın.

2) Bölge sınırındaki işlevi araştırır; Sınır birkaç farklı çizgiden oluşuyorsa, her bölüm için ayrı ayrı çalışma yapılmalıdır.

3) Elde edilen fonksiyon değerlerini karşılaştırın ve en büyüğü ile en küçüğünü seçin.

Örnek 52. Bir dikdörtgendeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Çözüm. 1) Fonksiyonun kritik noktalarını bulalım, bunun için kısmi türevlerini bulacağız ve denklem sistemini çözeceğiz:

Kritik bir A noktası elde ettik. Ortaya çıkan nokta verilen bölgenin içinde yer alır,

Bölgenin sınırı dört bölümden oluşur: i. Her segmentte fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulalım.

4) Elde edilen sonuçları karşılaştıralım ve noktalarda bunu bulalım. .

Bölüm 6. Tüketici tercihi modeli

N farklı malın olduğunu varsayacağız. Daha sonra belirli bir mal kümesini n boyutlu bir vektörle göstereceğiz. , i'inci ürünün miktarı nerede. X kümesinin tüm kümelerinden oluşan kümeye uzay denir.

Bireysel bir tüketicinin seçimi bir tercih ilişkisi ile karakterize edilir: Tüketicinin daha çok arzu edilen herhangi iki set hakkında söyleyebileceğine veya aralarındaki farkı görmediğine inanılır. Tercih ilişkisi geçişlidir: Bir küme bir kümeye tercih edilirse ve bir küme bir kümeye tercih edilirse, o zaman küme bir kümeye tercih edilir. Tüketici davranışının tamamen bireysel tüketici aksiyomuyla tanımlandığını varsayacağız: her bireysel tüketici, kendi tercih sistemine göre tüketim, satın alma vb. hakkında kararlar verir.

6.1 Yardımcı işlev

X tüketici kümeleri kümesinde bir fonksiyon tanımlıdır Tüketici setindeki değeri bireyin bu set için tüketici değerlendirmesine eşittir. Fonksiyona tüketici fayda fonksiyonu veya tüketici tercih fonksiyonu denir. Onlar. Her tüketicinin kendine ait fayda fonksiyonu vardır. Ancak tüm tüketici grubu belirli tüketici sınıflarına (yaş, mülk durumu vb. göre) bölünebilir ve her sınıfa belirli, belki de ortalama bir fayda işlevi atanabilir.

Dolayısıyla işlev, bir tüketici değerlendirmesi veya belirli bir seti satın alırken bireyin ihtiyaçlarının karşılanma düzeyidir. Belirli bir kişi için bir küme, bir kümeye tercih edilirse, o zaman .

Fayda fonksiyonunun özellikleri.

Fayda fonksiyonunun ilk kısmi türevlerine ürünlerin marjinal faydaları denir. Bu özellikten, bir ürünün tüketimindeki bir artışın diğer ürünlerin tüketimi değişmeden kalması tüketici değerlendirmesinde bir artışa yol açtığı sonucu çıkmaktadır. Vektör fonksiyonun gradyanı olup, fonksiyonun en büyük büyüme yönünü gösterir. Bir fonksiyonun gradyanı, ürünlerin marjinal faydalarının bir vektörüdür.

Onlar. Tüketim arttıkça herhangi bir malın marjinal faydası azalır.

Onlar. Her ürünün marjinal faydası, diğer ürünün miktarı arttıkça artar.

Bazı yardımcı fonksiyon türleri.

1) Neoklasik: .

2) İkinci Dereceden: matrisin negatif tanımlı olduğu ve İçin .

3) Logaritmik fonksiyon: .

6.2 Kayıtsızlık çizgileri

Uygulamalı problemlerde ve tüketici tercihi modellerinde, genellikle iki maldan oluşan bir grubun özel durumu kullanılır; fayda fonksiyonu iki değişkene bağlı olduğunda. Kayıtsızlık çizgisi, bireyin ihtiyaçlarının aynı düzeyde tatminine sahip tüketici gruplarını birbirine bağlayan bir çizgidir. Özünde, kayıtsızlık çizgileri fonksiyon seviyesi çizgileridir. Kayıtsızlık çizgilerinin denklemleri: .

Kayıtsızlık çizgilerinin temel özellikleri.

1. Farklı ihtiyaç tatmini düzeylerine karşılık gelen kayıtsızlık çizgileri birbirine değmez veya kesişmez.

2. Kayıtsızlık hatları azalır.

3. Kayıtsızlık çizgileri aşağı doğru dışbükeydir.

Özellik 2 önemli bir yaklaşık eşitliği ifade eder.

Bu oran, bir bireyin ihtiyaçlarının karşılanma düzeyini değiştirmeden, birinci ürünün tüketimini bir birim azaltırken (arttırırken) ikinci ürünün tüketimini ne kadar artırması (azaltması) gerektiğini gösterir. Oran, ilk ürünün ikinciyle değiştirilme oranı olarak adlandırılır ve değere, ilk ürünün ikinciyle marjinal değiştirilme oranı denir.

Örnek 53. Birinci malın marjinal faydası 6, ikinci malın marjinal faydası 2 ise, birinci malın tüketimi bir birim azalırsa, ikinci malın tüketimi aynı düzeyde 3 birim artırılmalıdır. ihtiyaçların tatmini.

6.3 Bütçe seti

İzin vermek – n üründen oluşan bir set için fiyat vektörü; I, bireyin bir dizi ürünü satın almak için harcamaya hazır olduğu geliridir. Belirli fiyatlarda maliyeti I'den fazla olmayan mallar kümesine B bütçe seti denir. Ayrıca, maliyeti I olan setlere B bütçe setinin sınırı G denir. B kümesi G sınırı ve doğal kısıtlamalarla sınırlıdır.

Bütçe seti bir eşitsizlik sistemi ile tanımlanır:

İki maldan oluşan bir set durumunda, bütçe seti B (Şekil 1), koordinat sisteminde koordinat eksenleri ve düz çizgi ile sınırlanan bir üçgendir.

6.4 Tüketici talebi teorisi

Tüketim teorisinde, tüketicinin her zaman faydasını maksimuma çıkarmaya çalıştığına ve onun için tek sınırlamanın bir dizi mal satın almak için harcayabileceği sınırlı gelir I olduğuna inanılmaktadır. Genel olarak tüketici seçimi sorunu (piyasadaki rasyonel tüketici davranışı sorunu) şu şekilde formüle edilir: tüketici setini bulun Belirli bir bütçe kısıtı altında fayda fonksiyonunu maksimize eden. Matematiksel model bu görev:

İki üründen oluşan bir set durumunda:

Geometrik olarak bu problemin çözümü G bütçe kümesinin sınırı ile kayıtsızlık çizgisi arasındaki teğetlik noktasıdır.

Bu problemin çözümü denklem sisteminin çözümüne bağlıdır:

(1)

Bu sistemin çözümü tüketici tercih sorununun çözümüdür.

Tüketici tercih probleminin çözümüne talep noktası denir. Bu talep noktası fiyatlara ve gelire bağlıdır. Talep noktası talebin bir fonksiyonudur. Buna karşılık talep fonksiyonu, her biri bir argümana bağlı olan n fonksiyondan oluşan bir settir:

Bu fonksiyonlara karşılık gelen mallar için talep fonksiyonları denir.

Örnek 54. Piyasadaki fiyatları bilinen ve gelir I olan iki maldan oluşan bir grup için, eğer fayda fonksiyonu şu şekilde ise talep fonksiyonlarını bulun: .

Çözüm. Fayda fonksiyonunun türevini alalım:

Elde edilen ifadeleri (1)'de yerine koyalım ve bir denklem sistemi elde edelim:

Bu durumda, her bir ürün için yapılan harcama, tüketicinin gelirinin yarısı kadar olacak ve satın alınan ürünün miktarı, harcanan tutarın ürünün fiyatına bölünmesine eşittir.

Örnek 55. Birinci iyi, ikinci iyi için fayda fonksiyonu olsun.

İlk ürünün fiyatı, ikincinin fiyatı. Gelir . Faydasını maksimize etmek için tüketici ne kadar mal satın almalıdır?

Çözüm. Fayda fonksiyonlarının türevlerini bulalım, bunları sistem (1)'de yerine koyalım ve çözelim:

Bu mal seti, faydayı en üst düzeye çıkarma açısından tüketici için idealdir.

Sınav, ayrı bir defterde not defteri numarasının son rakamına göre seçilen seçeneğe göre tamamlanmalıdır. Her problemin bir koşulu, ayrıntılı bir çözümünü ve bir sonucunu içermesi gerekir.

1. Matematiksel analize giriş

Görev 1. Fonksiyonun tanımının tanım kümesini bulun.

Görev 2. Fonksiyonların limitlerini bulun.

Görev 3. Fonksiyonun süreksizlik noktalarını bulun ve türlerini belirleyin.

1. 2. 3.

Bölüm 2. Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel hesabı

Görev 4. Bu fonksiyonların türevlerini bulun.

1 A); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x;

e) y = 2 x - arksin x.

2.a) ; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e çünkü; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4.a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arksin x.

5. a) y = 2x3 - + ex; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 çünkü; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7.a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e çünkü; e) y = .

8.a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9.a); B) ; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x4 + ln.

10 A) b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.

Görev 5. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1. a) b) c) .

2. a) b) V) .

3. a) b) V) .

4.b) V)

5. a) b) V) .

6. a) b) V) .

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V) .

Görev 6. Belirli bir segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Bölüm 3. İntegral hesap

Problem 7. Belirsiz integralleri bulun.

1 A) B);

2.a) ;b) c) d) .

4. G)

5.a) ; B); V) ; G).

6.a) ; B); V); G)

7.a) ; B) ; V) ; G)

8.a) ; B); V) ; G) .

9.a) ; M.Ö); G).

10 A) B) V) ; G) .

Problem 8. Belirli integralleri hesaplayın.

7. .

10.

Problem 9. Uygunsuz integralleri bulun veya ıraksadıklarını kanıtlayın.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Problem 10. Eğrilerin sınırladığı bölgenin alanını bulun

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Bölüm 4. Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı.

Görev 11. Fonksiyonun tanım alanını bulun (çizimde gösterin).

Problem 12. Fonksiyonun sürekliliğini araştırın.

Problem 13. Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun.

Problem 14. Yaklaşık olarak hesaplayın

1.a) ;b) ; V)

2.a) ; B) ; V) .

3 A) ; B) ; V) .

4.a) ; B) ; V) .

5.a); B) ; V) .

6.a); B) ; V) .

7.a); B) ; V) .

8.a) ;b) ; V)

9.a) ; B) ; V) .

10.a) ;b) ; V)

Problem 15. Fonksiyonu ekstrema için araştırın.

7. .

8. .

9. .

10. .

Problem 16. Belirli bir kapalı bölgedeki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.

1. bir dikdörtgen içinde

3. bir dikdörtgen içinde

4. bir parabol ile sınırlanan alanda

Ve apsis ekseni.

5. kare

6. Koordinat eksenleri ve düz çizgi ile sınırlanan bir üçgende

7. Koordinat eksenleri ve düz çizgi ile sınırlanan bir üçgende

8. Koordinat eksenleri ve düz çizgiyle sınırlanan bir üçgende

9. bir parabol ile sınırlanan alanda

Ve apsis ekseni.

10. bir parabolün sınırladığı alanda

Ve apsis ekseni.

Ana

1. MS Krass, B.P. Chuprynov. Matematiğin temelleri ve ekonomik eğitimde uygulanması: Ders Kitabı. – 4. baskı, İspanyolca. – M.: Delo, 2003.

2. MS Krass, B.P. Chuprynov. Ekonomik uzmanlıklar için matematik: Ders kitabı. – 4. baskı, İspanyolca. – M.: Delo, 2003.

3. MS Krass, B.P. Chuprynov. Ekonomik lisans derecesi için matematik. Ders kitabı. – 4. baskı, İspanyolca. – M.: Delo, 2005.

4. İktisatçılar için daha yüksek matematik. Üniversiteler için ders kitabı / N.Ş. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Ş. Kremer, - 2. baskı, revize edildi. ve ek – M: BİRLİK, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Ekonomik uzmanlıklar için yüksek matematik. Ders Kitabı ve Çalıştay (bölüm I ve II) / Ed. prof. N.Ş. Kremer, - 2. baskı, revize edildi. ve ek – E: Yüksek Öğrenim, 2007. – 893 s. – (Bilimlerin Temelleri)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Alıştırmalarda ve problemlerde daha yüksek matematik. M. Yüksek Okulu. 1999.

Ek olarak

1.I.I. Bavrin, V.L. Denizciler. Yüksek Matematik. "İnsani Yayıncılık Merkezi Vlados", 2002.

2. I.A. Zaitsev. Yüksek Matematik. "Yüksek Okul", 1998.

3. A.Ş. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. İktisatta matematik / iki bölüm halinde /. M. Finans ve İstatistik. 1999.

Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? İşte ne olduğu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı durum fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevleri anlamanıza yardımcı olacağız.

Öğrenciler için tıbbi, pediatrik, dişçilik

ve tıp ve koruyucu fakülteler

laboratuvar çalışmasına

"Matematiksel analizin temel kavramları"

1. Konunun bilimsel ve metodolojik olarak doğrulanması:

Türev ve diferansiyel kavramları matematiksel analizin temel kavramları arasındadır. Türevlerin hesaplanması fizik ve matematikteki birçok problemi çözerken (hız, ivme, basınç vb. bulma) gereklidir. Özellikle türev kavramının önemi, bir fonksiyonun türevinin, bu fonksiyonun argümanı değiştiğinde değişim oranını karakterize etmesiyle belirlenir.

Bir diferansiyelin kullanılması, yaklaşık hesaplamaların yanı sıra tahmin hatalarının yapılmasını da mümkün kılar.

Fonksiyonların türevlerini ve diferansiyellerini bulma yöntemleri ve bunların uygulanması diferansiyel hesabın ana görevini oluşturur. Türev kavramına duyulan ihtiyaç, hareket hızının hesaplanması ve eğriye teğet açının bulunması probleminin formüle edilmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıkar. Tersi problem de mümkündür: Kat edilen mesafeyi belirlemek için hızı kullanmak ve karşılık gelen fonksiyonu bulmak için teğet açının tanjantını kullanmak. Bu ters problem belirsiz integral kavramına yol açar.

Belirli bir integral kavramı, özellikle düzlem şekillerin alanlarının hesaplanması, değişken bir kuvvetin yaptığı işin hesaplanması ve bir fonksiyonun ortalama değerinin bulunması gibi bir dizi pratik problemde kullanılır.

Çeşitli fiziksel, kimyasal, biyolojik süreçleri ve olayları matematiksel olarak tanımlarken, yalnızca incelenen miktarları değil aynı zamanda bu miktarların çeşitli derecelerindeki türevlerini de içeren denklemler sıklıkla kullanılır. Örneğin bakteriyel üreme yasasının en basit versiyonuna göre üreme hızı, belirli bir zamandaki bakteri sayısıyla orantılıdır. Bu miktar N(t) ile gösterilirse türevin fiziksel anlamına uygun olarak bakteri üreme hızı N(t)'nin bir türevi olur ve söz konusu yasaya göre N ilişkisini yazabiliriz. "(t)=k∙N, burada k>0 - orantı katsayısı. Ortaya çıkan denklem cebirsel değildir, çünkü yalnızca bilinmeyen N(t) fonksiyonunu değil, aynı zamanda onun birinci dereceden türevini de içerir.

2. Kısa teori:

1. Türev kavramına yol açan sorunlar

1. Maddi bir noktanın v hızını bulma problemi. Bazı maddi noktaların doğrusal hareket yapmasına izin verin. Zamanın bir anında T 1 nokta şu konumda M 1. Zamanın bir anında T 2 hamile M 2 . Aralığı gösterelim M 1 , M 2 başından sonuna kadar ΔS; T 2 -T 1 =Δt. Değere ortalama hareket hızı denir. Bir konumdaki bir noktanın anlık hızını bulmak için M 1 gerekli Δt sıfıra doğru koşun. Matematiksel olarak bu şu anlama gelir

, (1)

Dolayısıyla maddi bir noktanın anlık hızını bulmak için fonksiyonun artış oranının limitini hesaplamak gerekir. ΔSΔt argümanının arttırılmasına, şu şartla ki Δt→0.

2. Bir fonksiyonun grafiğine teğetin eğim açısını bulma problemi.

Şekil 1

Bazı fonksiyonların grafiğini düşünün y=f(x). Neden açı eşittir eğim
bir noktaya çizilen teğet M 1 ? Noktada M 1 Fonksiyonun grafiğine bir teğet çizelim. Grafikte rastgele bir nokta seçin M 2 ve bir sekant çizin. Eksene doğru eğilir AH bir açıyla α 1 . Hadi düşünelim ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Eğer nokta M 1 düzelt ve noktala M 2 yakına getirmek M 1 , sonra sekant M 1 M 2 fonksiyonun grafiğine bu noktada teğet olacak M 1 ve şunu yazabilirsiniz:

, (3)

Bu nedenle, eğer argüman artışı sıfıra yaklaşıyorsa, fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını hesaplamak gerekir.

Belirli bir x noktasında y=f(x) fonksiyonunun Δy artışının Δx argümanındaki artışa oranının limiti 0 Δx sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi denir.

Türev gösterimi: y", f "(x), . A-tarikatı

, (4)

burada Δx=х 2 -х 1 argümanın artışıdır (argümanın birbirini takip eden oldukça yakın iki değeri arasındaki fark), Δy=y 2 -y 1 fonksiyonun artışıdır (değerler arasındaki fark argümanın bu değerlerine karşılık gelen fonksiyonun).

Verilen bir fonksiyonun türevini bulmaya denir farklılaşma. Ana temel fonksiyonların farklılaşması, hazır formüller (tabloya bakınız) ve ayrıca kullanılarak gerçekleştirilir. tüzük:

Cebirsel toplamın türevi fonksiyonlar bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir:

(sen+ υ )"= sen" + υ "

2. İki fonksiyonun çarpımının türevi, ikinci fonksiyonun çarpımları ile birinci ve birinci fonksiyonun türevi ile ikinci fonksiyonun türevinin toplamına eşittir:

(sen∙υ )"=u"υ +senυ "

3. Bölümün türevi iki fonksiyon, payı, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan ve payda, paydanın karesi olan bir kesire eşittir:

Türevin fiziksel anlamı. (4) ve (1)'in karşılaştırılmasından, maddi bir noktanın doğrusal hareketinin anlık hızının, koordinatının zamana bağımlılığının türevine eşit olduğu sonucu çıkar.

Bir fonksiyonun türevinin genel anlamı, onu karakterize etmesidir. bir fonksiyonun değişim hızı (hızı) argümandaki belirli bir değişiklik için. Fiziksel, kimyasal ve diğer süreçlerin hızı, örneğin vücudun soğuma hızı, kimyasal reaksiyonun hızı, bakterilerin üreme hızı vb. de bir türev kullanılarak ifade edilir.

Türevin geometrik anlamı. Bir fonksiyonun grafiğine çizilen bir teğetin eğim açısının teğetinin değerine matematikte denir teğet açısal katsayı.

Türevlenebilir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada çizilen tanjantın açısal katsayısı, fonksiyonun bu noktadaki türevine sayısal olarak eşittir.

Bu açıklamaya denir Türevin geometrik anlamı.

Üzerinde en basit türevleri inceledik ve aynı zamanda türev alma kuralları ve türev bulmanın bazı teknik teknikleri hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda pek iyi değilseniz veya bu makaledeki bazı noktalar tam olarak net değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içine girin - materyal basit değil, ama yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, size türevleri bulma görevi verildiğinde hemen hemen her zaman.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuraldaki (No. 5) tabloya bakıyoruz:

Hadi çözelim. Öncelikle girişe dikkat edelim. Burada iki fonksiyonumuz var - ve mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon fonksiyonun içinde yuvalanmıştır. Bu türdeki bir fonksiyona (bir fonksiyon diğerinin içine yerleştirildiğinde) karmaşık fonksiyon denir.

Fonksiyonu çağıracağım harici fonksiyon ve fonksiyon – dahili (veya iç içe geçmiş) fonksiyon.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Sadece materyali anlamanızı kolaylaştırmak için “dış işlev”, “iç işlev” gibi resmi olmayan ifadeler kullanıyorum.

Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, ifadenin tamamı var, dolayısıyla türevi tablodan hemen bulmak işe yaramayacak. Ayrıca ilk dört kuralın burada uygulanmasının imkansız olduğunu da fark ettik, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüs "parçalara ayrılamaz":

Bu örnekte, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu açıklamalarımdan zaten sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapmanız gereken şey Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örneklerde sinüsün altına bir polinomun gömülü olduğu açıkça görülmektedir. Peki ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu doğru bir şekilde nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için zihinsel olarak veya taslak halinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

İfadenin değerini bir hesap makinesinde hesaplamamız gerektiğini hayal edelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Öncelikle aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom bir iç fonksiyon olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, dolayısıyla sinüs - harici bir fonksiyon olacak:

Bizden sonra HEPSİ SATILDI iç ve dış fonksiyonlarda, karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralını uygulamanın zamanı geldi .

Karar vermeye başlayalım. Dersten Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun türevini (sinüs) buluruz, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakarız ve şunu fark ederiz. Tüm tablo formülleri, "x" yerine karmaşık bir ifade konulursa da geçerlidir, bu durumda:

Lütfen iç fonksiyonun değişmedi, dokunmuyoruz.

Peki, oldukça açık ki

Formülün uygulanmasının sonucu son haliyle şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlaşılma varsa çözümü bir kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyona sahip olduğumuzu ve nerede dahili bir fonksiyona sahip olduğumuzu bulalım. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya taslak halinde) ifadenin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapmalısın? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu nedenle polinom bir iç fonksiyondur:

Ve ancak o zaman üs alma işlemi gerçekleştirilir, bu nedenle kuvvet fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formüle göre , öncelikle dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Gerekli formülü tabloda arıyoruz: . Bir kez daha tekrarlıyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca “X” için değil aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu Sonraki:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonumuzun değişmediğini bir kez daha vurguluyorum:

Şimdi geriye kalan tek şey iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz değiştirmek:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonundadır).

Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dış fonksiyonun nerede ve iç fonksiyonun nerede olduğunu, görevler neden bu şekilde çözülüyor?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü farklılaştırabilmek için onun bir güç olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece öncelikle fonksiyonu türev almaya uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ettiğimizde, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu, bir güce yükselmenin ise bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralını uyguluyoruz :

Dereceyi yine bir radikal (kök) olarak temsil ediyoruz ve iç fonksiyonun türevi için toplamın türevini almak için basit bir kural uyguluyoruz:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya indirgeyebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde ettiğinizde bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması, gereksiz bir hata yapılması kolaydır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonundadır).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine bir bölümün türevini alma kuralını kullanabileceğinizi belirtmek ilginçtir. ancak böyle bir çözüm alışılmadık bir sapkınlık gibi görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz ancak karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre türevini bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - eksiyi türev işaretinden çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs bir iç fonksiyondur, üstel ise harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım :

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz ve kosinüsü tekrar sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte işaretlerin karıştırılmaması önemlidir. Bu arada kuralı kullanarak çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonundadır).

Şu ana kadar karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 veya hatta 4-5 fonksiyonun aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışalım. Hesap makinesine nasıl güvenebiliriz?

İlk önce bulmanız gerekir; bu, ark sinüsünün en derin gömme olduğu anlamına gelir:

Bu birin ark sinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak yedinin bir kuvvetini alıyoruz:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki yerleştirmemiz var; en içteki fonksiyon ark sinüs, en dıştaki fonksiyon ise üstel fonksiyondur.

Karar vermeye başlayalım

Kurala göre Öncelikle dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakıyoruz ve üstel fonksiyonun türevini buluyoruz: Tek fark, "x" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır ve bu, bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Yani, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu Sonraki.